等差等比数列基础练习题

等差等比数列基础练习题
1.等差数列8，5，2，…的第20项为-43.
2.在等差数列中已知a1=12，a6=27，则d=
3.
3.在等差数列中已知d=-3，a7=8，则a1=-16.
4.(a+b)与(a-b)的等差中项是a。

5.等差数列-10，-6，-2，2，…前11项的和是54.
6.正整数前n个数的和是n(n+1)/2.
7.数列{an}的前n项和Sn=3n^2-n，则an=6n-1.
8.已知数列{an}的通项公式an=3n-50，则当n=17时，Sn 的值最小，S17的最小值是-200.
1.求等差数列8，5，2，…的第20项。

2.已知等差数列中a1=12，a6=27，求公差d。

3.已知等差数列中d=-3，a7=8，求首项a1.
4.若(a+b)与(a-b)的等差中项为a，求a和b的关系。

5.求等差数列-10，-6，-2，2，…前11项的和。

6.求正整数前n个数的和。

7.已知数列{an}的前n项和Sn=3n^2-n，求通项公式an。

8.已知数列{an}的通项公式an=3n-50，求当n=17时，Sn 的最小值。

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三、计算题
1.求等差数列 $\{a_n\}$ 的未知数：
1) 已知 $a_1=1$，$d=-3$，$S_n=-5$，求 $n$ 和 $a_n$。

解：由等差数列前 $n$ 项和公式
$S_n=\dfrac{n}{2}(a_1+a_n)$，得到 $a_n=a_1+(n-1)d$，代入已知条件得到：
begin{cases}a_1=1\\d=-3\\S_n=-5\end{cases}$$
begin{cases}S_n=\dfrac{n}{2}(a_1+a_n)=-5\\a_n=a_1+(n-1)d=-3n+4\end{cases}$$
将 $a_n$ 代入 $S_n$ 的公式，解得 $n=3$，再代入$a_n$ 的公式得到 $a_3=-5$。

2) 已知 $a_1=2$，$d=2$，$a_{15}=-10$，求 $a_1$ 和$S_{66}$。

解：由等差数列前 $n$ 项和公式得到
$S_n=\dfrac{n}{2}(a_1+a_n)$，代入已知条件得到：
begin{cases}a_1=2\\d=2\\a_{15}=-10\end{cases}$$
begin{cases}a_{15}=a_1+14d=-
10\\S_{66}=\dfrac{66}{2}(a_1+a_{66})\end{cases}$$
将 $a_{15}$ 代入 $a_1+14d=-10$，解得 $a_1=-26$。

将$a_1$ 和 $S_{66}$ 的公式代入，解得 $S_{66}=2178$。

2.求等差数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和公式：
已知等差数列 $\{a_n\}$ 的前 $4$ 项和为 $2$，前 $9$ 项和为 $-18$，求其前 $n$ XXX的公式。

解：设等差数列的首项为 $a_1$，公差为 $d$，则有：
begin{cases}a_1+a_2+a_3+a_4=2\\a_1+a_2+\cdots+a_9=-18\end{cases}$$
将第一个式子乘以 $2$，再减去第二个式子，得到
$a_5+a_6+\cdots+a_9=22$。

同理可得
$a_{10}+\cdots+a_{n}=\dfrac{n(n-9)}{2}d$。

因此，前 $n$ 项和公式为：
S_n=\dfrac{n}{2}(2a_1+(n-
1)d)=\dfrac{n}{2}(a_1+a_n)=\dfrac{n}{2}(2a_1+(n-1)d)$$
将 $a_5+a_6+\cdots+a_9=22$ 和
$a_{10}+\cdots+a_{n}=\dfrac{n(n-9)}{2}d$ 代入，得到：
S_n=\dfrac{n}{2}(2a_1+4d)+\dfrac{n(n-9)}{2}d$$
化简得到：
S_n=\dfrac{n}{2}(3a_1+(n-2)d)$$
3.求等差数列 $\{a_n\}$ 的前 $3$ 项和公式和通项公式：
已知等差数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_1=51$，$d=-
\dfrac{1}{2}$，$S_n=-5$，求其前 $3$ 项和和通项公式。

解：由等差数列前 $n$ 项和公式
$S_n=\dfrac{n}{2}(a_1+a_n)$，得到 $a_n=a_1+(n-1)d$，代入已知条件得到：
begin{cases}a_1=51\\d=-\dfrac{1}{2}\\S_n=-5\end{cases}$$
begin{cases}S_n=\dfrac{n}{2}(a_1+a_n)=-5\\a_n=a_1+(n-1)d=51-\dfrac{1}{2}(n-1)\end{cases}$$
将 $a_n$ 代入 $S_n$ 的公式，解得 $n=6$，再代入
$a_n$ 的公式得到 $a_3=50$。

因此，前 $3$ 项和公式为
$S_3=\dfrac{3}{2}(2a_1+2d)=3a_1+3d=150$，通项公式为
$a_n=51-\dfrac{1}{2}(n-1)$。

4.求等比数列 $\{a_n\}$ 的未知数：
已知等比数列 $\{a_n\}$ 的首项为 $4$，公比为 $2$，求其第 $3$ 项和第 $5$ 项的等比中项。

解：设等比数列的首项为 $a_1$，公比为 $q$，则有：
begin{cases}a_1=4\\q=2\end{cases}$$
第 $3$ 项为 $a_3=4q^2=16$，第 $5$ 项为 $a_5=4q^4=64$，它们的等比中项为 $\sqrt{a_3a_5}=32$。

5.求等比数列 $\{a_n\}$ 的未知数：
1) 已知等比数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_7a_{12}=5$，求
$a_8a_9a_{10}a_{11}$。

解：设等比数列的首项为 $a_1$，公比为 $q$，则有：
a_7a_{12}=a_1^2q^{18}=5$$
a_8a_9a_{10}a_{11}=a_1^4q^{18}=a_7a_{12}^2=125$$
2) 已知等比数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_1+a_2+a_3=-324$，$a_1a_2a_3=8$，求 $a_4+a_5$。

解：设等比数列的首项为 $a_1$，公比为 $q$，则有：
begin{cases}a_1+a_2+a_3=-324\\a_1a_2a_3=8\end{cases}$$
将 $a_2=a_1q$，$a_3=a_2q=a_1q^2$ 代入第一个式子，得到 $a_1(1+q+q^2)=-324$，将 $a_1a_2a_3=8$ 代入，得到
$a_1^3q^3=8$。

解得 $a_1=-4$，$q=2$。

因此，$a_4=16$，$a_5=32$，$a_4+a_5=48$。

3) 已知等比数列$\{a_n\}$ 满足$a_k=m$，求$a_{k+p}$。

解：设等比数列的首项为 $a_1$，公比为 $q$，则有：
a_k=a_1q^{k-1}=m$$
a_{k+p}=a_1q^{k+p-2}=a_1q^{k-1}q^{p-1}=mq^{p-1}$$
因此，$a_{k+p}=m\times q^{p-1}$。

4) 已知等比数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_n>0$，$q=2$，
$a_1a_2a_3\cdots a_{30}=2$，求 $a_3a_6a_9\cdots a_{30}$。

解：设等比数列的首项为 $a_1$，公比为 $q$，则有：
a_1a_2a_3\cdots a_{30}=a_1^{30}q\cdot q^2\cdot q^3\cdots
q^{29}=2$$
因为 $a_n>0$，所以 $a_1>0$，$q>0$。

因此，
$a_1q^{29}=\sqrt[30]{2}$。

将 $a_1a_2a_3\cdots a_{30}=2$ 代
入$a_1a_2a_3=2q^2$，解得$a_1q^2=\dfrac{1}{\sqrt[30]{2}}$。

因此，$a_3a_6a_9\cdots a_{30}=a_1q^2\cdot a_4a_5\cdots
a_{30}=\dfrac{1}{\sqrt[30]{2}}\cdot 2=\sqrt[30]{2}$。

针对练A2：等比数列
1.若等比数列的首项为 $4$，公比为 $2$，则其第 $3$ 项
和第 $5$ 项的等比中项是 $\sqrt{16\times 64}=32$。

2.在等比数列 $\{a_n\}$ 中。

2) 已知 $S_3=7a_3$，则 $q=3$。

3) 已知 $a_1+a_2+a_3=-3$，$a_1a_2a_3=8$，则
$S_4=a_1+a_2+a_3+a_4=-9$。

3.在等比数列 $\{a_n\}$ 中。

1) 已知 $a_7a_{12}=5$，则
$a_8a_9a_{10}a_{11}=a_7a_{12}^2=125$。

2) 已知 $a_1+a_2=324$，$a_3+a_4=36$，则 $a_5+a_6=4$。

3) 已知 $a_k=m$，则 $a_{k+p}=mq^{p-1}$。

4) 已知 $a_n>0$，$q=2$，$a_1a_2a_3\cdots a_{30}=2$，
则 $a_3a_6a_9\cdots a_{30}=\sqrt[30]{2}$。

4.一个数列的前 $n$ 项和 $S_n=8-3n$，则它的通项公式为$a_n=S_n-S_{n-1}=11-3n$。

5.在 $2$ 和 $30$ 之间插入两个正数，使前三个成为等比
数列，后三个成等差数列，则这两个正数之和是 $14$。

4.已知等比数列 $\{a_n\}$，且 $a_n>0$，满足
$a_2a_4+2a_3a_5+a_4a_6=25$，求 $a_3+a_5$ 的值。

5.等差数列 $\{a_n\}$ 的首项 $a_1=1$，公差 $d\neq0$，且$a_1,a_2,a_5$ 成等比数列，求 $d$ 的值。

6.等比数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_5+a_6=a_7-a_5=48$，求该数列的前十项和。

7.等比数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_2=6$，且 $a_5-2a_4-a_3=-12$，求 $a_n$ 的值。

8.等比数列 $\{a_n\}$ 的首项为 $1$，公比为 $q$，前
$n$ 项和为 $S$，求数列 $\{1\}$ 的前 $n$ XXX。

9.等差数列 $\{a_n\}$ 的首项为 $1$，$\{b_n\}$ 是等比数列，将两个数列对应项相加得到新数列 $\{a_n+b_n\}$，且该数列的前三项为 $3$，$12$，$23$，求 $d+q$ 的值，其中
$d$ 为 $\{a_n\}$ 的公差，$q$ 为 $\{b_n\}$ 的公比。

10.某种产品自投放市场以来，经过三次降价，单价由原来的 2000 元降到 1800 元，求该产品平均每次降价的百分率。

11.已知 $a_1,a_2,\ldots,a_8$ 是各项为正数的等比数列，公比 $q\neq1$，判断 $a_1+a_8$ 和 $a_4+a_5$ 的大小关系。

12.某工厂产值的月平均增长率为 $P$，求该厂的年平均
增长率。

某工厂去年的产值为a，计划未来五年内每年增长10%，
求从今年起到第五年末该工厂的总产值是多少？
答案：D。

11×(1.15-1)a
1.设三个数为a。

a+d。

a+2d，根据题意得到以下两个方程：
a+a+d=2(a+2d)/3
a+d=2(a+2d)/3
解得a=-d/3，代入第二个方程得到d=-3a/4，所以三个数
分别为a。

a-d/3.a-2d/3，即a。

4a/3.16a/9.
2.(1) 根据等比数列的通项公式，S=(x^(n+1)-1)/(x-1)，代
入x=1得到S=n+1.
2) 观察每一项，可以发现第k项为2^k-k，所以
S=2^1+2^2+。

+2^n-n，利用等比数列的求和公式得到
S=2^(n+1)-n-2.
3.(1) 将an代入bn的式子得到bn=-2(n+1)，所以bn=-
2^(n+1)。

2) 将an代入an+1的式子得到an+1=-(an+4n+2)，即
an+1=-an-4n-2.将此式代入an=-(an+1+4n+2)得到
an+1=an+4n+2，即an+1-a1=4(1+2+。

+(n-1))+2(n-1)，化简得到an=-2n-1.。