窄带随机过程

窄带随机过程
通信系统都有发送机和接收机，为了提高系统的可靠性，通常在接收机的输入端接有一个带通滤波器，信道内的噪声构成了一个随机过程，经过该带通滤波器之后，则变成了窄带随机过程，因此，讨论窄带随机过程的规律是重要的。

一、窄带随机过程的定义
窄带随机过程的定义借助于它的功率谱密度的图形来说明。

图3.5.1（a）中，波形的中心频率为，带宽为，当满足
时，就可认为满足窄带条件。

若随机过程的功率谱满足该条件则称为窄带随机过程。

若带通滤波器的传输函数满足该条件则称为窄带滤波器。

随机过程通过窄带滤波器之后变成窄带随机过程。

图3.5.1窄带波形的频谱及示意波形
 二、窄带随机过程的表示方式
如果在示波器上观察这个过程中一个样本函数的波形，则会发现它像一个包络和相位缓慢变化的正弦波，如图3.5.1（b）所示。

因此窄带随机过程可用下式表示成：
式中，是窄带随机过程包络；
是窄带随机过程的随机相位。

窄带随机过程也可用下式表示
其中: 这里的和分别被称作的同相分量和正交分量。

可见，的统计特性可以由、或、的统计特性来确定。

反之，若已知的统计特性，怎样来求、或、的特性呢？
三、同相分量与正交分量的统计特性
设窄带随机过程是均值为零平稳的窄带高斯过程。

可以证明，它的同相分量和正交分量也是均值为零的平稳高斯过程，而且与具有相同的方差。

1.数学期望已设是平稳的，且均值为零，即对于任意时刻，有，所以，可
得即 2.自相关函数
我们知道一些统计特性可以从自相关函数中得到，所以，按定义的自相关函数为
将上式展开，并取数学期望为
其
中因为是平稳的，可以令，得
（1）同理，令，得
（2）如果是平稳的，则、也是平稳的。

由于式（1）和式（2）相等，则应有可见，的同相分量和正交分量具有相同的自相关函数，而且根据互相关
函数的性质，有可见，有
上式表示，为的奇函数，所以同理可以证明
得到即这表明，和具有相同的方差。

3.概率密度函数因为和统计独立，则和的二维概率密度函数为
利用式（3.5.16），上式改写为
以上讨论的是由的统计特性推导出同相分量和正交分量的统计特性。

四、包络与相位的统计特性
现在来确定窄带平稳高斯过程的包络和相位的统计特性，
随机包络和随机相位可表示为利用概率论中随机变量变换的关系来求解和的概率密度函数，把，，和在某一时
刻的随机变量用，，和来表示。

根据随机变量变换关系有
其中，为，的联合概率密度函数；
为雅可比行列式，它等于由和得
进行偏微分，并代入雅可比行列式，得
于是
因为，所以上
式中包络，而在内取值。

利用概率论中的边际分布知识，可求得包络的概率密度函
数为可见，服从瑞利分布。

瑞利分布的特点：最大值发生在处，其值为。

图3.5.2 窄带高斯过程包络的概率密度函数利用边际分布知识，可求得相位的概率密度函数为
可见，随机相位
在内服从均匀分布。

所以窄带平稳高斯过程的包络和相位是统计独立的。

五、窄带随机过程的功率谱密度
结论：窄带随机过程同相分量和正交分量具有相同的功率谱密度，而且与窄带随机过程的功率谱密度具有如下关系式
式中，设的频率范围
,
证明：窄带随机过程的同相分量和正交分量的提取方法如
图3.5.4所示。

图3.5.4 同相分量和正交分量的提取方法 1.同相分量
对式两边乘以，得
两边都通过截止频率为
的低通滤波器，于是输出为，表示为
其功率谱密度为
1.同相分量
同理，对式两边乘以，得
用功率谱密度表示为
由以上关系
式，可画出功率谱密度、和如图 3.5.3所示。

图3.5.3、和的功率谱密度。