2018版高考数学浙江专用专题复习 专题9 平面解析几何

一、选择题
1．过点P (2,3)向圆x 2＋y 2＝1作两条切线P A ，PB ，则弦AB 所在直线的方程为( ) A ．2x －3y －1＝0 B ．2x ＋3y －1＝0 C ．3x ＋2y －1＝0
D ．3x －2y －1＝0
2．已知圆x 2＋y 2－2x ＋my －4＝0上两点M ，N 关于直线2x ＋y ＝0对称，则圆的半径为( ) A ．9
B ．3
C ．2 3
D ．2
3．(2016·丽水一模)已知圆x 2＋y 2＝4，过点P (0，3)的直线l 交该圆于A ，B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积的最大值是( ) A. 3
B ．2
C ．2 3
D ．4
4．已知圆C ：(x －3)2＋(y －4)2＝1和两点A (－m,0)，B (m,0)(m ＞0)．若圆C 上存在点P ，使得∠APB ＝90°，则m 的最大值为( ) A ．7
B ．6
C ．5
D ．4
5．已知点P (a ，b )(ab ≠0)是圆x 2＋y 2＝r 2(r ＞0)内的一点，直线m 是以P 为中点的弦所在直线，直线l 的方程为ax ＋by ＝r 2，那么( ) A ．m ∥l ，且l 与圆相交 B ．m ⊥l ，且l 与圆相切 C ．m ∥l ，且l 与圆相离
D ．m ⊥l ，且l 与圆相离
6．(2016·嘉兴期末)已知圆心在原点，半径为R 的圆与△ABC 的边有公共点，其中A (4,0)，B (6,8)，C (2,4)，则R 的取值范围是( ) A ．[855
，10]
B ．[4,10]
C ．[25，10]
D ．[655
，10]
7．(2016·西安西工大附中第一次适应性训练)直线(a ＋1)x ＋(a －1)y ＋2a ＝0(a ∈R )与圆x 2＋y 2－2x ＋2y －7＝0的位置关系是( ) A ．相切
B ．相交
C ．相离
D ．不确定
8．若圆x 2＋y 2－4x －4y －10＝0上至少有三个不同的点到直线l ：ax ＋by ＝0的距离为22，则直线l 的倾斜角的取值范围是( ) A.⎣⎡⎦⎤π12，π4
B.⎣⎡⎦⎤π12，5π12
C.⎣⎡⎦⎤
π6，π3
D.⎣⎡⎦
⎤0，π
2 二、填空题
9．已知圆C 的方程为x 2＋y 2－2y －3＝0，过点P (－1,2)的直线l 与圆C 交于A ，B 两点，若使|AB |最小，则直线l 的方程是________．
10．(2016·杭州学军中学模拟)已知动直线l ：mx －y ＝1，若直线l 与直线x ＋m (m －1)y ＝2垂直，则m 的值为________，动直线l ：mx －y ＝1被圆C ：x 2－2x ＋y 2－8＝0截得的最短弦长为________． 二、解答题
11．如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，平行于x 轴且过点A (33，2)的入射光线l 1被直线l ：y ＝
3
3
x 反射，反射光线l 2交y 轴于B 点，圆C 过点A 且与l 1，l 2都相切．
(1)求l 2所在直线的方程和圆C 的方程；
(2)设P ，Q 分别是直线l 和圆C 上的动点，求|PB |＋|PQ |的最小值及此时点P 的坐标．
答案解析
1．B [以PO 为直径的圆(x －1)2＋⎝⎛⎭⎫y －322＝13
4与圆x 2＋y 2＝1的公共弦即为所求，直线方程为2x ＋3y －1＝0.]
2．B [由题意知，圆心⎝⎛⎭⎫1，－m
2在直线2x ＋y ＝0上， ∴2－1
2
m ＝0，解得m ＝4，
∴圆的方程为(x －1)2＋(y ＋2)2＝9，圆的半径为3.]
3．B [当直线l 的斜率不存在时，不符合题意，当直线l 的斜率存在时，|AB |＝2r 2－d 2＝24－d 2，所以S △OAB ＝1
2
|AB |·d ＝4－d 2·d ＝(4－d 2
)d 2
≤4－d 2＋d 2
2
＝2，当且仅当4－d 2＝d 2，即d ＝2时等号成立，所以△OAB 面积
的最大值是2.]
4．B [由题意知以AB 为直径的圆与圆C 有公共点，且|OC |＝5，于是m －1≤5≤1＋m ，即4≤m ≤6.]
5．C [∵P (a ，b )是x 2＋y 2＝r 2(r ＞0)内一点， ∴a 2＋b 2＜r .
又∵m 是以P 为中点的弦所在直线． ∴m 的方程为y －b ＝－1
b a
(x －a )，
即ax ＋by ＝a 2＋b 2＜r 2，而l 的方程为ax ＋by ＝r 2. ∴m ∥l .
又圆心O (0,0)到直线l 的距离 d ＝|0＋0－r 2|a 2＋b 2＝r 2a 2＋b 2＞r 2r ＝r .
∴l 与圆相离．]
6．A [由图象(图略)可得当圆与AC 边相切时，R 取得最小值，直线AC 的方程为2x ＋y －8＝0，则由点到直线的距离公式可得R min ＝
85
5
.当圆经过点B 时，R 取得最大值，则R max ＝10，所以R 的取值范围是[85
5
，10]，故选A.]
7．B [圆x 2＋y 2－2x ＋2y －7＝0， 即(x －1)2＋(y ＋1)2＝9，
表示以O (1，－1)为圆心、3为半径的圆． 圆心到直线的距离
d ＝|(a ＋1)－(a －1)＋2a |(a ＋1)2＋(a －1)2＝|2a ＋2|2a 2＋2.
9－d 2
＝9－4a 2＋8a ＋42a 2＋2＝7a 2－4a ＋7a 2＋1
，
而方程7a 2－4a ＋7＝0的判别式 Δ＝16－196＝－180＜0，
故有9>d 2，即d <3，故直线和圆相交．] 8．B [由x 2＋y 2－4x －4y －10＝0，得 (x －2)2＋(y －2)2＝18， ∴r ＝3 2.
如图，若圆O ′上至少有三个不同的点到直线l 的距离为22，则需要直线l 在如图中的l 1和l 2之间(包括l 1和l 2)，l 1和l 2为临界位置，此时圆心O ′(2,2)到直线l ：ax ＋by ＝0的距离为d ＝2，从而易求l 1的倾斜角为
π12，l 2的倾斜角为5π
12
，所以直线l 的倾斜角的取值范围为⎣⎡⎦
⎤π12，5π12.]
9．x －y ＋3＝0
解析 易知点P 在圆的内部，根据圆的性质，若使|AB |最小，则AB ⊥CP ，因为圆心C (0,1)，所以k CP ＝
2－1
－1－0
＝－1，k l ＝1，因此直线l 的方程为y －2＝x ＋1，即x －y ＋3＝0. 10．0或2 27
解析 若两直线垂直，则有m －m (m －1)＝0， 解得m ＝0或m ＝2；
把圆C 的方程化为标准方程为(x －1)2＋y 2＝9，所以圆心坐标为C (1,0)，半径为3. 因为动直线l 过定点P (0，－1)，
所以最短弦长为过定点P 且与PC 垂直的弦，
此时弦长L＝2r2－|PC|2＝232－(12＋12)2＝27. 11．解(1)易知直线l1：y＝2，设l1交l于点D，则D(23，2)，
因为直线l的斜率为
3 3，
所以l的倾斜角为30°，所以l2的倾斜角为60°，
所以k2＝3，
所以反射光线l2所在的直线方程为
y－2＝3(x－23)，
即3x－y－4＝0.
由题意，知圆C与l1切于点A，设圆心C的坐标为(a，b)，
因为圆心C在过点D且与l垂直的直线上，
所以b＝－3a＋8，①
又圆心C在过点A且与l1垂直的直线上，
所以a＝33，②
由①②得a＝33，b＝－1，
故圆C的半径r＝3，
故所求圆C的方程为(x－33)2＋(y＋1)2＝9.
综上，l2所在直线的方程为3x－y－4＝0，圆C的方程为(x－33)2＋(y＋1)2＝9.
(2)设点B(0，－4)关于l对称的点为B′(x0，y0)，
即y0－4
2＝
3
3·
x0
2，且
y0＋4
x0＝－3，
解得x0＝－23，y0＝2，故B′(－23，2)．由题意易知，当B′，P，Q三点共线时，
|PB|＋|PQ|最小，
故|PB|＋|PQ|的最小值为
|B′C|－3＝(－23－33)2＋(2＋1)2－3
＝221－3，
由⎩⎪⎨
⎪⎧
y ＋12＋1＝
x －33－23－33
，
y ＝33x ，
得P (
32，1
2
)， 故|PB |＋|PQ |的最小值为221－3， 此时点P 的坐标为(32，12
)．。