浅谈数学解题的基本思路

浅谈数学解题的基本思路

常宁市教师进修学校 王 洪 生

【摘 要】：数学解题应在明确目的的基础上，利用相关的数学知识、方法和

解题经验，理清条件和目标间的实质性联系，确定解题方法；抓住数学问题的特征，通过分析、类比进行广泛的、合理的联想，运用多方面知识，设计出多种解题办法，然后综合比较，找到最佳解题途径。

【关键词】：数学 解题 基本思路

认真审题，明确目的；抓住问题的结构特征，开阔思维；侧面观察，逆向思维。我认为是解答数学问题的三条基本思路。

一、认真审题，明确目的

解题必须有明确的目的，发现“怎样完成题目的要求？”是解答数学问题的基本思路。一般地，解题应在明确目的的基础上，利用相关的数学知识、方法和解题经验，理清条件和目标间的实质性联系，确定解题方法，使目标成为制定解题方法的依据。

如用“分析法”证题，在解析几何中常用“设而不求”等都是审题后采取的恰当方法，是这一基本思路的具体体现。

例：已知辐角为1θ、2θ的复数1Z 、2Z 满足条件i Z Z 521=+，14||21=Z Z ，求)cos(21θθ-的最大值。

分析：此题目标主要是“最值问题”，根据求最值值问题的一般方法，不难确定解题的思路如下：利用复数知识，设法建立起)cos(21θθ-关于1Z 或2Z 的函数关系。

设r Z =||1，r

Z 14||2=

，则)sin (cos 111θθi r Z +=，)sin (cos 14222θθi r

Z +=

。

代入i Z Z 521=+中，有：i

i r

i r 5)sin (cos 14)sin (cos 2211=++

+θθθθ，由复数

相等的定义有：⎪⎩

⎪⎨⎧

=+=+5

sin 14

sin 0cos 14cos 2121θθθθr r r r （*）

根据目标要求，若能从（*）式中得到)cos(21θθ-的表达式就行，于是将（*）式两方程两边平方相加，得：

25

)cos(28196212

2

=-++

θθr

r

28

3)196(28128

25)cos(2

2

21-

≤+-=

-∴r

r

θθ

由基本不等式知，当14=r 时，)cos(21θθ-取得最大值28

3-。

二、抓住特征，开阔思维

问题的结构特征是信息源，只有抓住特征，通过分析、类比进行广泛的、合理的联想，运用多方面知识，设计出多种解题办法，然后综合比较，找到最佳解题途径。

例：试求函数2

cos 1sin 5++=

θθy 的值域。

分析：解答本题的一般方法是：将函数变形为12cos sin 5-=-y y θθ，即变形为ααcos sin b a +的基本形式，然后利用)sin(ϕα+的有界性求取值域。若仔细观察分析结构的特点，发现可将y 看成是由动点)s in 5,(c o s θθM 和定点

)

1,2(--A 连线的斜率，则解答过程更为简单，显然M 点的轨迹是椭圆

15

2

2

=+

y

x ，当直线MA 与椭圆相切时得到斜率的最大值和最小值。

令切线的斜率为k ，则切线方程为52+±=k kx y

过点)1,2(--A

5212

+±

-=-∴k k 即04432

=--k k ，解得3

2-

=k 或2=k

23

2≤≤-

∴y

三、侧面观察，逆向思维

数学题的构造，变化多端，有的内在关系深藏其底，难以观察，因而应注意

对问题的深层结构不断认识，有时应转换观察问题的角度，如进行逆向思维，直至找到解题途径。如有些排列中的有些元素“不相邻”和“相邻”问题，先直接排几个特殊元素有困难，但若采用“插空法”或“捆绑法”则问题迎刃而解。

例：在ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若2

c a b +≤，求

证：2

C A B +≤

。

分析：题目是求证2

C A B +≤，即π=++≤⇒+≤C B A B C A B 32，即3

π

≤B ，

故求证2

C A B +≤

转化为证3

π

≤

B 或3

2π≥

+C A 。

考虑到在),0(π上，x y c os =是单调递减的，故又只须证明2

1cos ≥

B 或

2

1)2

cos(

≤

+C A 即可。

证明一：由2

c a b +≤

，应用正弦定理得：

2sin

2

cos

2

sin

2sin sin sin C A C A C A C

A B +≤-+=+≤

2sin

2

cos

2

sin

2C A C

A C A +≤++∴ 得21)2

cos(

≤

+C

A

由

),0(2

π∈+C A 及x y cos =在),0(π上单调递减得

3

2

π

≥

+C A

π=++C B A ，3

π

≤

∴B 即2

C A B +≤。

证明二：由2

c a b +≤

和余弦定理得：

2

141)(832)

2

(

2cos 2

2

2

2

2

2

≥-+=

+-+≥

-+=

c a a c ac c a c a ac b

c a B

因),0(π∈B 及x y cos =在),0(π上单调递减，得3

π

≤B

π=++C B A ，32π≥+∴C A 即2C

A B +≤。

总之，解题时，问题本身是思维的出发点，只有通过认真审题，抓住问题的外形特征，内部结构等特点，明确目的，展开广阔的思维，并对思维结果不断地针对目标进行评价，以控制解题方向或不断的调整解题思路是解答数学问题的基本思维方法。

参考文献：