浙江省名校协作体高二数学下学期考试试题

2016学年第二学期浙江省名校协作体试题
高二年级数学学科
考生须知：
1． 本卷满分150分，考试时间120分钟；
2． 答题前，在答题卷指定区域填写学校、班级、姓名、试场号、座位号及准考证号并填涂相应数
字； 3． 所有答案必须写在答题卷上，写在试题卷无效； 4． 考试结束后，只需上交答题卷.
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的．把答案填写在答题卷的相应位置上． 1．已知直线1l ：07=++my x 和2l ：()2320m x y m -++=互相平行，则实数m = （ ▲ ） A.1m =-或3 B.1m =- C.3m =- D.1m =或3m =-
2．若βα，表示两个不同的平面，直线m α⊂，则“αβ⊥”是“m β⊥”的 ( ▲ ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3．三棱锥的三条侧棱两两垂直，其长分别为1,2,3，则该三棱锥的外接球的表面积（ ▲ ）
A. π24
B.π18
C. π10
D. π6 4．正方体1111D C B A ABCD -棱长为4，N M ,,P 分别是棱A A D A 111,,11C D 的中点，则过P N M ,,三点的平面截正方体所得截面的面积为（ ▲ ） A ．23 B ．43 C ．63 D ． 123
5． 定义点),(00y x P 到直线)0(0:2
2
≠+=++b a c by ax l 的有向距离．．．．
为：2
2
00b
a c by ax d +++=.
已知点1P 、2P 到直线l 的有向距离分别是1d 、2d .以下命题正确的是 （ ▲ ）
A.若121d d ==，则直线1P 2P 与直线l 平行
B.若121,1d d ==-，则直线1P 2P 与直线l 垂直
C.若120d d +=，则直线1P 2P 与直线l 垂直
D.若120d d ⋅≤，则直线1P 2P 与直线l 相交
6．实数,x y 满足约束条件02200x y x y mx y +≥⎧⎪-+≥⎨⎪-≤⎩
，若2z x y =-的最大值为2，则实数m 等于（ ▲ ） D 1
A 1
B 1
1M
N
P
第4题
A ．2-
B ．1-
C ．1
D ．2
7．在所有棱长都相等的三棱锥BCD A -中，Q P 、分别是BC AD 、的中点,点R 在平面ABC 内运动，若直线PQ 与直线DR 成0
30角，则R 在平面ABC 内的轨迹是 （ ▲ ） A ．双曲线
B ．椭圆
C ．圆
D ．直线
8．设双曲线C ：)0,0(122
22>>=-b a b
y a x 的左右焦点分别为21,F F ，若在曲线C 的右支上存在点P ,
使得21F PF ∆的内切圆半径为a ，圆心记为M , 又21F PF ∆的重心为G ,满足21//F F MG ，则双曲线C 的离心率为（ ▲ ）
A ．2
B ．3
C ．2
D ． 5
二、 填空题: 本大题共7小题, 多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．把答案填写在答
题卷的相应位置上．
9．双曲线19
162
2=-y x 的离心率为 ▲ ,焦点到渐近线的距离为 ▲ ．
10．已知点()1,0A ,直线1l ：,01=--y x 直线2l ：022=+-y x ，则点A 关于直线1l 的对称点
B 的坐标为 ▲ ,直线2l 关于直线1l 的对称直线方程是 ▲ ．
11．已知一个四棱锥的底面为正方形，其三视图如右图所示，则这个四棱锥的体积是 ▲ ，表面积是 ▲ .
12．如图，三棱锥ABC S -中，若32=AC ,4=====BC AB SC SB SA ,E 为棱SC 的中点，则直线AC 与BE 所成角的余弦值为 ▲ ,直线AC 与平面SAB 所成的角为 ▲ ． 13．在正方体1111ABCD A B C D -中（如图），已知点P 在直线1BC 上运动，则下列四个命题： ①三棱锥PC D A 1-的体积不变；
②直线AP 与平面1ACD 所成的角的大小不变；
A B
C
第12题
S
E
13
1
12
俯视图第9题图
③二面角C AD P --1的大小不变；
④M 是平面1111D C B A 上到点D 和1C 距离相等的点，则M 点的轨迹是直线11D A . 其中真命题的编号是 ▲ （写出所有真命题的编号）
14． 两定点)0,2(),0,2(B A -及定直线3
10
:=x l ，点P 是l 上一个动点，过B 作BP 的垂线与AP 交于点Q ，则点Q 的轨迹方程为 ▲ ．
15．在三棱锥ABC P -中，BC AB ⊥,6AB =,23BC =,O 为AC 的中点，过C 作BO 的垂线，交AB BO 、分别于D R 、.若DPR CPR ∠=∠,则三棱锥ABC P -体积的最大值为 ▲ ． 三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．已知直线1:10l x y --=,直线2:30l x y +-= （I ）求直线1l 与直线2l 的交点P 的坐标；
（II ）过点P 的直线与x 轴的非负半轴．．．．交于点A ，与y 轴交于点B ，且4AOB S ∆=（O 为坐标原点），求直线AB 的斜率k ．
17．如右图, 在三棱柱111C B A ABC -中，侧棱⊥A A 1平面
ABC ，BC AC ⊥，1AC =，
A B
C
D 1
A 1
B 1
C 1
D 第13题
A
B
C
P
D
O
R
第15题
C
1
A 1
B 1
C
2BC =，11A A =，点D 是AB 的中点.
（I ）证明：1AC ∥平面1CDB ；
(Ⅱ)在线段AB 上找一点P ，使得直线1AC 与CP 所成角
的为60o
，求AP AB
u u u r u u u r 的值．
18．已知圆4:22=+y x O 及一点)0,1(-P ，Q 在圆O 上运动一周，PQ 的中点M 形成轨迹C ．
（I ）求轨迹C 的方程；
（II ）若直线PQ 的斜率为1，该直线与轨迹C 交于异
于M 的一点N ，求CMN ∆的面积．
19．如图，四棱锥A OBCD -中 ，已知平面AOC ⊥面OBCD ，
3,2,4,AO OB BC CD ====
0120OBC BCD ∠=∠=．
（I ）求证：平面ACD ⊥平面AOC ； （II ）直线AO 与平面OBCD 所成角为60o
， 求二面角A BC D --的平面角的正切值．
20．椭圆)0(1:22
22>>=+b a b y a x C 的左、右焦点分别为12,F F ，M 在椭圆上，△12MF F 的周长为
452+,面积的最大值为2.
（I ）求椭圆C 的方程；
（II ）直线)0(>=k kx y 与椭圆C 交于B A ,，连接22,AF BF 并延 长交椭圆C 于E D ,，连接DE ．探索AB 与DE 的斜率之比是 否为定值并说明理由．
x
y
O P
Q
第18题
M
N
第20题
x
y
O
A
B
2
F D
E
1
F 第19题
A
C
D
O
2016学年第二学期浙江省名校协作体
高二年级数学参考答案
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案
A
B
D
D
A
C
B
C
二、 填空题: 本大题共7小题, 多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．
9.
4
5
, 3 10. ()12-，
， 052=--y x 11.2 , 22232++ 12. 4
1， 0
60
13. ①③④ （多选或错选或不选不给分，少选均给一半，）
14. 2
214
x y += 15. 33 三.解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16、解：（1）联立两条直线方程：
1030x y x y --=⎧⎨
+-=⎩，解得2
1x y =⎧⎨=⎩
， 所以直线1l 与直线2l 的交点P 的坐标为(2,1)．L L L L L L L L L 5 （2）设直线方程为：1(2)y k x -=-
令0x = 得12y k =-，因此(0,12)B k -； 令0y =得12x k =-，因此1
(2,0)A k -．
211002k k ork k -≥⇒≥< L L L L L L 8 11
(12)(2)42AOB
S k k
∆∴=--=， L L L L L L L L L 10 解得1
2k =-或322
k =+．L L L L L L L L L L L L 14
17 （Ⅰ）证明：设1CB 与B C 1相交于E ，连结DE , ………….2分 ΘD 是AB 的中点，E 是1BC 的中点, ∴DE ∥1AC , ………….6分
Θ⊂DE 平面1CDB ，⊄1AC 平面1CDB ,
∴1AC ∥平面1CDB .………….7分
（Ⅱ）建立空间直角坐标系，1CC 为z 轴，CA 为x 轴，CB 为y 轴，……….9分
设(01)AP AB λλ=<<u u u r u u u r
()1,2,0CP CA AB λλλ=+=-u u u r u u u r u u u r ，()11,0,1AC =-u u u u r
所以11cos ,2AC CP =u u u u r u u u r 1
3
λ⇒= L L L L L L L L L 15
（向量写出，夹角公式写出，计算答案错误至少给2分）
非向量做法：指出角给2分，其他视情况相应给分
18、（1）设),(),,(11y x Q y x M ，则y y x x 2,1211=+=，L L L L L L 2
把),(11y x 代入422=+y x 得1)21
(:22=++y x C 。

L L L L L L 6
（2）直线PQ ：1y x =+
圆心C 到直线PQ 的距离为2
4
d =
L L L L L L 10 14
MN =
， L L L L L L 12 7
8
CMN S ∆=
L L L L L L 15 19、（1）证出CD OC ⊥， L L L L L L 2 因为平面AOC ⊥面OBCD ,CD AOC ∴⊥面 L L L L L L 4 又CD ACD ⊆面，所以平面ACD ⊥平面AOC L L L L L L 6 （2）过A 作OC 的垂线，垂足为H ，则60,3AOH AH ∠==o
L L L 8 过H 作BC 的垂线，垂足为M ，连,AM 则AM BC ⊥
则AMH ∠为所求 L L L L L L 11
323
tan 333
2
AH AMH HM ∠=
== L L L L L L 15 （求对一条边长给2分）
第19题
A C
D
O
20．（I ）1212||||||22254F F MF MF a c ++=+=+，L L L 2
1
222
S c b bc =⋅==， L L L 4
得1,2,5===b c a ， 所以15
:22
=+y x C 。

L L L 6
（2）（II ）设),(00y x A ，则00(,)B x y --。

直线22
:0
0+-=
y y x x AD ， L L L 8 代入15
:22=+y x C 得[]
0)2(45)2(2
000220
20=--++-y y y x y y x ， 因为15
2020=+y x ，代入化简得0)2(4)49(2
0020=--+-y y y x y x ， 设),(),,(2211y x E y x D ，则02
01049x y y y --=，所以00149x y y --=，22
10
01+-=y y x x 。

L L L 12
直线22:00++=
y y x x BE ，同理可得00249x y y +=，22
20
02++=y y x x 。

所以1212120000121
2
12121200000012
1
222()2DE y y y y y y k x x x x y y y y x x y y y y y y y y y y y y ---=
===-+++-----⋅- 0000
001
99429
y k x x x y y =
==+-⋅，所以9:=k k DE 。

L L L 15
（其他解法酌情给分）。