高考冲刺数学“得分题”训练03(含解析)

专题03 2015届高考冲刺数学“得分题”训练 03
1. 已知集合(){}
2log 1A x y x ==-，{
}
1B y y x ==-，则A B =I .
【答案】()1,+∞
【解析】{|1}A x x =>,{|0}B y y =≥,{|1}A B x x =>I
2. 已知复数z ＝2i
1－i －1，其中i 为虚数单位，则z 的模为 ．
【答案】5 【解析】222(1)11121(1)(1)
i i i z i i i i i i +=
-=-=+-=-+--+,25z i =-+= 3. 已知α、β表示两个不同的平面，m 为平面内的一条直线，则“α//β”是“m//β”的 条件.
（在“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不充要”中选一个填空） 【答案】充分不必要
【解析】由面面平行的性质定理知////m αββ⇒，但当//m β时，α与β也可能相交，故应填充分不必要.
4. 某鲜花店对一个月的鲜花销售数量(单位：支)进行统计，统计时间是4月1日至4月30日，5天一组分组统计，绘制了如图的鲜花销售数量频率分布直方图．已知从左到右各长方形的高的比为2∶3∶4∶6∶4∶1，且第二组的频数为180，那么该月共销售出的鲜花数(单位：支)为 ．
【答案】1200
【解析】总数量为x ，则
180
2346413
x =+++++，1200x =.
5. 运行如图2所示的程序框图，输出的结果=S ．
【答案】62
【解析】根据程序，(,)k S 的值依次为(1,0)，(2,2)，(3,6),(4,14),(5,30),(6,32)，此时有5k >，因此输出62S =.
6. 从{1，2，3，…，18}中任取两个不同的数，则其中一个数恰好是另一个数的3倍的概率为 ． 【答案】2
51
【解析】从题中18个数里任取两个数方法数为2
18153C =，“其中一个数恰好是另一个数的3倍”只有
(1,3),(2,6),(3,9),(4,12),(5,15),(6,18)共6种取法，因此概率为
62
15351
=. 7. 已知数列{}n a 满足21221()n n n a a a n *+=-+∈N ，则使不等式20152015a >成立的所有正整数1a 的
集合为 ． 【答案】{}
|2015,n n n *≥∈N
【解析】由已知221(1)(1)1n n a a +-=-+，所以数列2
{(1)}n a -是等差数列，且公差为1，所以
221(1)(1)(1)n a a n -=-+-，2220151(1)(1)2014a a -=-+，则由20152051a >得
221(1)20142014a -+>，
1201420131a >⨯，∵2013201420132014<⨯<，且1*a N ∈，∴12015a ≥.
8. 已知实数,x y 满足40210440x y x y x y +-≤⎧⎪
-+≥⎨⎪+-≥⎩
，则3z x y =+-的取值范围是 ．
【答案】[1,7]
9. 在三角形ABC 中，已知AB=3，A=0
120,ABC ∆的面积为153
4
，则BC BA u u u r u u u r g 的值= .
【答案】
332
【解析】
1531
sin 152
bc A bc =⇒=，又AB=3，所以3,5c b ==，由余弦定理得2
2
2
2cos 2591549a b c bc A =+-=++=，所以22233
cos 22
a c
b BC BA a
c B +-==
=u u u r u u u r g . 10. 在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线C ：24x y =的焦点为F ，定点(22,0)A .若射线FA 与抛物线C 相交于点M ，与抛物线C 的准线相交于点N ，则FM ：MN 的值是 ． 【答案】13
【解析】设准线与y 轴的交点P ，则FM FP MN PN =，又(0,1)F ，所以直线FA ：122
x y +=，当1y =-时，
42x =，
即(42,1)N -，所以213
432FP PN ==+，即FM ：MN 的值是13.
11. 已知3
2
x ≥，则22211x x x -+-的最小值为 ▲ ．
【答案】222+
【解析】设1t x =-，则11()2x t t =+≥，所以
22
22212(1)2(1)12211
221x x t t t t t x t t t
-++-++++===++- 222≥+，当且仅当22t =时等号成立，所以2
221
1
x x x -+-的最小值为222+.
12.已知函数2
1()(,g x a x x e e
=-≤≤e 为自然对数的底数)与()2ln h x x =的图象上存在关于x 轴对称的
点，则实数a 的取值范围是 . 【答案】2
[1,2]e -
【解析】由题意，方程2
2ln a x x -=-在1[,]e e
上有解，变形为2
12ln ()a x x x e e =-≤≤，2'2a x x
=-， 当
11x e ≤<时，'0a <，当1x e <≤时，'0a >，
'(1)0a =，因此1x =时，a 取得最小值1，又211
()2a e e
=+，2()2a e e =-，因为221
22e e
->+，所以a 的最大值为22e -，a 的范围是2[1,2]e -.
13. 已知函数()sin 2cos (0)f x m x x m =+>的最大值为2. (1)求函数()f x 在[0,]π上的单调递减区间; (2)△ABC 中,()()46sin sin 44
f A f B A B π
π
-
+-=,角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，且C=60，
c=3，求△ABC 的面积.
【答案】（1）ππ4⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
，；（2）33
【解析】（1）由题意，()f x 的最大值为22m +，所以22=2m +． 而0m >，于是2m =，π
()2sin()4
f x x =+．
()f x 为递减函数，则x 满足ππ3π
2π+2π+242
k x k +≤≤ ()k ∈Z ，
即π5π2π+2π+44k x k ≤≤()k ∈Z ． 所以()f x 在[]0π，上的单调递减区间为ππ4⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
，． （2）设△ABC 的外接圆半径为R ，由题意，得3
2=23sin sin 60c R C ==o
． 化简ππ
()()46sin sin 44
f A f B A B -+-=，得
sin sin 26sin sin A B A B +=． 由正弦定理， 得()226R a b ab +=，2a b ab +=． ①
由余弦定理，得229a b ab +-=，即()2
390a b ab +--=． ② 将①式代入②，得()2
2390ab ab --=．
解得3ab =，或 32ab =-（舍去）．1
sin 2
ABC S ab C ∆=334=．
14. 如图，在三棱柱111ABC A B C -中，D 为棱BC 的中点，1,AB BC BC BB ⊥⊥，
111,2AB A B BB ===.
求证：(1) 1A B ⊥平面ABC ；
(2)1A B ∥平面1AC D .
【答案】（1）详见解析；（2）详见解析； 【解析】
（1）因为1111,,,AB BC BC BB AB BB B AB BB ABB ⊥⊥=⊂I 、平面， 所以111BC ABB AB ABB ⊥⊂平面,又平面，所以1AB BC ⊥；
又因为1111,2AB A B BB AA ====，得22211AA AB A B =+，所以1A B AB ⊥. 又AB BC ABC AB BC B ⊂=I 、平面，，所以1A B ⊥平面ABC ； （2）
连接1A C 交1AC 与点E ，连接DE ，在1A BC ∆中，D E 、分别为1
BC AC 、的中点，所以1//DE A B ，又111,A B AC D DE AC D ⊄⊂平面平面，所以1A B ∥平面1AC D ．
15. 如图，摩天轮的半径OA 为50m ，它的最低点A 距地面的高度忽略不计．地面上有一长度为240m 的景观带MN ，它与摩天轮在同一竖直平面内，且AM ＝60m ．点P 从最低点A 处按逆时针方向转动到最高点B 处，记∠AOP ＝θ，θ ∈(0，π)．
（1）当θ ＝2π
3 时，求点P 距地面的高度PQ ；
（2）试确定θ 的值，使得∠MPN 取得最大值．
【答案】（1）75m ；（2）θ ＝ π
2．
【解析】
（1）由题意，得PQ ＝50－50cos θ ．
从而，当θ ＝2π3 时，PQ ＝50－50cos 2π
3＝75．
即点P 距地面的高度为75m ．
（方法二）以点A 为坐标原点，AM 为x 轴建立平面直角坐标系，
则圆O 的方程为 x 2
＋(y －50)2
＝502
，即x 2
＋y 2
－100y ＝0，点M (60，0)，N (300，0)． 设点P 的坐标为 (x 0，y 0)，所以Q (x 0，0)，且x 02
＋y 02
－100y 0＝0． 从而tan ∠NPQ ＝NQ PQ ＝
300－x 0y 0 ，tan ∠MPQ ＝MQ PQ ＝60－x 0
y 0
．
从而tan ∠MPN ＝tan(∠NPQ －∠MPQ )
＝tan ∠NPQ －tan ∠MPQ 1＋tan ∠NPQ ⋅tan ∠MPQ ＝300－x 0y 0 －
60－x 0
y 01＋300－x 0y 0
×
60－x 0
y 0
＝24y 0
10y 0－36x 0＋1800
． 由题意知，x 0＝50sin θ ，y 0＝50－50cos θ ，
所以tan ∠MPN ＝＝12(1－cos θ)
23－18sin θ－5cos θ ．
（下同方法一）
16. 已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=〉〉经过点31,2P ⎛⎫
⎪⎝⎭
，离心率12e =．
⑴ 求椭圆C 的方程；
⑵不过原点的直线l 与椭圆C 交于,A B 两点，若AB 的中点M 在抛物线2
:4E y x =上，求直线l 的斜率k 的取值范围.
【答案】（1）22143x y +=；（2）0,88⎛⎫⎛- ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭U ． 【解析】(1)22:143
x y C += (2)设直线()()()1122:0,,,,l y kx m m A x y B x y =+≠，()00,M x y ． 由2
2
3412
y kx m x y =+⎧⎨
+=⎩
得()
2223484120k x kmx m +++-=
()()()2
228434412km k m ∆=-+-﹥0
即22
43k m -+﹥0 （1） 又122
834km
x x k
+=-+ 故2243,3434km m M k k ⎛⎫-
⎪++⎝⎭
将2243,3434km m M k k ⎛⎫-
⎪
++⎝⎭
代入24y x =得 ()
()()221634,29
k k m k o +=-
≠----
将（2）代入（1）得：()2
2
2
163481k
k +p
解得k p p 且0k ≠．即k ∈,00,88⎛⎫⎛- ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭
U ．。