中考数学复习《解直角三角形及其实际应用》练习题真题含答案

第5节解直角三角形及其实际应用
(建议答题时间：45分钟)
1. (2017天津)cos60°的值等于()
A. 3
B. 1
C.
2
2 D.
1
2
2. (2017聊城)在Rt△ABC中，cosA＝1
2，那么sinA的值是()
A.
2
2 B.
3
2 C.
3
3 D.
1
2
3. (2017兰州)如图，一个斜坡长130 m，坡顶离水平地面的距离为50 m，那么这个斜坡与水平地面夹角的正切值等于()
A. 5
13 B.
12
13 C.
5
12 D.
13
12第3题图第4题图
4. (2017河北)如图，码头A在码头B的正西方向，甲、乙两船分别从A，B同时出发，并以等速驶向某海域．甲的航向是北偏东35°，为避免行进中甲、乙相撞，则乙的航向不能
．．是()
A. 北偏东55°
B. 北偏西55°
C. 北偏东35°
D. 北偏西35°
5. (2017宜昌)△ABC在网格中的位置如图所示(每个小正方形边长为1)，AD⊥BC
于D，下列四个选项中，错误
．．的是()
A. sinα＝cosα
B. tan C＝2
C. sinβ＝cosβ
D. tanα＝1
第5题图第6题图
6. (2017益阳)如图，电线杆CD的高度为h，两根拉线AC与BC相互垂直，∠CAB＝α，则拉线BC的长度为(A、D、B在同一条直线上)()
A.
h
sinα
B.
h
cosα
C.
h
tanα
D. h·cosα
7. (2017百色)如图，在距离铁轨200米的B处，观察由南宁开往百色的“和谐号”动车，当动车车头在A处时，恰好位于B处的北偏东60°方向上，10秒钟后，动车车头到达C处，恰好位于B处的西北方向上，则这时段动车的平均速度是()米/秒
A. 20(3＋1)
B. 20(3－1)
C. 200
D. 300
第7题图第8题图
8. (2017深圳)如图，学校环保社成员想测量斜坡CD旁一棵树AB的高度，他们先在点C处测得树顶B的仰角为60°，然后在坡顶D测得树顶B的仰角为30°，已知斜坡CD的长度为20 m，DE的长为10 m，则树AB的高度是()
A. 20 3 m
B. 30 m
C. 30 3 m
D. 40 m
9. (2017重庆育才三模)小强到某水库大坝游玩，他站在大坝上的A处看到一棵大树CD的影子刚好落在坝底的B处(点A与大树及其影子在同一平面内)，此时太阳光与地面的夹角为60°，在A处测得树顶D的俯角为15°，如图所示，己知斜坡AB的坡度i＝3∶1，若大坝的高为12 3 米，则大树CD的高约为()米(结果精确到1米．参考数据：2≈1.414，3≈1.732)
A. 13
B. 14
C. 15
D. 16
第9题图第10题图
10. “星光隧道”是贯穿新牌坊商圈和照母山以北的高端居住区的重要纽带．图中线段AB表示该工程的部分隧道，无人勘测飞机从隧道一侧的点A出发，沿着坡度i＝1∶2的路线AE飞行，飞行至分界点C的正上方点D时，测得隧道另一侧点B的俯角为12°，继续飞行到点E，测得点B的俯角为45°，此时点E 离地面高度EF＝700米，则隧道BC段的长度约为()米(结果精确到1米．参考数据：tan12°≈0.2，cos12°≈0.98)
A. 2100
B. 1600
C. 1500
D. 1540
11. (2017重庆西大附中月考)最近央视纪录片《航拍中国》中各地的美景震撼了全国观众，如图是航拍无人机从A点俯拍在坡比为3∶4的斜坡CD上的景点C，此时的俯角为30°，为取得更震撼的拍摄效果，无人机升高200米到达B点，此时的俯角变为45°，已知无人机与斜坡CD的坡底D的水平距离DE为400米，则斜坡CD的长度为()米
(结果精确到0.1米．参考数据：2≈1.41，3≈1.73)
A. 91.1
B. 91.3
C. 58.2
D. 58.4
第11题图第12题图
12. (2017重庆九龙坡区适应性考试)如图，小明家附近有一斜坡AB＝40米，其坡度i＝1∶3，斜坡AB上有一竖直向上的古树EF，小明在山底A处看古树树顶E的仰角为60°，在山顶B处看古树树顶E的仰角为15°，则古树的高约为()米
(结果精确到0.1米．参考数据：2≈1.414，3≈1.732)
A. 16.9
B. 13.7
C. 14.6
D. 15.2
13. 如图是一座人行天桥的示意图，天桥的高CB为10米，坡面CA的坡比为1∶ 3.为了方便行人推车过桥，市政部门决定降低坡度，使新坡面CD的坡角为
18°，问离原坡脚(点A)15米的花坛E，与新坡脚(点D)的距离DE大约为()米
(结果精确到0.01米．参考数据：sin18°≈0.31，cos18°≈0.95，tan18°≈0.32，2≈1.41，3≈1.73)
A. 2.05
B. 1.50
C. 1.05
D. 2.50
第13题图第14题图
14. 如图，我校临江园前河坝横断面迎水坡AB长40 m，坡比是1∶3，BC为坝高．某同学在临江园B处测得江中迎面匀速驶来的小船在M处的俯角为14°，他立刻朝万象楼方向走17 m到D处，并向上到达楼顶E处，共用时60 s，在E 处测得小船在N处的俯角为58°，已知万象楼高DE＝25 m，江水深FH＝9 m，若小船的航行方向和该同学的行走方向与河坝横断面在同一平面内，则小船的行驶速度为()m/s(结果精确到0.01.参考数据：3≈1.73，sin14°≈0.24，tan14°≈0.25，sin58°≈0.85，tan58°≈1.60)
A. 0.24
B. 0.64
C. 0.65
D. 0.70
15. (2017烟台)在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝2，BC＝3，则sin A
2＝________.
16. (2017广州)如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝15，tanA＝15
8，则AB＝________.
第16题图第17题图
17. (2017山西)如图，创新小组要测量公园内一棵树的高度AB，其中一名小组成员站在距离树10米的点E处，测得树顶A的仰角为54°.已知测角仪的架高CE
＝1.5米，则这棵树的高度为________米．(结果
保留一位小数．参考数据：sin54°＝0.8090，cos54°＝0.5878，tan54°＝1.3764) 18. (2017德阳)如图所示，某拦水大坝的横断面为梯形ABCD，AE、DF为梯形的高，其中迎水坡AB的坡角α＝45°，坡长AB＝62米，背水坡CD的坡度i＝1∶3 (i为DF与FC的比值)，则背水坡CD的坡长为________米．
第18题图第19题图
19. (2017苏州)如图，在一笔直的沿湖道路l上有A、B两个游船码头，观光岛屿C在码头A北偏东60°的方向，在码头B北偏西45°的方向，AC＝4 km.游客小张准备从观光岛屿C乘船沿CA回到码头A或沿CB回到码头B，设开往码头A、
B的游船速度分别为v1、v2，若回到A、B所用时间相等，则v1
v2＝________．(结
果保留根号)
20. (2017海南)为做好防汛工作，防汛指挥部决定对某水库的水坝进行加高加固，专家提供的方案是：水坝加高2米(即CD＝2米)，背水坡DE的坡度i＝1∶1(即DB∶EB＝1∶1)，如图所示．已知AE＝4米，∠EAC＝130°，求水坝原来的高度BC. (参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.2)
第20题图
21. (2017郴州)如图所示，C城市在A城市正东方向，现计划在A、C两城市间修建一条高速铁路(即线段AC)，经测量，森林保护区的中心P在A城市的北偏东60°方向上，在线段AC上距A城市120 km的B处测得P在北偏东30°方向上，已知森林保护区是以点P为圆心，100 km为半径的圆形区域，请问计划修建的这条高速铁路是否穿越保护区，为什么？(参考数据：3≈1.73)
第21题图
22. (2017上海)如图，一座钢结构桥梁的框架是△ABC，水平横梁BC长18米，中柱AD高6米，其中D是BC的中点，且AD⊥BC.
(1)求sinB的值；
(2)现需要加装支架DE、EF，其中点E在AB上，BE＝2AE，且EF⊥BC，垂足为点F，求支架DE的长．
第22题图
23. (2017鄂州)小明想要测量学校食堂和食堂正前方一棵树的高度，他从食堂楼底M处出发，向前走3米到达A处，测得树顶端E的仰角为30°，他又继续走下台阶到达C处，测得树的顶端E的仰角是60°，再继续向前走到大树底D处，测得食堂楼顶N的仰角为45°.已知A点离地面的高度AB＝2米，∠BCA＝30°，且B、C、D三点在同一直线上．
(1)求树DE的高度；
(2)求食堂MN的高度．
第23题图
答案
1. D
2. B
3. C
4. D【解析】如解图，∵两船等速且不能相撞，∴甲与乙所行路程不能相等，∴△ABC不能是等腰三角形，∴∠CBD≠35°，∴乙的航向不能是北偏西35°.
第4题解图
5. C 【解析】∵网格中每一个小正方形的边长均为1，则AD ＝2，BD ＝2，CD
＝1，AB ＝AD 2＋BD 2＝22，AC ＝AD 2＋CD 2＝5，∴sin α＝BD AB ＝22，cos
α＝AD AB ＝22，∴sin α＝cos α，故A 正确；tanC ＝AD CD ＝2，故B 正确；sin β＝CD AC ＝55，cos β＝AD AC ＝255，∴sin β≠cos β，故C 错误；tan α＝BD AD ＝1，故D 正确．
6. B 【解析】∵AC ⊥BC ，∴∠ACD ＋∠DCB ＝90°，∵CD ⊥AB ，∴∠ACD ＋
∠CAD ＝90°，∴∠BCD ＝∠CAD ＝α，在Rt △BCD 中，∵CD ＝h ，cos ∠BCD ＝CD BC ，
即cos α＝h BC ，∴BC ＝h cos α
. 7. A 【解析】如解图，作BD ⊥AC 于点D ，则BD ＝200，∠CBD ＝45°，∠ABD ＝60°，∴AC ＝DC ＋AD ＝200＋2003，∴动车的平均速度是(200＋2003)÷10＝20＋203＝20(1＋3)米/秒．
第7题解图
8. B 【解析】∵在Rt △CDE 中，DE ＝10 m ，CD ＝20 m ，∴∠DCE ＝30°，∵矩形AFDE 中，DF ∥AE ，∴∠CDF ＝∠DCE ＝30°，又∵∠BDF ＝30°，∴∠BDC ＝60°，又∵∠BCA ＝60°，∴∠BCD ＝90°，∴BC ＝3CD ＝20 3 m ，∵在Rt
△ABC 中，∠ACB ＝60°，∴AB ＝32BC ＝30 m .
9. C 【解析】如解图，过点D 作DF ⊥AB 于点F ，过点A 作AG ⊥BC 于点G ，在Rt △AGB 中，AG ＝123米，∵AB 的坡度i ＝3∶1，∴∠ABG ＝60°，BG ＝
12，∵∠CBD＝60°，∴∠DBA＝60°，∵AE∥BC，∴∠EAB＝∠ABG＝60°，∵∠EAD＝15°，∴∠DAB＝45°，∵∠CBD＝∠ABD＝60°，∴DF＝DC，设DC＝x，在Rt△ADF中，∠DAF＝45°，∴AF＝DF＝x，∵AB＝AG2＋BG2＝24，则BF ＝24－x，在△BDF中，∵DF＝BF·tan60°，∴x＝3(24－x)，解得，x＝36－123，约为15米．
第9题解图
10. C【解析】在Rt△BEF中，∵∠EBF＝45°，∴BF＝EF＝700 m，∵i＝EF
AF＝
CD AC＝1
2，设CD＝x m，∴AC＝2x m，AF＝2EF＝1400 m，∴AB＝AF＋BF＝2100
m，在Rt△BCD中，∵∠CBD＝12°，∴BC＝
CD
tan12°
≈
x
0.2＝5x m，∴AB＝AC＋
BC＝2x＋5x＝7x m，则7x＝2100，∴x＝300 m，BC＝5x＝1500 m.
11. B【解析】如图，过点C作CF⊥DE于F，作CM⊥BE于M. 依题意，设CF＝3x, 则DF＝4x，∴ME＝CF＝3x, CM＝EF＝4x＋400.∵∠BCM＝45°，∴BM＝CM＝4x＋400，∴AM＝BM－AB＝4x＋400－200＝4x＋200.∵∠ACM＝
30°，∴tan∠ACM＝AM
CM＝
4x＋200
4x＋400
＝
3
3，∴x＝25(3－1)≈25×0.73＝18.25，
则CD＝（3x）2＋（4x）2＝5x＝18.25×5＝91.25≈91.3.
第11题解图
12. A【解析】如解图，过点B作BD∥AC交AE于点D，过点E作EG⊥AB
于点G，延长EF与AC相交于点H，∵tan∠BAC＝i＝1
3
＝
3
3，∴∠BAC＝30°，
∴∠DBA ＝∠BAC ＝30°，∠BAE ＝∠CAE －∠CAB ＝30°，∠EFG ＝∠AFH ＝60°，∵∠EBD ＝15°，∴∠EBG ＝45°，则EG ＝BG ，设EG ＝BG ＝x m ，在Rt △AEG
中，AG ＝EG tan 30°＝3x m ，∴AB ＝AG ＋BG ＝(3＋1)x m ＝40 m ，解得，x ＝(203－20) m ，在Rt △EFG 中，EF ＝EG sin 60°≈16.9 m .
第12题解图
13. C 【解析】在Rt △ABC 中，BC ＝10米，∵坡面AC 的坡比为1∶3，∴∠
BAC ＝30°，∵tan 30°＝BC AB ，∴AB ＝103≈17.3 m ，∴BE ＝AB ＋AE ≈17.3＋15
＝32.3 m ，在Rt △BCD 中，∠BDC ＝18°，BC ＝10 m ，∵tan 18°＝BC BD ，∴BD ＝
BC tan 18°
≈31.25 m ，∴DE ＝BE －BD ≈32.3－31.25＝1.05 m . 14. B 【解析】如解图，∵i AB ＝1∶3，∴∠BAC ＝30°，∴BC ＝12AB ＝20 m ，
∵CG ＝FH ＝9 m ，∴DK ＝BG ＝20－9＝11 m ，∴EK ＝DE ＋DK ＝25＋11＝36 m ，
在Rt △EKN 中，∠ENK ＝58°，∴NK ＝EK tan 58°
≈361.6＝22.5m ，在Rt △BGM 中，∠BMG ＝14°，∴GM ＝BG tan 14°
≈110.25＝44 m ，∴MK ＝KG ＋GM ≈17＋44＝61 m ，∴MN ＝MK －NK ≈61－22.5＝38.5 m ，∴小船行驶的速度为38.5÷60≈0.64 m /s .
第14题解图
15. 12 16. 17
17. 15.3 【解析】根据题意得CD ＝BE ＝10米，BD ＝CE ＝1.5米， ∠ACD ＝54°，∴AD ＝CD ·tan 54°＝10×tan 54°≈13.8米，∴这棵树的高度AB ＝AD ＋BD ≈13.8＋1.5＝15.3米．
18. 12【解析】在Rt△ABE中，∠α＝45°，AB＝62，则AE＝6，DF＝AE＝6，在Rt△DFC中，DF＝6，DF∶FC＝1∶3，∴∠C＝30°，∴DC＝2DF＝12. 19. 2【解析】如解图，过C作CD⊥AB于D，在Rt△ACD中，∠CAD＝30°，AC＝4 km，∴CD＝2 km，在Rt△CDB中，∠CBD＝45°，CD＝2，∴BC＝22，
∵游船开往A和开往B所用时间相等，设时间为t，则v1＝AC
t，v2＝
BC
t，∴
v1
v2＝
AC BC＝
4
22
＝ 2.
第19题解图
20. 解：设BC＝x米，在Rt△ABC中，∠CAB＝180°－∠EAC＝50°，
AB＝BC
tan50°≈
BC
1.2＝
5BC
6＝
5
6x，
在Rt△EBD中，∵i＝DB∶EB＝1∶1，∴BD＝BE，∴CD＋BC＝AE＋AB，
即2＋x＝4＋5
6x，解得x＝12，
即BC＝12，
答∶水坝原来的高度为12米．
21. 解：不会穿越保护区．理由如下：
如解图，过点P作PD⊥AC于点D，设BD＝x，∵在Rt△BDP中，∠PBD＝90°－30°＝60°，
∴PD＝BD·tan∠PBD＝3BD＝3x，
∵在Rt△ADP中，∠P AD＝90°－60°＝30°，
∴AD＝
PD
tan∠PAD
＝3PD＝3x，
∵AB＝AD－BD＝120，
∴3x－x＝120，解得x＝60，
∴PD ＝603≈103.8＞100，
∴计划修建的这条高速铁路不会穿越保护区．
第21题解图
22. 解：(1)在Rt △ABD 中，∵BD ＝DC ＝9，AD ＝6， ∴AB ＝BD 2＋AD 2＝92＋62＝313，
∴sinB ＝AD AB ＝6313
＝21313. (2)∵EF ∥AD ，BE ＝2AE ，
∴EF AD ＝BF BD ＝BE BA ＝23，
∴EF 6＝BF 9＝23，
∴EF ＝4，BF ＝6，
∴DF ＝3，
在Rt △DEF 中，DE ＝EF 2＋DF 2＝42＋32＝5.
23. 解：(1)∵∠ACB ＝30°，∠ECD ＝60°，
∴∠ACE ＝90°，
∵AF ∥BD ，
∴∠ACB ＝∠F AC ＝30°，
∴∠EAC ＝60°，
在Rt △ABC 中，AB ＝2, ∠ACB ＝30°，
∴AC ＝4，
在Rt △ACE 中，
∵AC ＝4，∠EAC ＝60°，
∴AE ＝8；
∵在Rt △AEF 中，∠EAF ＝30°，AE ＝8，
∴EF＝4，
∴DE＝EF＋DF＝4＋2＝6.
即树DE的高为6米；
(2)如解图，延长NM交DB延长线于点G，在Rt△ABC中，
AB＝2，∠ACB＝30°，
∴BC＝23，
在Rt△ECD中，
DE＝6，∠ECD＝60°，
∴CD＝DE
tan60°
＝23，
∵∠NDB＝45°，
∴NG＝GD＝AM＋BC＋CD＝3＋23＋23＝3＋43，∴MN＝NG－MG＝3＋43－2＝43＋1.
第23题解图。