【世纪金榜】人教版第一轮复习理科数学教师用书配套课件用向量讨论垂直与平行

是平面MNE的一个法向量.
uuuur
则
m
ห้องสมุดไป่ตู้
Muu即uNr，
m ME，
a c 0， b c 0.
解得
a b

令c，c=1,则a=-1,b=1.
c，
所以m=(-1，1，1).
而平面A1BD的一个法向量n=(1,-1,-1),所以m=-n,即m∥n，所以平 面A1BD∥平面MNE.
【规律方法】用向量法证平行问题的类型及常用方法
线线平行 证明两直线的方向向量共线
线面平行
①证明该直线的方向向量与平面的某一法向量垂直 ②证明直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平 行 ③证明该直线的方向向量可以用平面内的两个不共线 的向量线性表示
面面平行
①证明两平面的法向量平行(即为共线向量) ②转化为线面平行、线线平行问题
方法二：MuuuNur

uuuur C1N

uuuur C1M

1 2
uuuur C1B1

1 2
uuur C1C

1 2
uuuuur (D1A1

uuuur D1D)

1 2
uuuur DA1.
所以
uuuur MN
P
uuuur DA1,
又因为MN与DA1不共线，所以MN∥DA1,
又因为MN 平面A1BD,A1D 平面A1BD,
在
直线P(为0，x轴2 ，、0)，y轴D(、 z2轴，建2立，0)空，间直角坐标系，
2
22
则
N(1 2 ， 2 ，0)，
OMuu(uNu0r ， (10，22)，，2M，(01)，，0，1)， 4 4
44
uuur OP

(0，
2
，
uuur 2)，OD

(
2 ， 2 ， 2).
2
22
设平面OCD的一个法向量为n=(x,y,z),
【证明】因为平面PAD⊥平面ABCD且ABCD为正方形, 所以AB,AP,AD两两垂直,以A为坐标原点, 建立如图所示的空间直角坐标系Axyz,
则A(0,0,0),B(2,0,0),C(2,2,0),D(0,2,0),P(0,0,2),E(0,0,1),
F(0,1,1),G(1,2,0)． Pu＝uBr (2,0，－2)，
【一题多解】用向量法解答本题，你知道几种解法？
解答本题，用向量法还有以下两种解法.
方法一：因为 DuuAu=ur1(2,0,2), =Muu(uN1ur ,0,1)，
所以
uuuur DA1

uuuur uuuur 2MN,即DA1
P
uuuur MN,
又DA1 平面A1BD,MN 平面A1BD,
所以MN∥平面A1BD.
uuur
uuur
则 ngOP 0,ngO即D 0，

2 y 2z 0, 2

2 x 2
2 y 2z 0. 2
取z= 2，解得n=(0,4, )2.
因为
uuuur MNgn

(1
2,
2 , 1)g 0，4，2 0，
44
且MN 平面OCD，所以MN∥平面OCD.
设a,b是平面α内两不共线向量，n为平面α的法向量，则求法向量
nga 0,
的方程组为__n_gb___0_.
3.必用技法 核心总结 看一看 (1)常用方法:基向量法、坐标法证明垂直、平行的方法. (2)数学思想:数形结合、转化与化归、函数与方程思想.
【小题快练】 1.思考辨析 静心思考 判一判 (1)直线的方向向量是唯一确定的. ( ) (2)两个不重合直线l1和l2的方向向量分别为v1=(1,0,-1),v2=(-2,0,2), 则l1和l2的位置关系是平行. ( ) (3)平面的单位法向量是唯一确定的. ( ) (4)若两平面的法向量平行,则两平面平行. ( ) (5)若两直线的方向向量不平行,则两直线不平行. ( ) (6)若空间向量a平行于平面α,则a所在直线与平面α平行. ( )
是( )
A.(1 ,1,1)
3
B.(-1,-3,2)
C.( 1 , 3 , 1)
D.( 2 ,-3,-2 2 )
22
【解析】选C.由已知可得 1 a ( 1 , 3 , 1). 故选C.
2
22
(2)(2015·吉安模拟)设l1的方向向量a=(1,2,-2),l2的方向向量b=
(-2,3,m),若l1⊥l2,则m= ( )
A.1
B.2
C.1
D.3
2
【解析】选B.若l1⊥l2,则a⊥b,即a·b=0,故-2+2×3-2×m=0,所以m=2.
(3)(2015·宝鸡模拟)如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,棱长为
a,M,N分别为A1B和AC上的点,A1M=AN= 2a ,则MN与平面BB1C1C的位置
3
关系是 ( )
③平面与平面平行的判定方法:
如果不重合的平面α和平面β的法向量分别为n1和n2,则 α∥β⇔_n_1=_λ__n_2_.
2.必备结论教材提炼记一记
(1)直线的方向向量的确定：l是空间一直线，A，B是l上任意两点，
则
uuur AB
及与
uuur AB
平行的非零向量均为直线l的方向向量．
(2)平面的法向量的确定:
提醒:用向量结论还原几何结论时,要注意书写规范,说明定理的条件.
【变式训练】如图,在四棱锥O-ABCD中,底面ABCD是边长为1的菱形,
∠ABC= ,OA⊥底面ABCD,OA=2,M为OA的中点,N为BC的中点.利用向量
4
方法证明:直线MN∥平面OCD.
【证明】作AP⊥CD于点P，连接OP，如图，分别以AB，AP，AO所
【加固训练】1.(2015·天津模拟)如图在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底 面ABCD是平行四边形,E,F,G分别是A1D1,D1D,D1C1的中点.用向量方法 证明平面EFG∥平面AB1C.
【证明】设
uuur AB

uuur a, AD

uuuur b, AA1

c,
由题干图可知
uuur uuur uuur AC AB BC a b，
【规范解答】如图所示，建立空间直角坐标系，
设正方体的棱长为2，则D(0,0,0),B(2,2,0), A1(2,0,2),M(0,2,1),N(1,2,2)， Muuu=Nur (1,0,1), DuuBur=(2,2,0), D=uuAu(u2r1 ,0,2). 设n=(x,y,z)是平面A1BD的一个法向量.
A.斜交
B.平行
C.垂直
D.不能确定
【解析】选B.建立如图所示的空间直角坐标系，
由于A1M=AN2=a ,
则
M(a,
2a
,
a
),
3 N(
2a
,
2a
,
a),
uuuur MN

(
a
,
0,
2a
),
33 3 3
33
又C1D1⊥平面BB1C1C，
所以 Cuu1uDu=r1 (0,a,0)为平面BB1C1C的一个法向量.
uuur
所以
n

DB，
uu即uur
n DA1，
2x 2y 0，
2x解得2z 0，
y x， z x.
令x=1,则y=-1,z=-1,所以n=(1，-1，-1).
因为 Muu·uNurn=1+0-1=0，所以 MuuuN⊥ur n.
又因为MN 平面A1BD,所以MN∥平面A1BD.
所以α⊥β,
当v=(4,-4,-10)时,v=-2 ,所以α∥β.
答案:α⊥β α∥β
(2)(选修2-1P42习题2-4A组T2改编)如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1
中,O是底面正方形ABCD的中心,M是D1D的中点,N是A1B1的中点,则直线
ON,AM的位置关系是
.
【解析】以D为坐标原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x,y,z轴建立空间
【解析】(1)错误.与直线平行的任意非零向量都是该直线的方向向 量.(2)错误.v1∥v2,则l1与l2平行或重合.(3)错误.由于法向量的方向不同, 所以平面的单位法向量不唯一.(4)正确.由平面平行的转化定理可 知.(5)正确.由直线平行的转化定理可知其逆否命题正确,根据等价命 题可知.(6)错误.若a∥α,则向量a所在直线与平面平行或在平面α内. 答案:(1)× (2)× (3)× (4)√ (5)√ (6)×
所以MN∥平面A1BD.
【易错警示】解答本题有一点容易出错: 只证明 MuuuNur⊥n,而忽视MN 平面A1BD的情况就下结论MN∥平面A1BD, 而造成步骤不规范的失误.
【互动探究】本例的条件不变，若E为C1D1的中点，证明平面A1BD∥ 平面MNE.
【证明】由例题知E(0,1,2). 所以 MuuuEr=(0,-1,1),设m=(a，b，c)

uuuur D1G

1 2
c

1 2
a

1 2
uuuur AB1.
因为 FuuGur与Au无uBuur公1 共点，所以FG∥AB1，
因为AB1 平面AB1C，所以FG∥平面AB1C.
又因为FG∩EG=G，所以平面EFG∥平面AB1C.
2.如图所示,平面PAD⊥平面ABCD,ABCD为正方形,△PAD是直角三角形, 且PA=AD=2,E,F,G分别是线段PA,PD,CD的中点. 求证:PB∥平面EFG.
uur uur uuur PB＝2FE＋2FG，
与PuuBr 共Fuu面Er，Fu．uGur
因为PB 平面EFG，所以PB∥平面EFG.
考点2 利用空间向量证明垂直问题 【典例2】(2015·济南模拟)如图,在三棱锥P-ABC中, AB=AC,D为BC的中点,PO⊥平面ABC,垂足O落在线段AD 上.已知BC=8,PO=4,AO=3,OD=2. (1)证明:AP⊥BC. (2)若点M是线段AP上一点,且AM=3.试证明平面AMC⊥平面BMC.
FuuE＝r (0，－1,0)， Fu＝uGur (1,1，－1)，
设
uur uur uuur PB＝sFE＋tFG，
即(2,0，－2)＝s(0，－1,0)＋t(1,1，－1)，
t 2,
所以 t s 解0,得s＝t＝2.所以 又因为tFuuE与r2, 不FuuGur共线，所以
第八节 用向量讨论垂直与平行
【知识梳理】
1.必会知识 教材回扣 填一填
(1)直线的方向向量与平面的法向量的确定: ①直线的方向向量:在直线上任取一_非__零__向量作为它的方向向量.
②平面的法向量可利用方程组求出:设a,b是平面α内两不共线向 _n_·___a_=_0_,
量,n为平面α的法向量,则求法向量的方程组为 _n_·___b_=_0_.
uuur EG

uuuur ED1

uuuur D1G

1 2
b

1 2
a

1 2
uuur AC，
因为 EuuGur与无AuuCur公共点，所以EG∥AC，
因为AC 平面AB1C，所以EG∥平面AB1C.
又因为
uuuur AB1

AuuBur=aAuu+Auucr1，
uuur FG

uuur FD1
因为
uuuur uuuur MN C1D1

0,
所以
uuuur MN

uuuur C1D1
,
所以MN∥平面BB1C1C.
考点1 利用空间向量证明平行问题 【典例1】如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是C1C,B1C1的 中点.求证:MN∥平面A1BD.
【解题提示】建立空间直角坐标系,证明MN与平面A1BD的法向量垂直.
(2)利用向量的知识判定线线、线面、面面平行的方法:
①直线与直线平行的判定方法: 如果不重合的直线a和直线b的方向向量分别为a和b,则a∥b⇔_a_=_λ__b_. ②直线与平面平行的判定方法:
(ⅰ)如果平面α外的直线a的方向向量为a,平面α的法向量为n,则 a∥α⇔_a_·__n_=_0_; (ⅱ)如果平面α外的直线a的方向向量为a,e1,e2是平面α的一组基底 (不共线的向量),则a∥α⇔_a_=_λ__1e_1_+_λ__2e_2_;
直角坐标系,设DA=2,则A(2,0,0),M(0,0,1),O(1,1,0),N(2,1,2),所
以 AuuMu=ur (-2,0,1), =Ouu(Nur1,0,2),
=Au-uM2uur+gOu0uNu+r 2=0,所以AM⊥ON.
答案:垂直
3.真题小试 感悟考题 试一试
(1)(2015·九江模拟)与向量a=(1,-3,2)平行的一个向量的坐标
2.教材改编 链接教材 练一练
(1)(选修2-1P41 T2改编)设 ,v分别是平面α,β的法向量, =
(-2,2,5),当v=(3,-2,2)时,α与β的位置关系为
;当v=
(4,-4,-10)时,α与β的位置关系为
.
【解析】当v=(3,-2,2)时, ·v=-2×3+2×(-2)+5×2=0,