同角三角比的关系

当 α 是第二象限的角时，sin α > 0 ，得
5 12 sin α = 1 − cos 2 α = 1 − − = 13 13 sin α 5 1 12 tgα = = − , ctgα = =− . cos α 12 tgα 5
2
当 α 是第三象限的角时，sin α < 0 ，得
x
学一学： 学一学：
利用商数关系，我们可以用正弦和余弦来 表示正切和余切。
3. 平方关系
y2 x2 2 2 2 2 Q r = x + y , sin α = 2 , cos 2 α = 2 r r
y 2 + x2 我们可以得到 sin 2 α + cos 2 α = =1 2 r 类似的，1 + tg 2α = sec 2 α , 1 + ctg 2α = csc 2 α . 综合以上三种关系，只要知道 的某个 综合以上三种关系，只要知道α的某个 三角比，就能求出α的其他三角比 的其他三角比。 三角比，就能求出 的其他三角比。
学一学： 学一学：
2. 商数关系
y
p ( x, y)
y x , cos α = Q sin α = y r r π cos α ≠ 0 时，即 α ≠ kπ + (k ∈ Z ) 1） 当 α 2 O x Q y sin α r y 时，有 = = = tgα 。 cos α x x 可以得到 r sin α 2） 当 sin α ≠ 0 时，即 α ≠ kπ (k ∈ Z ) tgα = , cos α x cos α cos α r x ctgα = . = = = ctgα 。 时，有 sin α y y sin α r
学一学： 学一学：
1. 倒数关系
y Q sin α = r
,
y
p ( x, y)
r csc α = y
α
O
y
∴ sin α 与 csc α互为倒数。
可以得到 sin α csc α = 1
x
Q
xቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
类似的， α α = 1 ， tgα ctgα = 1 。 cos sec 利用倒数关系，可分别用 sin α ， α cos 和 tgα 表示 csc α ，sec α 和 ctgα 。
同角三角比的关系
执教老师：胡 波
y
忆一忆： 忆一忆：
p ( x, y )
任意角α的六个三角比
y
α
O
sin α =
cos α =
tgα =
ctgα =
y r x r y π (α ≠ kπ + ) 2 x x (α ≠ kπ + π ) y
x
Q
x
sec α
csc α
r π = (α ≠ kπ + ) 2 x r = y (α ≠ kπ + π ) 以上 k ∈ Z
想一想： 想一想：
解一解： 解一解：
4 例1 已知 cos α = ，并且 α 是第四象限的角，求 α 的 5 其他三角比。 由 sin 2 α + cos 2 α = 1 ，可得 sin α = ± 1 − cos 2 α 。 解：
因为α 是第四象限的角，所以 sin α < 0 ，于是有
1 4 =− tgα 3
5 5 12 sin α = − , tgα = , ctgα = . 13 12 5
谢谢！
4 2 3 sin α = − 1 − cos α = − 1 − ( ) = − 5 5
2
ctgα =
3 sin α 5 =−3 tgα = =− 4 cos α 4 5
sec α = csc α =
1 5 = cos α 4 1 5 =− sin α 3
例2 已知 cos α = −
12 ，求 sin α 、tgα 和 ctgα 。 13 解： 因为 −1 < cos α < 0 ，所以 α 是第二或第三象限的角。