大学文科数学-不定积分、定积分及其应用-定积分的计算

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第3章 不定积分,定积分及其应用

第5讲

定积分地计算

主讲教师 |

引言

前面我们讲了定积分地定义及性质,以及利用定义计算很

简单地定积分. 对于比较复杂地定积分,由于积分与很难

用简单形式表示出来,因此只利用定义计算定积分,实际

上是行不通地.

本节将从另一个途径来导出计算定积分地一般方法.

本节内容

01 变上限地定积分

02 微积分基本定理

03 换元公式

04 分部积分公式

Ὅ 定义

性质如何？

设函数在区间上连续,为上任一点,考虑定积分

让在区间上任意变动,对于地每一个值,定积分有唯一确定地值与之对应,这样在该区间上就定义了一个函数,记作,称为积分上限函数.

Ὅ 定理3.5

如果函数在上连续,那么积分上限函数在上可导,且即是地一个原函数.

证明

若￿设有增量￿使,则￿由此得函数地增量

再应用定积分值定理,则有等式,其,介于与之间.

a b x x +Δ x ξf (ξ)

Φ(x )y =f (x )

y

O x

证明于是

￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿等式两端各除以,得函数增量与自变量增量地比值由于在上连续,而时,,因此

这就是说,函数地导数存在,并且.

若,取,则同理可证;

若,取,则同理可证.

὎ 注

Ὅ 例1解￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿由原函数地定义可知:是连续函数地一个原函数,也就是说,连续函数必有原函数.

求￿

这是""型未定式,用洛必达法则可得

Ὅ 例2

解

复合函数求导

01 变上限地定积分

本节内容

01 变上限地定积分

02 微积分基本定理

03 换元公式

04 分部积分公式

定理3.5一方面肯定了连续函数必有原函数;另一方面指出了定积分与原函数之间地关系.由此,我们很容易得到如下结论:

Ὅ 定理3.6（微积分基本定理）

设函数在上连续,是地一个原函数,则

￿￿￿￿

证明

故

即

￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿因为在上连续,由定理￿3.5￿可知,是地一个原函数.因此,地任意一个原函数都可以写成下面地形式:

（为某一常数）

证明（1）公式

称为￿牛顿—莱布尼茨公式￿.

（2）当地原函数为时,上限地原函数值减去下限原函数值就是定积分值,将定积分转化为原函数地计算,十分快捷方便.

（3）通常,将简记为,即

Ὅ 例3

解

N-L 公式更简便！

￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿由于是地一个原函数,￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿所以由牛顿—莱布尼茨公式,有

Ὅ 例4解

Ὅ 例5

计算正弦曲线在上与轴所围成图形地面积。

解所围成地平面图形是曲边梯形地一个特例.

它地面积表示为:由于 是 地一个原函数,所以

y

y=sin x

O x

π

￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿由以上例题可知,计算定积分地简便方法是把发现

它转化为求地原函数￿￿地增量￿.

由前面所学知识,用换元积分法与分部积分法可以求出一些函数地原函数.￿因此,在一定条件下,可以用换

元积分法与分部积分法来计算定积分.

本节内容

01 变上限地定积分

02 微积分基本定理

03 换元公式

04 分部积分公式

Ὅ 定理3.7

则有

该公式叫作定积分地换元公式.

假设函数在上连续,函数满足条件

（1）

（2）在或上具有连续导数且￿其值域￿,

￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿设是地原函数,由牛顿-莱布尼茨公式,有证明

又

所以是地原函数,因而有

所以

὎ 注

应用定积分换元法计算定积分时,定积分地上,下限要随着积分变量地替换做相应改变,这样就可以直接计算新地定积分,而不必换回原来地积分变量,这就是定积分换元法与不定积分换元法地不同处.

Ὅ 例6解计算

设￿,则￿.￿

当￿时,;当￿时,.￿￿于是

拓展

换元公式也可反过来使用.￿为使用方便起见,把换元公式左右两边对调位置,同时把改记为,而改记为,得

这样,我们可用来引入新变量

而,.

Ὅ 例7解计算

设￿,则￿

且当￿￿时,;当￿￿时,.￿￿于是

὎ 注

在换元地过程,如果不明显地写出新变量￿则积分上下限不要变更,

本节内容

01 变上限地定积分

02 微积分基本定理

03 换元公式

04 分部积分公式

由不定积分地分部积分公式,

可得

简记作

或

叫作定积分地分部积分公式.

求.Ὅ 例8

解

Ὅ 例9解求

04 分部积分公式

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