第三节三重积分计算法

设M（x,y,z）为空间
z
一点，如果将x，y，z
改用另外三个数r，,z
来表示，则称（r, ,z） O r
为点M的柱面坐标。
x
M (x, y, z)
z
y
P(r, )
在xoy面上 r, 就是极坐标
由图可知柱面与直角坐标的关系是
x r cos
y
r
sin
(0 r ,0 2 , z )
且被积函数含有
x2 y2, y x
常用极柱坐标
2.球面坐标
由球面坐标与直角坐标的关系：
x r sin cos 0 r
y
r
sin
sin
z r cos
,
0
0 2
体积元素
三重积分在球面坐标系下的形式：
f (x, y, z)dv F(r,,)r2 sindrdd
其中 F(r,,) f (r sin cos, r sin cos, r cos)
4
所以 zdxdydz rdrd r2 zdz
D
2
2
4
d rdr zdz
0
0
r2
1
2
d
2 r(16 r2 )dr
20
0
1 2
2 [8r 2
r2 6
]02
64 3
例6 计算 I (x2 y2)dv 其中
由锥面x2 y2 z2 , x 0, y 0
和z a a 0所围成第一卦限 z z a
f (x, y, z)dv
球面方程：r a
2
d
d
a F(r,, )r2 sindr
0
0
0
一般地，空间区域 包含原点在其内
部，边界曲面为r r , , 则有
f x, y, zdv
2
d
d
r( , ) F (r, , )r 2 sindr
0
0
0
例6 求半径为 a
z
的球面与半顶角
为 的内接圆锥
1
dxdy f (x, y, z)dz 1 x y Dxy
1
1x
1
dx dy f (x, y, z)dz
0
0
1x y
1）投影法（先一后二）
f (x, y, z)dv [ z2(x,y) f (x, y, z)dz]dxdy
z1 ( x, y) D
2）截面法（先二后一）
计算三重积分时，先求一个二重积 分，再求一个定积分的方法
第三节 三重积分的计算法
三重积分 f (x, y, z)dv 可以用
直角坐标、柱面坐标和球面坐标 来计算. 其方法都是将三重积分化为三次积分.
一 利用直角坐标计算三重积分
体积元素 dv dxdydz
f (x, y, z)dv f (x, y, z)dxdydz
设 如图,将向xoy面投影，
在柱面坐标系下
f (x, y, z)dv f (r cos,r sin, z)rdrddz
设 : z1 x, y z z2 x, y, x, y Dxy
则积分区域在柱面坐标系下的表示为：
:1 r, z 2 r, ,r, Dr
因此
f (x, y, z)dv rdrd 2(r, ) f (r cos , r sin , z)dz
例1 计算 xdv,其中 为三个坐标面
及平面x＋2y＋z＝1所围成的区域。 z
z 1 x 2y
C(0, 0,1)
解 在xoy面上的投影为 Dxy
: 0 z 1 x 2y, x, yDxy
O
B(0, 1 , 0) 2
y
Dxy
x, y
若 Dxy看成X型域，则
x A(1,0,0) y 1 x
4 x2 y2 , Dxy : x2 y2 3
柱面坐标 ：r2 z 3
4
-
r2
,
Dr
:
0 0
r
3
2
,
：r2 z 4 - r2 , 0 r 3, 0 2
3
2
3
4r2
zdv zrdrddz 0 d 0 rdr r2 zdz
3
1
2
d
3 (4 r2 r4 )rdr
: 0 z 1 x 2y,x, yDxy
2
:
0
z
1
x
2 y,
Dxy
:
0
y
1 x 2
1x2 y
0 x 1
xdv dxdy0 xdz
D
1
1 x
1x2 y
dx 2 dy
xdz
0
0
0
1
1 x
xdx 2 (1 x 2 y)dy
0
0
1
1
(x
2x2
x3 )dx
1
40
48
例2 将 f (x, y, z)dv 化为直角坐标系下的
影区域 Dxy上用极坐标作二重积分呢？
答：可以
三 用球面坐标计算三重积分
设M（x,y,z）为空间一点， z
M
如果将x，y，z改用另外 三个数r， ， 来表示,
r
z
则称（r， ， ）为点M的 O
球面坐标。
x
y
xy
P
球面坐标与直角坐标的关系是
x r sin cos
z
M
y
r
sin
sin
OP r sin
c1
Dz
先求出DZ 上的二重积分再求定积分.
此法常用于Dz上的二重积分易求的情形
例3 计算 z2dxdydz ，其中 是由椭球
面
x2 a2
y2 b2
z2 c2
1
所围成的空间闭区域。
z
解 z的最小值和最大值为
c和 c ，即
c
z
O
D0
Dz
by
c z c
a
c
Dz
:
x2 a2
y2 b2
1
z
2
（-
c
x
一般地，空间区域 包含原点在其内
部，边界曲面为r r , , 则有
f x, y, zdv
2
d
d
r( , ) F (r, , )r 2 sindr
三次积分，其中 是由平面 x＋y＋z＝1，
x＋y＝1，x＝0，y＝0，z＝1围成的区域。
解 的投影 Dxy 是x+y=1， y
x=0，y=0围成的三角形域，
x y 1
的下底是x＋y＋z＝1， Dxy
上底是z＝1，
0
1x
0 y 1 x
:1 x y z 1, Dxy :
0 x 1
f (x, y, z)dv
r 2dr
0
0
0
8a3
2
d
sin cos3 d
30
0
4 a3 (1 cos4 )
3
思考题：
1.填写下表中的空格：
球面方程
柱面方程
坐 直角 x2 y2 z2 a2 x2 y2 b2
标 柱面 r 2 z2 a2 r b
系
球面 r a
r sin b
2. 计算重积分应怎样选择合适的坐标系？ 应考虑哪两个方面？哪个方面更重要些？
设区域 的z值的最大
z
值和最小值为 c1和 c2 ， c2
过 c1, c2 内任一点z，
作水平平面与 交出截 z
Dz
面 DZ，DZ 就是二重积分 c1
的积分区域.
O
y
x
先在Dz上对x,y积分然后在c1,c2 上对z积分.
: x, yDZ , c1 z c2
这样得到
先二后一
f (x, y, z)dv c2 dz f (x, y, z)dxdy
面所围成的立体 的体积。
2a
M
r
x
O
y
解 根据积分性质： dg G 的度量，
有 V dv G
z
将 用球面坐标表示
成不等式：
2a
M
0 r 2a cos,
r
0
0 2
x
O
y
V dv r2 sindrdd
2
d
d
2acos r2 sindr
0
0
02d来自sind2 a cos
z
c)
c2
z
2dxdydz
c
c
dz
z
2dxdy
c
c
z
2dz
dxdy
Dz
Dz
dxdy Dz 的面积为
Dz
a 1 z2 b 1 z2 ab(1 z2 )
c2
c2
c2
z2dxdydz
c c
z
2
ab(1
z2 c2
)dz
ab c (z2 z4 )dz 4 ab3
c
c2
15
二 用柱面坐标计算三重积分
于是，积分区域可表示为
: z1 x, y z z2 x, y, x, y Dxy
则 f ( x, y, z)dv (先一后二） [ z2( x, y) f ( x, y, z)dz]dxdy Dxy z1 ( x , y )
f ( x, y, z)dv [ z2(x,y) f ( x, y, z)dz]dxdy
r
z r cos
z
O
(0 r ,0 , x
y
A
0 2 )
xy
P
分割空间区域 ，其任一小块的体积v
可以近似地看成是
长为 rd 、
d r sin
z
dr
r sind
宽为 r sind 、
r
rd
d
高为 dr 的长方体体积 o
y
积分元素
x
d
dr
r sind
v dv r2 sindrdd rd
（1）积分区域 （2）被积函数
积分区域边界的 被积函数的表达
表达式简单，便 式简单，便于积
于定限
分
相对而言，便于积分更重要一些.
小 两种坐标系下三重积分的计算
结 1.柱面坐标系下
由柱面与直角坐标的关系
x r cos
y r sin (0 r ,0 2 , z )
z z
体积元素
有
r1
1 (r , )
例4 计算 zdv,其中 是由上半球面
x2 y2 z2 4 (z 0)和旋转抛物面
x2 y2 3z 所围成的区域.
解 将积分区域 向xoy面投影，得
Dxy : x2 y2 3
z 4 x2 y2
z 4r2
z r2 3
z x2 y2 3
D
：x2 y2 z 3
Dxy z1 ( x, y )
根据D是X型域或Y型域确定二重积分的
积分限，就得到三重积分公式.
若D为X型域，则有
f (x, y, z)dv
b
dx
2 ( x) dy
z2 ( x, y) f ( x, y, z)dz
a
1 ( x )
z1 ( x , y )
这是先对z，次对y，最后对x的三次积分
[a a4 a5 ] a5.
2 4 5 40
问题 若例6中的积分区域改为
由锥面x2 y2 z2
和z a a 0所围成.
则 (x2 y2)dv ?
答 由对称性，有
I (x2 y2)dv 4 (x2 y2)dv
思考题 在柱面坐标系下求三重积分可以看作
在直角坐标系对 z 作单积分，然后在投
体积元素 dv r2 sindrdd
三重积分在球面坐标系下的形式：
f (x, y, z)dv F(r,,)r2 sindrdd
其中F(r,,) f (r sin cos, r sin cos, r cos)
一般将右端的形式化为先对r、次
对 、最后对 的三次积分来计算。
例如 当 为球面x2 y2 z2 a2 时
部分.
解 采用柱面坐标
a
x2 y2 z2 z r, x
y
Dr
: r z a, r, Dr , 0 r a, 0 2
: r z a, 0 r a, 0 ,
2
I (x2 y2)dv
2 d
a
rdr
a r 2dz
0
0
r
a r3 (a r)dr
20
20
0
9
[2r 2
r4 4
r6 54
]0
3
13
4
例5 计算 zdxdydz,其中 是由曲面 z x2 y2与平面z 4 围成的区域.
解 在xoy面上的投影区域为圆域:
z
Dxy : x2 y2 4 z 4
z x2 y2
y
0 r 2,0 2 z r2 x D
: r2 z 4,0 r 2,0 2
Dr
1 (r , )
f ( x, y, z)dv rdrd 2(r, ) f (r cos , r sin , z)dz
Dr
1 (r , )
若 Dr : r1 r r2 ,
则三重积分化为柱面坐标的三次积分：
f ( x, y, z)dv
d
r2 rdr 2 (r, ) f (r cos , r sin , z)dz
f ( x, y, z)dv f (r cos , r sin , z)rdrd dz
若Dr : r1 r r2 , , 则
f ( x, y, z)dv
d
r2 rdr 2 (r, ) f (r cos , r sin , z)dz
r1
1 (r , )
的侧面由圆柱面或Dxy : x2 y2 R2
得 Dxy,以 Dxy的边界为z
z z2(x, y) z2 S2
准线母线平行于z轴
的柱面把 分为下上
两个边界：
z1 S1
z z1 x, y z z2 x, y
O
a
x
b
y y1(x)
z z1(x, y)
y
Dxy (x, y) y y2(x)
x, yDxy, z从z1 x, y变到z2 x, y,
z z
z
三组坐标面：
M (r,, z)
r＝常数 （圆柱面）
＝常数 （半平面）
O
z＝常数 （水平平面） x
z
ry
P(r, )
三组坐标面族去分割空间区域 ，其
任一小块的体积 v可以
z
rd
近似看成以 rdrd 为底， r
dr
dz
dz 为高的柱体体积。
体积元素
o
y
dv rdrd dz
x d
f ( x, y, z)dv f (r cos , r sin , z)rdrd dz