2018版高中数学人教B版必修一教师用书：第1章 1-1-2

1．1.2 集合的表示方法
1．掌握集合的两种表示方法——列举法、描述法．(重点)
2．能够运用集合的两种表示方法表示一些简单集合．(重点、难点)
基础·初探]
教材整理1列举法
阅读教材P5“列举法”～P6“描述法”以上部分，完成下列问题．把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法．
大于4并且小于10的奇数组成的集合用列举法可表示为________．【解析】由题意知集合中的元素为5,7,9，故用列举法可表示为：{5,7,9}．
【答案】{5,7,9}
教材整理2描述法
阅读教材P6“描述法”至P7“例1”以上部分，完成下列问题．
集合A可以用它的特征性质p(x)描述为{x∈I|p(x)}，它表示集合A 是由集合I中具有性质p(x)的所有元素构成的．这种表示集合的方法叫做特征性质描述法，简称描述法．
判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)集合0∈{x|x>1}．()
(2)集合{x|x<5，x∈N}中有5个元素．()
(3)集合{(1,2)}和{x |x 2－3x ＋2＝0}表示同一个集合．( )
【解析】 (1)×.{x |x >1}表示由大于1的实数组成的集合，而0<1，所以(1)错误．
(2)√.集合{x |x <5，x ∈N }表示小于5的自然数，为0,1,2,3,4，共5个，所以(2)正确．
(3)×.集合{(1,2)}中只有一个元素为(1,2)，而{x |x 2－3x ＋2＝0}中有两个元素1和2，所以(3)错误．
【答案】 (1)× (2)√ (3)×
小组合作型]
(1)36与60的公约数组成的集合；
(2)方程(x －4)2(x －2)＝0的根组成的集合；
(3)一次函数y ＝x －1与y ＝－23x ＋43的图象的交点组成的集合．
【精彩点拨】 (1)(2)可直接先求相应元素，然后用列举法表示． (3)联立⎩⎨⎧ y ＝x －1，y ＝－23x ＋43
→求方程组的解→写出交点坐标
→用集合表示. 【自主解答】 (1)36与60的公约数有1,2,3,4,6,12，所求集合为{1,2,3,4,6,12}．
(2)方程(x －4)2(x －2)＝0的根是4,2，所求集合为{4,2}．
(3)方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x －y ＝1，2x ＋3y ＝4的解是⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝75，y ＝25，所求集合为⎩⎨⎧⎭
⎬⎫⎝ ⎛⎭⎪⎫75，25.
使用列举法表示集合时，需要注意以下几点
1．用列举法书写集合时，先应明确集合中的元素是什么．如本题
(3)是点集{(x ，y )}，而非数集{x ，y }．集合的所有元素用“{ }”括起来，元素间用分隔号“，”．
2．元素不重复，元素无顺序，所以本题(2)中，{4,4,2}为错误表示．
3．对于含较多元素的集合，如果构成该集合的元素有明显规律，可用列举法，但是必须把元素间的规律表述清楚后才能用省略号．
4．适用条件：有限集或元素间存在明显规律的无限集．需要说明的是，对于有限集，由于元素的无序性，如集合{1,2,3,4}与{2,1,4,3}表示同一集合，但对于具有一定规律的无限集{1,2,3,4，…}，就不能写成{2,1,4,3，…}．
再练一题]
1．用列举法表示下列集合：
(1)不大于10的非负偶数组成的集合；
(2)方程x 2＝2x 的所有实数解组成的集合；
(3)直线y ＝2x ＋1与y 轴的交点所组成的集合；
(4)由所有正整数构成的集合．
【解】 (1)因为不大于10是指小于或等于10，非负是大于或等于0的意思，所以不大于10的非负偶数集是 {0,2,4,6,8,10}．
(2)方程x 2＝2x 的解是x ＝0或x ＝2，所以方程的解组成的集合为{0,2}．
(3)将x＝0代入y＝2x＋1，得y＝1，即交点是(0,1)，故交点组成的集合是{(0,1)}．
(4)正整数有1,2,3，…，所求集合为{1,2,3，…}.
用描述法表示下列集合：
(1)被3除余数等于1的整数的集合；
(2)比1大又比10小的实数的集合；
(3)平面直角坐标系中第二象限内的点组成的集合．
【精彩点拨】先分析集合中元素的特征，再分析元素满足的条件，最后根据要求写出集合．
【自主解答】(1){x|x＝3n＋1，n∈Z}．
(2){x∈R|1<x<10}．
(3)集合的代表元素是点，用描述法可表示为{(x，y)|x<0，且y>0}．
利用描述法表示集合应关注五点
1．写清楚该集合代表元素的符号．例如，集合{x∈R|x<1}不能写成{x<1}．
2．所有描述的内容都要写在花括号内．例如，{x∈Z|x＝2k}，k∈Z，这种表达方式就不符合要求，需将k∈Z也写进花括号内，即{x∈Z|x＝2k，k∈Z}．
3．不能出现未被说明的字母．
4．在通常情况下，集合中竖线左侧元素的所属范围为实数集时可以省略不写．例如，方程x2－2x＋1＝0的实数解集可表示为{x∈R|x2－2x＋1＝0}，也可写成{x|x2－2x＋1＝0}．
5．在不引起混淆的情况下，可省去竖线及代表元素，如{直角三角形}，{自然数}等．
再练一题]
2．用另一种方法表示下列集合：
(1){能被3整除且小于10的正数}；
(2){(x，y)|x＋y＝6，x∈N*，y∈N*}；
(3){－3，－1,1,3,5}；
(4){自然数中六个最小数的平方}；
(5){y|y＝－x2＋6，x∈N，y∈N}.
【导学号：60210004】【解】(1){3,6,9}．
(2){(1,5)，(2,4)，(3,3)，(4,2)，(5,1)}．
(3){x|x＝2k＋1，－2≤k≤2，k∈Z}．
(4){0,1,4,9,16,25}．
(5)∵y＝－x2＋6≤6，且x∈N，y∈N，
∴x＝0,1,2，y＝6,5,2.∴集合为{6,5,2}．
探究共研型]
【提示】{－1,0,1}．
探究2集合{(x，y)|y＝x＋1}与集合{(x，y)|y＝2x＋1}中的元素分别是什么？这两个集合有公共元素吗？如果有，用适当的方法表示它们的公共元素所组成的集合，如果没有，请说明理由．
【提示】集合{(x，y)|y＝x＋1}中的元素是直线y＝x＋1上所有的点；集合{(x，y)|y＝2x＋1}中的元素是直线y＝2x＋1上所有的点，它们
的公共元素是两直线的交点，由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x ＋1，y ＝2x ＋1，解得⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝0，y ＝1，即它们的公共元素为(0,1)，用集合可表示为{(0,1)}．
探究3 设集合A ＝{x |ax 2＋x ＋1＝0}，集合A 中的元素是什么？
【提示】 集合A 中的元素是方程ax 2＋x ＋1＝0的解．
集合A ＝{x |kx 2－8x ＋16＝0}，若集合A 中只有一个元素，求
实数k 的值组成的集合．
【精彩点拨】 明确集合A 的含义→对实数k 加以讨论→求出实数k 的值
→用集合表示
【自主解答】 (1)当k ＝0时，方程kx 2－8x ＋16＝0变为－8x ＋16＝0，解得x ＝2，满足题意；
(2)当k ≠0时，要使集合A ＝{x |kx 2－8x ＋16＝0}中只有一个元素，则方程kx 2－8x ＋16＝0只有一个实数根，所以Δ＝64－64k ＝0，解得k ＝1，此时集合A ＝{4}，满足题意．
综上所述，k ＝0或k ＝1，故实数k 的值组成的集合为{0,1}．
若已知集合是用描述法给出的，读懂集合的代表元素及其属性是解题的关键，只有这样，才能清楚集合中的元素是什么，才能正确地解题.如例3中集合A 的代表元素为x ，x 满足kx 2－8x ＋16＝0，则A 中的元素就是所给方程的根，由此便把集合的元素个数问题转化为方程的根的个数问题.
再练一题]
3．若将本例中的条件“只有一个元素”换成“至多有一个元素”，求相应问题．
【解】集合A至多有一个元素，即方程kx2－8x＋16＝0只有一个实数根或无实数根．∴k＝0或Δ＝64－64k≤0，解得k＝0或k≥1.
故所求k的值组成的集合是{k|k≥1或k＝0}．
1．用列举法表示大于2且小于5的自然数组成的集合应为() A．{3,4} B．A＝{2,3,4,5}
C．{2<x<5} D．{x|2<x<5，x∈N}
【解析】大于2且小于5的自然数为3和4，所以用列举法表示其组成的集合为{3,4}．
【答案】 A
2．如果A＝{x|x>－1}，那么()
A．－2∈A B．{0}∈A
C．－3∈A D．0∈A
【解析】A．∵－2<－1，∴A错误．B.{0}为集合，不是元素，∴B错误．C.∵－3<－1，∴C错误．D.∵0>－1，∴0∈A成立．故选D.
【答案】 D
3．若A＝{－2,2,3,4}，B＝{x|x＝t2，t∈A}，用列举法表示B＝
________.
【解析】由题意知，A＝{－2,2,3,4}，B＝{x|x＝t2，t∈A}，∴B＝{4,9,16}．
【答案】{4,9,16}
4．设集合A＝{x|x2－3x＋a＝0}，若4∈A，则集合A用列举法表示为________.
【导学号：60210005】【解析】∵4∈A，∴16－12＋a＝0，∴a＝－4，
∴A ＝{x |x 2－3x －4＝0}＝{－1,4}．
【答案】 {－1,4}
5．用适当的方法表示下列集合：
(1)方程组⎩⎪⎨⎪⎧
2x －3y ＝14，3x ＋2y ＝8的解集； (2)所有的正方形；
(3)抛物线y ＝x 2上的所有点组成的集合．
【解】 (1)解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －3y ＝14，3x ＋2y ＝8，得⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝4，y ＝－2，故解集为{(4，－2)}．
(2)集合用描述法表示为{x |x 是正方形}，简写为{正方形}．
(3)集合用描述法表示为{(x ，y )|y ＝x 2}．。