07.秋季-八年级-第7讲-垂直平分线与角平分线 教师版

第八讲 垂直平分线与角平分线 姓名：______
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【知识要点】
一、 垂直平分线
线段垂直平分线：经过线段中点并且垂直在这条线段的直线.
线段垂直平分线性质定理：
垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等. 简记：“垂分线 斜线段相等”.
线段垂直平分线判定定理（逆定理）：
与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上. 简记：“斜线段相等 垂分线”. 【例题详解】 【例 1】 如图，在△ABC 中，已知BC 比AC 长3cm ，AB 的垂直平分线交BC 于点D ，交AB 于点E ，△ACD
的周长是15cm ，求BC 和AC 的长．
【解析】∵DE 是AB 的垂直平分线，
∴AD=BD ，
∴△ACD 的周长=AC+AD+CD=AC+BD+CD=AC+BC ，
由题意得，3
15BC AC AC BC −=⎧⎨+=⎩
，
解得96
BC AC =⎧⎨
=⎩．
∴BC 和AC 的长分别为9cm ，6cm ．
【例 2】 如图，在R t △ABC 中，∠ACB =90°，∠A =22.5°，斜边AB 的垂直平分线交AC 于点D ，点F 在
AC 上，点E 在BC 的延长线上，CE =CF ，连接BF ，DE ．线段DE 和BF 在数量和位置上有什么关系？并说明理由．
【解析】DE =BF ，DE ⊥BF ．理由如下：
连接BD ，延长BF 交DE 于点G ． ∵点D 在线段AB 的垂直平分线上， ∴AD =BD ，
∴∠ABD =∠A =22.5°．
在R t △ABC 中，∵∠ACB =90°，∠A =22.5°， ∴∠ABC =67.5°，
∴∠CBD =∠ABC ﹣∠ABD =45°， ∴△BCD 为等腰直角三角形，
垂直平分线与角平分线
垂直平分线
角平分线
∴BC =DC ．
在△ECD 和△FCB 中， CE CF DCF BCF CD CB =⎧⎪
∠=∠⎨⎪=⎩
， ∴R t △ECD ≌R t △FCB （SAS ）， ∴DE =BF ，∠CED =∠CFB ． ∵∠CFB +∠CBF =90°， ∴∠CED +∠CBF =90°， ∴∠EGB =90°，即DE ⊥BF ．
【例 3】 如图，在△ABC 中，AB 边垂直平分线交BC 于点D ，AC 边垂直平分线交BC 于点E ，连接AD 、
AE ．
（1）若∠BAC=110°，求∠DAE 的度数； （2）若∠BAC=θ（0°＜θ＜180°），求∠DAE 的度数（用含θ的式子表示）
【解析】（1）∵AB 的垂直平分线交BC 于点D ，AC 的垂直平分线交BC 于点E ， ∴DB=DA ，EC=EA ， ∵∠BAC =110°， ∴∠B+∠C=70°， ∵DB=DA ，EC=EA ，
∴∠DAB=∠B ，∠EAC =∠C ， ∴∠DAB+∠EAC =70°，
∴∠DAE=110°﹣70°=40°， （2）分两种情况：
①如图所示，当∠BAC ≥90°时， ∵DM 垂直平分AB ， ∴DA=DB ， ∴∠B=∠BAD ，
同理可得，∠C=∠CAE ，
∴∠BAD+∠CAE =∠B+∠C=180°﹣θ，
∴∠DAE=∠BAC ﹣（∠BAD+∠CAE ）=θ﹣（180°﹣θ）=2θ﹣180°；
②如图所示，当∠BAC ＜90°时， ∵DM 垂直平分AB ， ∴DA=DB ， ∴∠B=∠BAD ，
同理可得，∠C=∠CAE ，
∴∠BAD+∠CAE =∠B+∠C =180°﹣θ，
∴∠DAE=∠BAD+∠CAE ﹣∠BAC =180°﹣θ﹣θ=180°﹣2θ．
【例 4】 如图所示，在ABC Rt ∆中，︒=∠90ACB ，BC AC =，D 为BC 边上的中点，AD CE ⊥于点
E ，AC B
F ∥交CE 的延长线于点F ，求证：AB 垂直平分DF ．
【解析】连接DF ，
90BCE ACE ∠+∠=︒，90ACE CAE ∠+∠=︒， BCE CAE ∴∠=∠．
AC BC ⊥，//BF AC ．
BF BC ∴⊥．
90ACD CBF ∴∠=∠=︒， AC CB =，
ACD CBF ∴∆≅∆．CD BF ∴=．
12CD BD BC ==
，BF BD ∴=．
BFD ∴∆为等腰直角三角形．
90ACB ∠=︒，CA CB =，45ABC ∴∠=︒．
90FBD ∠=︒，45ABF ∴∠=︒．
ABC ABF ∴∠=∠，即BA 是FBD ∠的平分线．
BA ∴是FD 边上的高线，BA 又是边FD 的中线， 即AB 垂直平分DF ．
二、 角平分线
1．一般地，从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线．
2．角平分线的性质定理：角平分线上的点到角的两边的距离相等．
3．角平分线的判定定理：在角的内部，到角的两边的距离相等的点在角平分线上． 【例题详解】
【例 5】 已知，如图AB=AC ，∠A =108°，BD 平分∠ABC 交AC 于D ，
求证：BC=AB+CD ．
【解析】证明：在线段BC 上截取BE=BA ，连接DE ．
∵BD 平分∠ABC ，
∴∠ABD =∠EBD =
1
2
∠ABC ． 在△ABD 和△EBD 中，BE BA ABD EBD BD BD =⎧⎪
∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴△ABD ≌△EBD ．（SAS ） ∴∠BED=∠A =108°，∠ADB=∠EDB ． 又∵AB=AC ，∠A=108°，∠ACB =∠ABC=1
2
×（180°﹣108°）=36°， ∴∠ABD=∠EBD =18°．
∴∠ADB =∠EDB =180°﹣18°﹣108°=54°． ∴∠CDE =180°﹣∠ADB ﹣∠EDB =180°﹣54°﹣54°=72°． ∴∠DEC =180°﹣∠DEB =180°﹣108°=72°． ∴∠CDE=∠DEC ． ∴CD=CE ．
∴BC=BE+EC=AB+CD ．
【例 6】 在▱ABCD 的两边AD ，CD 上各取一点F ，E ，连接AE ，CF 交于点P ，且AE =CF ．求证：PB 平
分∠APC ．
【解析】证明：连接BE ，BF ，过B 作BN ⊥CF ，BM ⊥AE ，
∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴S △ABE =S △BFC =12
S 平行四边形ABCD ，
∴12•AE ×BM =1
2
CF •BN ， ∵AE =CF ，∴BM =BN ， ∴PB 平分∠APC ．
【例 7】 如图，在△ABC 中，∠ABC 的平分线与∠ACB 的外角的平分线相交于点P ，连接AP ．
（1）求证：P A 平分∠BAC 的外角∠CAM ；
（2）过点C 作CE ⊥AP ，E 是垂足，并延长CE 交BM 于点D ．求证：CE =ED ．
【解析】证明：（1）
过P 作PT ⊥BC 于T ，PS ⊥AC 于S ，PQ ⊥BA 于Q ，如图，
∵在△ABC 中，∠ABC 的平分线与∠ACB 的外角的平分线相交于点P ， ∴PQ =PT ，PS =PT ， ∴PQ =PS ，
∴AP 平分∠DAC ，
即P A 平分∠BAC 的外角∠CAM ；
（2）∵P A 平分∠BAC 的外角∠CAM ， ∴∠DAE =∠CAE ， ∵CE ⊥AP ，
∴∠AED =∠AEC =90°， 在△AED 和△AEC 中 DAE CAE AE AE
DEA CEA ∠=∠⎧⎪
=⎨⎪∠=∠⎩
∴△AED ≌△AEC ， ∴CE =ED ．
【例 8】 如图，△ABC 中，∠A =60°，∠ACB 的平分线CD 和∠ABC 的平分线BE 交于点G ．
求证：GE=GD ．
【解析】连接AG ，过点G 作GM ⊥AB 于M ，GN ⊥AC 于N ，GF ⊥BC 于F ．
∵∠A =60°，
∴∠ACB+∠ABC =120°， ∵CD ，BE 是角平分线， ∴∠BCG+∠CBG=120°÷2=60°， ∴∠CGB =∠EGD =120°，
∵G 是∠ACB 平分线上一点， ∴GN=GF ，
同理，GF=GM ， ∴GN=GM ，
∴AG 是∠CAB 的平分线， ∴∠GAM=∠GAN =30°，
∴∠NGM=∠NGA+∠AGM =60°+60°=120°， ∴∠EGD =∠NGM =120°， ∴∠EGN =∠DGM ， 又∵GN=GM ，
∴Rt △EGN ≌Rt △DGM （AAS ）， ∴GE=GD ．
三、 综合练习
【例 9】 如图，OE ，OF 分别是△ABC 中AB ，AC 边的中垂线（即垂直平分线），∠OBC 、∠OCB 的平分
线相交于点I ，试判定OI 与BC 的位置关系，并给出证明．
【解析】OI ⊥BC ．
理由：连接OA ，过点I 作IM ⊥OB 于点M ，过点I 作IN ⊥OC 于点N ，过点I 作IG ⊥BC 于点G ， ∵OE ，OF 分别是AB ，AC 边的中垂线， ∴OA =OB ，OA =OC ， ∴OB =OC ，
∵∠OBC ，∠OCB 的平分线相交于点I ， ∴IM =IG ，IN =IG ， ∴IM =IN ，
∴点I 在∠BOC 的角平分线上， ∴OI ⊥BC ．
【例 10】 如图，ABC ∆中，AD 平分BAC ∠，DG BC ⊥且平分BC ，DE AB ⊥于E ，DF AC ⊥于F ．（1）
说明BE CF =的理由；
（2）如果5AB =，3AC =，求AE 、BE 的长．
【解析】（1）证明：连接BD ，CD ，
AD 平分BAC ∠，DE AB ⊥，DF AC ⊥， DE DF ∴=，90BED CFD ∠=∠=︒， DG BC ⊥且平分BC ， BD CD ∴=，
在Rt BED ∆与Rt CFD ∆中， BD CD
DE DF =⎧⎨
=⎩
， Rt BED Rt CFD(HL)∴∆≅∆， BE CF ∴=；
（2）在AED ∆和AFD ∆中， 90AED AFD EAD FAD
AD AD ∠=∠=︒⎧⎪
∠=∠⎨⎪=⎩
， ()AED AFD AAS ∴∆≅∆， AE AF ∴=，
设BE x =，则CF x =，
5AB =，3AC =，AE AB BE =−，AF AC CF =+， 53x x ∴−=+， 解得：1x =，
1BE ∴=，514AE AB BE =−=−=．
【备用题】
【例 11】 已知如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，以两腰AB ，CD 为一边分别向两边作正方形ABGE 和DCHF ，
设线段AD 的垂直平分线l 交线段EF 于点M ，EP ⊥l 于P ，FQ ⊥l 于Q ． 求证：EP=FQ ．
【解析】过D 作PN 的平行线分别交FQ 、BC 于点K 、L ，设AD 的垂直平分线交AD 于N ，
在△FKD 与△DLC 中，∠DFK =90°﹣∠FD K=∠CDL ，∠FKD =∠DLC =90°，DF=DC ， ∴△FKD ≌△DLC ， ∴FK=DL ，
∴FQ=FK+KQ=DL+DN ， 同理可得，EP=DL+AN ， 又∵MN 为AD 中垂线，
∴AN=ND，∴EP=FQ
【巩固练习】 1. 如图，在ABC ∆中，AC AB =，︒=∠120A ，cm BC 12=，AB 的垂直平分线交BC 于点M ，交AB
于点E ，AC 的垂直平分线交BC 于点N ，交AC 于点F ，则MN 的长为 ．
【解析】∵AB=AC ，∴∠B=∠C ，
∵∠A=120°，∴∠B=∠C=30°， 连接AM ，AN ，
∵ME 是AB 的垂直平分线，
∴AM=BM ，∠BAM=∠B=30°，
∴∠CAM=∠BAC ﹣∠BAM=120°-30°=90°， ∴CM=2AM=2BM ， ∴3BM=BC=12cm ，
∵BM=4cm ，同理可得，CN=4，
∴MN=BC ﹣CN ﹣BM=12﹣4﹣4=4（cm ）．
2. 如图，在△ABC 中，BD 是∠ABC 的平分线，EF 垂直平分BD ．
求证：∠ABD =∠BDF ．
【解析】∵EF 垂直平分BD ，
∴FB=FD ，
∴∠FBD =∠BDF ，
∵BD 是∠ABC 的平分线， ∴∠ABD=∠FBD ， ∴∠ABD =∠BDF ．
3. 如图，已知∠AOB =40°，点P 关于OA 、OB 的对称点分别为C 、D ，CD 交OA 、OB 于M 、N 两点，
求∠MPN 的度数是多少？ 【解析】∠OMN=x, ∠ONM=y .
得∠PMN =180°-2x , ∠PNM =180°-2y , ∠MPN=2x+2y-180°. 由x+y+40°=180°,得∠MPN=100°．
4.如图，四边形ABCD中，∠B=90°，AB∥CD，M为BC边上的一点，且AM平分∠BAD，DM平分∠
ADC．
求证：（1）AM⊥DM；（2）M为BC的中点．
【解析】（1）∵AB∥CD，
∴∠BAD+∠ADC=180°，
∵AM平分∠BAD，DM平分∠ADC，
∴2∠MAD+2∠ADM=180°，
∴∠MAD+∠ADM=90°，
∴∠AMD=90°，
即AM⊥DM；
（2）作NM⊥AD交AD于N，
∵∠B=90°，AB∥CD，
∴BM⊥AB，CM⊥CD，
∵AM平分∠BAD，DM平分∠ADC，
∴BM=MN，MN=CM，
∴BM=CM，
即M为BC的中点．
5.如图，在△ABC中，DM、EN分别垂直平分AC和BC，交AB于M、N，
（1）若△CMN的周长为21cm，求AB的长；
（2）若∠MCN=50°，求∠ACB的度数．
【解析】（1）∵DM、EN分别垂直平分AC和BC，
∴AM=CM，CN=BN，
∵△CMN的周长为18cm，即CM+CN+MN=18，
∴AM+BN+MN=AB=18cm．
∴AB=18cm．
（2）∵DM垂直平分AC，
∴∠1=∠2，
∵EN垂直平分BC，
∴∠3=∠4，
又∵∠1+∠2+∠3+∠4+50°=180°，
则2（∠1+∠4）=180°﹣50°=130°，
∠1+∠4=65°，
∴∠ACB=（∠1+∠4）+∠MCN=65°+50°=115°．
6.已知△ABC的两条角平分线BD，CE交于点O，OD=OE，∠ABC=70°，求∠A的度数．
【解析】∴∠ABC+∠ACB=180°﹣∠A，
∵△ABC的两条角平分线BD、CE交于O，
∴∠OBC=1
2
∠ABC，∠OCB=
1
2
∠ACB，
∴∠BOC=180°﹣（∠OBC+∠OCB）
=180°﹣1
2（∠ABC +∠ACB ）=180°﹣12（180°﹣∠A ）=90°+12
∠A ，
∴∠EOD =90°+12
∠A ，
连接OA ，作OF ⊥AB 于点F ，OG ⊥AC 于点G ，OH ⊥BC 于点H ，
∵△ABC 的两条角平分线BD 、CE 交于O ， ∴OF =OG =OH ，
在R t △EOF 和R t △DOG 中，
OF OG
OE OD =⎧⎨
=⎩
∴R t △EOF ≌R t △DOG （HL ）， ∴∠EOF =∠DOG ， ∴∠FOG =∠EOD ， ∵OF ⊥AB ，OG ⊥AC ， ∴∠A +∠FOG =180°， ∴∠A +∠EOD =180°， ∴∠A +90°+1
2
∠A =180°，
∴∠A =60°． 如图，
过点O 作FO ⊥AC 于F ，OG ⊥AB 于G ， ∴OG =OF
同上的方法得，R t △OGE ≌R t △OFD ， ∴∠EOG =∠DOF ， ∵∠BOE =∠COD ， ∴∠BOG =∠COF ，
∵OG =OF ，∠BGO =∠CFO ， ∴△BOG ≌△COF ， ∴∠ABO =∠ACE ，
∵BD ，CE 是△ABC 的角平分线， ∴∠ACB =∠ABC =70°， ∴∠A =180°﹣70°﹣70°=40° 故答案为60°或40°。