第一章 环路定理

电势: 电势: U a = ∫
零点
a
E ⋅ dl
电势差: 静电场中两点电势之差. 电势差: 静电场中两点电势之差
U ab
b 零点 零点 Aa − Ab = Ua −Ub = = ∫ E ⋅ dl − ∫ E ⋅ dl = ∫a E ⋅ dl a b q0
意义: 把单位正电荷从a点沿任意路径移到 点沿任意路径移到b点时电场力所作的功 意义 把单位正电荷从 点沿任意路径移到 点时电场力所作的功
U P = ∫ Edr = ∫ P
Q
R
r
1.6.4 等势面 电势梯度 一. 等势面
电场中电势相等的点组成的曲面叫等势面 电场中电势相等的点组成的曲面叫等势面. 等势面 等势面上的任一曲线叫等势线 等势面上的任一曲线叫等势线. 等势线
性质： 在静电场中 沿等势面移动电荷时 性质： 在静电场中, 沿等势面移动电荷时, 1. 静电场力对电荷不作功 证明: 证明 W = q0 等 势 面 b
将圆环分割成无限多电荷元: 解1: 将圆环分割成无限多电荷元
q
r
R
dU =
dq 4πε 0 r
o
x
环上各点到轴线等距
dU
x
U = ∫ dU =
1 4πε0r
∫0 dq =
∞
q
q 4πε 0 ( x 2 + R 2 )1 / 2
解2: 根据定义式
UP = ∫
零点 P
E ⋅ dl = ∫
xP
qx ⋅ dx 2 2 3/ 2 4πε 0 ( x + R )
U + dU P2 U dn
ˆ n
定义电势梯度矢量: 定义电势梯度矢量 dU 大小: 大小 方向: 方向 沿等势面的正法线方向 dn
dU ˆ gradU = n = ∇U dn
P 1
E
1
2
∂ ∂ ∂ 梯度算符 grad = ∇ = ∂x i + ∂y j + ∂z k
是矢量, 指向电势升高的方向. 电势梯度 ∇ U 是矢量 指向电势升高的方向
Wab = q0 ∫ E ⋅ dl = q0 (Ua − Ub )
a
b
例 用场强分布和电势定义直接积分求点电荷电场中的电势分布。 用场强分布和电势定义直接积分求点电荷电场中的电势分布。 解： E =
q 4πε 0 r
2
ˆ r
UP = ∫ E ⋅ dl = ∫r
P
∞
∞
P
q 4πε 0 r
2
dr =
q 4πε 0 rP
求球壳内、外的电势分布. 例2: 均匀带电球壳半径为 R, 电量为 q, 求球壳内、外的电势分布 球壳内、 解: 球壳内、外的场强 I区: E1 = 0 区
∞
选无穷远为电势零点， 选无穷远为电势零点， I: U1 =
q II区: E2 = 区 4πε 0 r 2 1
R ∞
∫
r
E ⋅ dl = ∫ E1 ⋅ dl + ∫ E2 ⋅ dl
q0 c dr F ra a
E
r
r + dr dl
θ
2. 任意带电体系的 (可看成由无数电荷元组成 可看成由无数电荷元组成) 可看成由无数电荷元组成 b 场 电荷 从a→b所做的功 W = b 所做的功 a→b 把电荷q从 ∫a F ⋅ dl = ∫ (F1 + F2 + ⋯+ Fn ) ⋅ dl
∂U ∂U ∂U i− j− k ∂x ∂y ∂z
注意几点: 注意几点
1. “–”表示场强的方向为电势降低的方向； 表示场强的方向为电势降低的方向； 表示场强的方向为电势降低的方向
q o −q U = 0, E ≠ 0
+
-
2. 场强反映电势的变化率 电势为零的地方 场强不一定为零， 场强反映电势的变化率. 电势为零的地方, 场强不一定为零， 场强为零的地方, 电势不一定为零； 场强为零的地方 电势不一定为零； 3. 场强和电势只要知道一个就可知另一个 场强和电势只要知道一个就可知另一个.
§6
电 势
作业: p41 1.6.3 1.6.4 1.6.5 作业
高斯(Gauss, 1777-1855), 德国数学家和天文学家 因其对代数、微 德国数学家和天文学家, 因其对代数、 高斯 分几何、概率论和数字理论的贡献而为人称道. 分几何、概率论和数字理论的贡献而为人称道 他分别提出电静力 学和电动力学定律的公式, 其中包括“高斯定律” 学和电动力学定律的公式 其中包括“高斯定律”. 所有这些工作 直到1867年才发表 直到 年才发表. 年才发表
注意: 注意
单位: 焦耳/库仑 库仑(J/C)－伏特 单位 焦耳 库仑 －伏特(V)
1. 电势为一标量点函数 电势能是属于带电体系的 不是点函数 电势为一标量点函数;电势能是属于带电体系的, 不是点函数.
2. 电势和电势能都是相对量 必须选择势能零点 同一问题只能 电势和电势能都是相对量, 必须选择势能零点(同一问题只能 有一个零势点); 但电势差具有绝对的意义, 有一个零势点 但电势差具有绝对的意义 与零点选择无关 3. 电势零点的选择： 电势零点的选择： • 有限带电体一般选 为电势零点 常选地球的电势为零 有限带电体一般选∞为电势零点 为电势零点. •无限带电体不宜选∞为电势零点. 无限带电体不宜选∞为电势零点 无限带电体不宜选 4. 已知电势分布 可用电势差求点电荷在电场中移动时电场力的功 已知电势分布,可用电势差求点电荷在电场中移动时电场力的功
4πε 0 R1
q1
+
4πε 0 R2
q2
q1
o
R1
q2
R2
两个带电球面在任意位置r 两个带电球面在任意位置 (R1<r<R2) 处的电势
4πε 0 r
q1
+
4πε 0 R2
q2
求电势分布. 例3: 无限长带电直线电荷密度为 λ , 求电势分布
λ 解: 无限长带电直线的场强 E = 2πε 0r
若选无穷远为电势零点, 若选无穷远为电势零点
ˆ E与n 反向
反向 ∴ E 与ห้องสมุดไป่ตู้∇U反向
三、场强与电势的微分关系
推导（ 推导（略）:
dU ˆ E=− n = − gradU = −∇U dn
E = −∇U
结论:电场中某点的电场强度等于该点电势梯度的负值 结论 电场中某点的电场强度等于该点电势梯度的负值 直角坐标系中: 直角坐标系中 E = −
P
正点电荷的场中, 离正电荷越远, 电势越低; 正点电荷的场中 离正电荷越远 电势越低 负 远, 高.
q
E
r
3.电势迭加原理 3.电势迭加原理
表述: 电荷系的电场中, 表述 电荷系的电场中 任一点的电势等于每一个带电体单独存
在时在该点产生电势的代数和。 在时在该点产生电势的代数和。
表达式： 表达式： U ( P) =
1.6.1 静电场的保守性—环路定理 静电场的保守性—
一.电场力的功
1. 点电荷的场
点电荷q 点电荷 0所受电场力F = q0 E , 把q0从 r 到
dW = F ⋅ dl = q0 E ⋅ dl = q0 Edl cos θ q ∵ dr = dl cos θ , E = 4πε 0 r 2 q dr ∴ dW = q0 2 4πε 0 r
4.电势的计算 4.电势的计算
1) 由电势的定义式计算 U P =
针对积分路径 针对积分路径
∫
零点
P
E ⋅ dl
选择合适的积分路径， 选择合适的积分路径 使计算简单; 注意 •选择合适的积分路径，使计算简单 •分段积分 在整个积分路径上 不同区域内场强的函数关 分段积分: 在整个积分路径上, 分段积分 系不同时, 应分段积分. 系不同时 应分段积分 注意: 积分是针对电 注意 积分是针对电 2) 根据点电荷的电势公式和迭加原理 荷的分布区域 •点电荷系 U = ∑ U i = ∑ 点电荷系: 点电荷系
∫
∞
P
E ⋅ dl = ∑Ui ( P)
i
对点电荷qi, U i ( P ) = 对点电荷
4πε 0 riP
qi
q1 q2
r1 r2
P
r3 ri q3
qi
U ( P) = ∑
i
4πε 0 ri
qi
电势是标量，迭加的结果是求代数和; 强调: 强调 (1) 电势是标量，迭加的结果是求代数和; (2) 各点电荷的零势点必须相同 各点电荷的零势点必须相同.
i
4πε 0 ri
qi
•连续带电体 U = ∫ dU = ∫ 连续带电体: 连续带电体 •多个带电体 多个带电体: 多个带电体
dq 4πε 0 r
q1
o
R1
q2
R2
两个带电球面在半径为R 两个带电球面在半径为 1处的电势
例1: 均匀带电圆环, 半径为 R, 带电为 q, 求圆环轴线上 均匀带电圆环 一点的电势 U. dq
r R
q o r
高斯面
R
I
E
r
II
r
= 0 + ∫ E2dr =
R
∞
∫
∞
q 4πε 0 r
∞ r
2
R
dr =
q 4πε0R
V
II: U 2 =
∫
∞
r
E2 ⋅ dl =
∫
E2dr
q 4πε 0 R
q 4πε 0 R 2
E
=∫
=
∞
q 4πε 0 r
q
r
dr 2
o
R
r
4 0r πε
o
R
r
两个带电球面在半径为R 两个带电球面在半径为 1处的电势
a a a
b
b
b
• 静电场强的线积分只取决于始末位置 与路径无关 静电场强的线积分只取决于始末位置, 与路径无关. 结论：电场力为保守力， 结论：电场力为保守力，静电场为保守场
二.静电场的环路定理
静电场的保守性还可表述为: 静电场的保守性还可表述为
l =0 ∫ E ⋅ d静电场的环路定理
L
在静电场中, 场强沿任意闭合路径的线积分等于零. 在静电场中 场强沿任意闭合路径的线积分等于零
a
把单位正电荷从a→b所做的功 单位正电荷从 所做的功
b F Wa→b = ∫a ⋅ dl = q0 q0
= ∫ F1 ⋅ dl + ∫ F2 ⋅ dl + ⋯∫ Fn ⋅ dl
a a a
b
b
b
b
∫
b
a
E ⋅ dl = ∫ ( E1 + E2 + ⋯ + En ) ⋅ dl
a
= ∫ E1 ⋅ dl + ∫ E2 ⋅ dl + ⋯∫ En ⋅ dl
∫ E ⋅ dl = q U
a 0
b
ab
= q0 (U a − U b ) = 0
a 等势面
2. 电力线与等势面正交 等位面→画电力线 等位面→ 3. 等势面密集之处场强大 稀疏之处场强小 等势面密集之处场强大;
二. 电势梯度
取等势面1(U)和2(U+dU), 且dU>0 和 取等势面
规定:电势升高的方向为等势面的正法线方向 规定
1.6.2 电势能和电势
电场力是保守力, 电场力是保守力 可引入势能的概念
b
一.电势能
静电势能的改变可以用电场力所作的功来量度. 静电势能的改变可以用电场力所作的功来量度 q0: a (Aa) → b (Ab)
q0 a
E
Wab = − ∆A = −( Ab − Aa ) = Aa − Ab
∵ Wab = ∫ F ⋅ dl = q0 ∫ E ⋅ dl
对有限带电体, 通常规定∞ 对有限带电体 通常规定∞为势能零点A∞ = 0 Aa = q0 ∫
势能零点
a
E ⋅ dl
二.电势和电势差
势能零点 Aa =∫ E ⋅ dl a q0
仅取决于电场的性质及场点的位置 意义: 把单位正电荷从场点a 意义 把单位正电荷从场点 经过任意 路径移到电势零点时电场力所作的功. 路径移到电势零点时电场力所作的功
λ
o
r
U P = ∫ E ⋅ dl = ∫ Edr
P
P
∞
∞
无意义
P Q r R
=∫
∞
r
λ λ (ln ∞ − ln r ) dr = 2πε 0 2πε 0 r
λ λ R ln dr = 2πε 0 r 2πε 0 r
当电荷分布扩 展到无穷远时, 展到无穷远时 电势零点不能 再选在∞. 再选在∞.
选距带电线为R的 点为电势零点 点为电势零点, 选距带电线为 的Q点为电势零点
r + dr ,电场做功： 电场做功： 电场做功
rb b
q
电场力作功: 将电荷 q0 从 a 点移动到 b 点, 电场力作功 b rb q0 q qq 1 1 W = ∫ dW = ∫ dr = 0 − a ra 4πε r 2 4πε 0 ra rb 0 电场力的功只与始末位置有关，与路径无关 电场力的功只与始末位置有关，与路径无关.
a a b b
保守力所作的功等 于势能增量的负值
b
∴ Aa − Ab = q0 ∫ E ⋅ dl
a
即选b点为势能零点 令 Ab = 0, 即选 点为势能零点 q0在电场中a点的电势能 点的电势能: 在电场中 点的电势能
电势能为相对量
势能零点 a
Aa = q0 ∫
E ⋅ dl
意义: 电荷在静电场中某点的电势能等于将此电荷由该点沿任意 意义 电荷在静电场中某点的电势能等于将此电荷由该点沿任意 路径移到电势能零点的过程中电场力所作的功. 移到电势能零点的过程中电场力所作的功 路径移到电势能零点的过程中电场力所作的功
∞
q
+
o
q