举例说明矩阵位移法

②单元
M BC = 4i2 M CB
M BC 4i2 A ① M = CB 2i2
qA =0 A=0
1 2 qC qB B ql C 2i2 q B 12 C B ② 4i2 qC 1 2
M AB 4i1 M = BA 2i1 1 Fl 2i1 q A 8 P 4i1 q B 1Fl P 8
M BC 4i2 M = CB 2i2
1 2 1 FP l ql 1 2 1 i1 4 4i2 22 i2 4= q BF l M 1 M BC 8 = 4i2q B 12 2i2qC ql M AB i1q i q A 1 B P= 12 8 1 M 2 4i2 1 C 2 2i2 q 2 1 ql M = 2 i q 4 i q ql M BA = 2i1q A 4i1q B FP l CB 2 B 2 C 12 12 8
的一种分析方法。
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结构分析中的有限元法
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本书中将主要介绍矩阵位移法。需要指 出，矩阵位移法用于分析杆件结构（亦称一 维结构）时，也可称为杆件结构有限元法， 所得结果为精确解。而对于分析二维结构 或三维实体结构的弹性力学有限元法来说， 所得结果为近似解。
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q i2 l
M2 C
M BA M BC = M1
M CB = M 2l/2
1 2 (a) 两跨连续梁 1 (4i1 4i2 )qB 2i2qC FPl ql = M1 12 8
1 2 2i2q B 4i2qC ql = M 2 12
合并写成矩阵形式，有
C
a) 两跨连续梁
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F
(1)
=k
(1)
(1)
(2)
F
(1) P
F
(2)
=k
(2)
(2)
F
(2) P
F (1)
F
为单元杆端力列阵。
(1) (2)
F
若
(1) P
为单元杆端位移列阵。
为非结点荷载引起的单元固端力列阵。
FP(2)
F
F
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归纳起来，用矩阵位移法求解杆件结构的步骤为：
离散化
单元分析 整体分析 解方程组求结点位移
计算各单元杆端力
以下各节针对平面刚架结构作详细讨论
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4i1 4i2 K = 2i2
第四步，解方程
2i2 4i2
K = F ，求 。
1 2 ql 2i2 q B 12 4i2 qC 1 ql 2 12
12
第五步，求杆端弯矩的最终值，并由此绘出原结 构的弯矩图。
K = FJ FE
K = F
T
结 构 刚 度 方 程
= q B q C
称为结构的结点位移列阵；
F 称为结构的综合结点荷载列阵 。 F = FJ FE
FJ 称为直接结点荷载列阵。FE 称为等效结点荷载列阵。
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K称为结构刚度矩阵，在本例中
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二、结构矩阵分析方法
结构矩阵分析方法是以经典结构力学理论为基础、 以矩阵方法和线性代数作为其数学描述手段、以电子 计算机作为计算工具来实现结构分析的。 有：矩阵位移法、矩阵力法及矩阵混合法等。
矩阵位移法实际上是用矩阵形式表示的位移法分析过程。 矩阵力法则是以矩阵形式表示的力法分析过程。 矩阵混合法即为将矩阵位移法与矩阵力法结合起来
两跨连续梁
(c) 结点平衡MBA
B
(d) M 结点平衡 MCB BC
C
(c) 结点平衡
(d) 结点平
将结点B、C分别取出分析，如图(c)、(d)所示。
M BA M BC = M1
M CB = M 2
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第三步，整体分析。
A i1
FP
M1 B l/2
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4i1 4i2 2i2
简记为：
1 2 1 FP l ql 2i2 q B M 1 8 12 = 4i2 qC M 2 1 ql 2 12
2
A =0
A
k
(2)
①
4i2 = B 2 2i
A
B
2i2 4i2②
B
C
C
C 第三步，整体分析。 i B l
A l/2 i1 l/2 (a) 两跨连续梁 FP M1 B q i2 l M2 C
=0 (b)A 离散化 ① B
②
C
M1 MBA B MBC
(b) 离散化 M1
M2 MCB C
单元编号 结点编号
qA =0 A=0
A M1 B q M2 C ①
qB B
B (b) 离散化 M1 ②
qC C
C
结点位移编号
i2 l
6 M2
/2
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第二步，单元分析。
建立单元杆端力与杆 端位移之间的关系。 ①单元
M AB M BA
M1 B
写成矩阵形式为：
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三、 矩阵位移法分析杆件结构的步骤
举例说明：
FP A l/2 i1 l/2 (a) 两跨连续梁 M1 B q i2 l M2 C A
A=
求：各杆的杆端弯矩（亦称杆端力）。
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第一步，结构的离散化。
FP A i1 l/2 l/2 (a) 两跨连续梁 M1 B q i2 l M2 C
(b) 离散化
l/2
2 ql B 12 l 1 2 = 2i2q B 4i2qC ql 12
q i2 2i
2qC
C1
ql 12
(1) P
F
F
(1)
=k
(1)
(1) M1
F
F
M2
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(2) MBA (2)
=k
B
(2) MBC
(2) M CB P
结构分析方法的发展：
与人类生产活动以及科学技术水平的发展有着密切的联系。
桁架结构分析理论与分析方法， 和钢结构的广泛应用有直接关系。 刚架结构的分析方法，与钢筋混凝土结构的大量出现有关。
计算机未广泛使用前，
迭代法、 D值法、
反弯点法、 分层法等等。
计算机广泛使用后， 结构矩阵分析方法、 有限元法等。
F
(1) P (1)
=0
(1)
(2)
，
(1)
F
(2) P
=0
，则
=k
=k
(2)
(2)
(2)
为①、②两个单元的单元刚度方程。
k
(1)
、k
分别称为①、②两个单元的单元刚度矩阵。
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k
(1)
M1
q
2
4i1 = 2i1
2i1 4i1 M
A i1 B
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FP
M1
q
M2
1 = 4i1q A 2i1q B FP l 8 1 = 2i1q A 4i1q B FP l 8 M
q
2
1 C FP l 4 i 2 i q 1 1 A 8 M AB l M l/2 = l/2 BA 2i1 4i1 q B 1F l P 8 (a) 两跨连续梁 i2
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第一节 概述
一、结构分析及其发展 结构分析，是指在一定的条件下计算结构的内力和位移； 还包括：
分析结构的几何组成关系； 分析结构失稳时的临界荷载； 分析刚度变化对结构内力的影响； 选择适当的结构型式等等。
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