7.2.1复数的加、减运算及其几何意义+教学设计-高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册

复数的加、减运算及其几何意义教学设计
教学目标
(1)复数加减法运算及其几何意义的探索
(2)应用运算法则解决数学问题
（3）通过课后作业的明辨探究，引导学生严谨的思维能力.
教学内容
教学重点：
1.在探究复数的加减运算及其几何意义中感受数学文化
2.了解复数在实际问题中的应用
教学难点：
1.复数的加减运算的几何意义
教学过程
（一）教学引入：复数初体验
师：给大家提前阅读的数学史料中，大家已经感受到复数与实际生活有着密不可分的联
系，虚数不“虚”，实数集扩充到了复数集。

随着科学和技术的进步，复数理论已越来越显出它的重要性，它不但对于数学本身的发展有着极其重要的意义，也为实际生活提供了重要的理论依据。

因此，我们需要研究复数的表示、运算及其几何意义，让我们一起在“数”与“形”的融合中，感受人类理性思维在数系扩充中的作用.
『设计意图』从学生们阅读的数学史料中的内容进行引入，符合学生的最近发展区，显得自然且有代入感。

接着通过提出复数学习的必要性马上把学生从“欣赏数学家的已有成果”切换到“期待发现未知”。

本环节的实施将激发学生的好奇心与学习动力.
（二）回顾旧知
（1）复数的概念
师：在进入今天的学习之前，我们一起来回顾学过的复数相关内容吧。

首先是复数的概
念（阐述），也即是复数一个二维数。

在历史上著名的卡丹问题后，法国数学家笛卡尔在《几何学》首次给出“虚数”这一名称。

从此，虚数流传开来。

（2）复数的几何意义
师：由于复数是一个二维数，因此，复数(,)z a bi a b R =+∈与复平面内的点(,)Z a b 以及复平面内以原点O 为起点，Z 为终点的向量OZ 一一对应。

（3）复数的模
师：由其一一对应性，我们学习了复数模长的定义22||||z a bi a b =+=+。

师：以上的学习，体现了我们数学中的集合对应思想。

『设计意图』用著名数学家的数学发现带领学生回顾所学知识，这不仅体现出数学家运用他们的特殊知识与专业的方法解决在科学领域的显著问题，让学生感受科学没有平坦大路，需要坚持不懈与积累，还为之后学生的探究搭建了脚手架，复数加减法的探究也就变得自然。

另外，充分用数学文化引领学生复习并挖掘教材，不辜负教材编委的良苦用心.
（三）课堂探究
一）知识生成
（1）复数的加法
师：引入新数集后，就要研究其中数之间的运算与运算律.你认为怎样定义复数的加法，可以与实数的加法运算法则保持一致？
师：我们规定，复数的加法法则如下：设12,(,,,)z a bi z c di a b c d R =+=+∈ 是任意两个复数，那么它们的和：()()()()a bi c di a c b d i +++=+++.两个复数的和仍是一个确定的复数.实部与实部相加，虚部与虚部相加.类似于多项式相加.
师：深入认识：1）当12,z z 都是实数时，复数的和即为实数的和.2）两个复数相加可以推广到多个复数相加，加法法则一致.
师：接下来用一道小练习帮助大家更好的理解复数的加法法则
练习1 计算
(24)(34)(24)
(232)(444)34i i i i i
++-+--=+-+--=-
师：在这样的定义下，请同学们思考，复数的加法满足交换律与结合律吗？
（教师引导学生进行交换律的推导）
师：我们用实数加法交换律推导出复数加法也满足交换律，体现了数学中的化归思想。

师：大家接着思考，是否满足结合律呢？可以证明到复数加法也满足结合律。

具体的证明过程留作大家的课后作业。

师：由此，在复数加法的定义下，证明到复数加法仍满足交换律与结合律。

体现出数学文化中的公理化思想。

通过严密的定义，使得数的运算这一公理体系系统独立、相容、完备。

（2）复数加法的几何意义
师：学习完复数加法法则后，我们接着思考，复数有几何意义.那复数加法的几何意义是什么呢？能否根据121234,13,54z i z i z z z i =+=++==+进行思考？
（停留，学生思考）
师：1z 对应1OZ ，2z 对应2OZ ，3z 对应3OZ ，可以发现123OZ OZ OZ += ，即复数加法可按照向量加法来进行。

这就是复数加法的几何意义。

师：由此，我们学习到今天的第三个知识点（复数加法的几何意义叙述），复数加法的几何意义再一次凸显了数学文化中的数形结合思想。

（3）复数的减法
师：学习完复数的加法，我们接着学习复数的减法。

应用类比推理法，规定复数的减法是加法的逆运算。

那么，复数的减法运算法则是什么呢？ 该如何计算x yi +的值呢？ 师：由复数加法法则和复数相等的定义得：c x a x a c d y b y b d
+==-⎧⎧⇒⎨⎨+==-⎩⎩ 师：即实部与实部相减，虚部与虚部相减。

在这里我们用到了数学文化中的待定系数法以及方程思想。

师：因此，复数的减法法则如下：()()()()a bi c di a c b d i +-+=-+-
师：接下来请同学们完成今天的第二道小练习来理解复数的加、减法法则
练习2 计算
(56)(2)(34)
(523)(614)11i i i i i
-+---+=--+---=-
（4）复数减法的几何意义
师：应用类比推理法，你能得出复数减法的几何意义吗？
（PPT 展示）
师：复数减法的几何意义等同于向量减法的几何意义。

师：请同学们根据本节课所学知识复数及其运算的几何意义，求复平面内的两点111(,)Z x y 222(,)Z x y 之间的距离.
『设计意图』本环节主要以老师的讲授和引导为主，发挥教师的主体作用，帮助学生从数学文化层次更深的理解复数的加减法运算及其几何意义 。

应用待定系数法、类比推理法等多
方法和公理化思想、数形结合思想等多种数学思想角度来认识，通过实数运算与复数运算的对比，通过复数的几何意义与复数运算的几何意义类比，使学生在差异与联系中理解知识点的内涵.
二）课堂练习
师：接着，请同学们完成下面的几道练习题，一起检验一下今天学得如何吧！
(1)已知i 为虚数单位，计算下列各式．
1)(12i)(711i)(56i)++--+； 2)5i [(68i)(13i)]-+--+；
3)2213i 1i i 3324⎛⎫⎛⎫⎛⎫++--+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
； 4)(i)(23i)3i(,)a b a b a b +---∈R ． 【答案】1)315i -；2)7-；3)75i 612
-；4)(43)i a b -+-. (2)已知四边形OACB 是复平面内的平行四边形，O 是原点，点,A B 分别表示复数3,24i i ++，M 是OC ，AB 的交点，如图所示，求点,C M 表示的复数.
【答案】55i +，5522
i +
(3)在复平面内，A B C ，，分别对应复数1231i 5i 33i z z z =+=+=+，，，以AB,AC 为邻边作一个平行四边形ABCD ，求D 点对应的复数4z 及AD 的长.
【答案】z 4＝7＋3i ，210AD =
（四）课堂小结，颗粒归仓
（1）数学知识
1）复数的加法与减法法则 2）复数加法与减法的几何意义
（2）数学方法
1）待定系数法 2）类比推理法
（3）数学思想
1）公理化思想 2）化归思想
3）方程思想 4）数形结合思想
师：大家在今后的数学学习中一定能够更深刻地感受数学文化，感受数学的魅力。

（五）作业布置
师：到这里，今天的微课就结束了，老师给大家布置了两个小任务以及一个选做任务。

（1）感受数学文化：阅读课外资料，了解复数在生活中的应用.收集一些从实数系扩充到复数系的数学史料，并对“整数——有理数——复数”的数系扩充过程进行整理.
（2）课堂知识巩固：人教A 版必修第二册77页练习题
（3）课后挑战作业（学生依据自身情况自行选择）
1.若z C ∈,i 为虚数单位，且|22|1z i +-=，求|22|z i --的最小值.
2.已知复数()
i ,R z x y x y =+∈满足11z -≤，则复平面内由点(),x y 形成的区域的面
积为多少？
3.已知12,z z C ∈，1222
z z +=，12z =，22z =，则12z z -的值是多少？
教学反思
本节课知识点难度不大，若只是传授知识点，单一的重复，尤其是微课则很容易让学生成为观众，难以激发学生的数学学习兴趣，也少了很多学生思维矛盾冲突点的教育契机.所以在本节课中，我尽量使用“请同学们思考”，“你认为如何定义”等，是想把对话像实时课堂一样让学生参与其中.我要做的就是为学生创设有趣、有探究的数学情境，显然，数学文化是一个值得我们每位数学老师挖掘的情境宝库.而对于普通的一线教师来讲，在时间和精力有限的情况下，我们应首先读懂并挖掘教材中现有的数学文化载体，可能是章头图，可能是引言，也可能是阅读与思考或者课后实习作业等。

这些相当于是教材编者帮我们精心筛选的与内容相关的数学文化，而我们要做的就是依据我们的学情，将其进行适当的整理和挖掘，使之发挥教育的最大功能，而不是成为教学中习惯性的“视而不见”，给学生的理由是考试不考。