第四章4.2异方差
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步骤： （1）首先用OLS估计经济计量模型的回归系数，求出随机误差项ut的估计值et。 （2）用|ei|与解释变量Xi的不同幂次进行回归。 常用形式有： ei = a0 + a1 Xi ei = a0 + a1Xi2
自回归条件异方差（ARCH）—时间序列的异方差
.04 .03 .02 .01 .00 -.01 -.02 -.03 -.04 -.05 2004 2005 2006 2007 SER01
异方差的来源与后果
异方差的来源
一、模型中省略了某些重要的解释变量 假设正确的计量模型是：
Yi 1 2 X 2i 3 X 3i ui
E[( X ' X )1 X '( X U ) ][( X ' X )1 X '( X U ) ]'
E[( X ' X )1 X 'U ][( X ' X )1 X 'U ]'
( X ' X )1 X ' E(UU ') X ( X ' X )1
2 2
0 1 2 2 0 n
2
0 2 2 Φ Ι n
异方差的表现及分类：
6 Y 4
同方差
2
复杂型异方差
X 0 10 20 30
0
250 Y
6 4 DJPY
200
递增型异方差
2
150
2
n
2
4 X i -1 i n 2 X i -1 i n
Var ( )=
2 X i -1 i
根据常用的OLS方差估计公式得到的结果是错误的
ˆ ) E[ ˆ ][ ˆ ] Var (
E[( X ' X )1 X 'Y ][( X ' X )1 X 'Y ]'
( X ' X )1 X '[ 2] X ( X ' X )1
2 ( X ' X )1 X ' X ( X ' X )1 2 ( X ' X )1
3、变量的显著性检验失去意义
4、区间预测失效
ˆ/s ˆ / 2 ( X ' X )1 t ˆ j +1,j +1
Var(ui)＝σ
2
(i＝1,2,…,n)
同方差假定不满足时，即存在异方差： 2 Var(ui)＝σi ( i＝1,2,…,n) 解释变量Xi是确定的，扰动项的异方差性等同于： 2 Var(Yi)＝σi ( i＝1,2,…,n)
更为具体的形式： 2 2 σi ＝σ f (X1i, X2i, …, Xki)
如果中间除去c=3个，如何进行检验（假定前面有8个，后面有7个）？
RSS2 / 7 2 ????/ 5 F 290.28 RSS1 / 8 2 412586 /6
v2=5，v1= 6
3、 White检验
White检验由H. White 1980年提出。Goldfeld-Quandt 检验必须先把数据 按解释变量的值从小到大排序。Glejser检验通常要试拟合多个回归式。White 检验不需要对观测值排序，也不依赖于随机误差项服从正态分布，它是通过一 个辅助回归式构造 2 统计量进行异方差检验。
（3）计算两个回归方差的残差平方和RSS1和RSS2。
自由度
v1=v2=(n-c)/2-k-1
（4）构造统计量:
nc RSS2 / k 1 2 RSS2 F nc RSS1 RSS1 / k 1 2
（5）给定显著性水平α，查找临界值Fα.
H1：上式ui存在异方差
（3）在原假设下（不存在异方差）计算统计量：
nR2 ~ 2 ( p-1)
（5）根据临界值进行判断
2 ( p-1) ，则不能拒绝H0（ui具有同方差） 若 nR2
若 nR2 2 ( p-1) ，则拒绝H0（ui具有异方差）
(其中p为辅助回归中待估参数的系数，上例中p=6) 注意，该检验可以用于检验各种类型的异方差，其检验的准确性依赖于模型是 否被正确设定。由于辅助回归方程中可能有太多的解释变量，从而使自由度减 少，有时可以去掉交叉项。
但由于总体模型是未知的，建立模型时遗漏了X3i，而采用 此时，
Yi 1 2 X 2i ui* ui*= ui+3X3i
当被略去的X3i与X2i有呈同方向或反方向变化的趋势时, X3i随 X2i的有规律变化会体现在ui*中。
异方差的来源
二、模型的设定误差 三、数据的测量误差 四、截面数据中总体各单位的差异
更为接近真实的结论是什么？
四川省2000年21个地市医疗机构数与人口数对应的模型 估计结果如下：
如果是正确的，上述结论：每增加1万人口，平均增加 5.373个医疗机构？可靠吗？
异方差的概念
对于多元线性回归模型：Yi 0 1 X1i ..+k X ki ui
同方差的假定：
销售量和R&D支出（研究了18个行业）： R&Di = 1+2Salesi+ui
{ X1, X2, …, X8, X9, X10, X11, …, X17, X18}
(18-4)/2=7 c = 18/44 (18-4)/2=7 v1= v2=7-2=5
nc RSS2 / k 1 2 99803587 241.90 F 412586 nc RSS1 / k 1 2
1 1
( X ' X )1 X ' E(U )
2、参数估计量不再是有效估计量
Yi X i ui
假定扰动项的方差为： 2 Var(ui)＝σ Xi2 ( i＝1,2,…,n)
估计量 方差为：
Var ( )=
同方差假定时的方差：
n
2
i -1 X i
异方差的检验
定性分析异方差
Goldfeld-Quandt检验
White检验 Glejser检验
2
异方差性检验的基本思路：首先利用OLS法估计参数并计算 ei 2 然后通过研究 ei是否随着观测点的变化而变化来推断 u 是否存在异 i 方差性。
定性分析异方差
（1） 经济变量规模差别很大时容易出现异方差。 如:个人收入与支出关系，投入与产出关系。
以二元回归线性回归模型为例：Yi 0 1 X1i 2 X 2i ui H0：上式ui不存在异方差 检验步骤： （1）首先对上式进行OLS回归，求残差ei （2）做如下辅助回归（注意包括常数项，计算可决系数R2）：
2 ei2 0 1 X1i 2 X 2i 3 X12 X i 4 2 i 5 X1i X 2 i vi
（2） 利用散点图做初步判断。 用1998年四川省各地市州农村居民家庭消费支出与家庭纯
收入的数据，绘制出消费支出对纯收入的散点图,其中用 X 1 表示家庭纯收入。 Y1 表示农村家庭消费支出，
（3） 利用残差图做初步判断。
e2 e2 e2
0
Xi
0
Xi
6.0E+07 5.0E+07 4.0E+07
异方差(矩阵形式）
同方差的假定即： Var(ui)＝σ
2
i＝1,2,…,n
1 0 1
1 2 2 方差－协方差矩阵为：Var (U ) I 0
当假定不满足时：
Var(ui)＝σi
2
i＝1,2,…,n
方差－协方差矩阵为：
12 Var (U ) 0
Xi
e2
e2
E2
3.0E+07 2.0E+07 1.0E+07 0.0E+00
Xi
Xi
0
50000100000
200000
3000
SALES
戈德菲而德－夸特（Goldfeld-Quandt）检验
该检验常用于检验递增型的异方差，且在大样本容量的前提下使用。
2 2 2 H0： 1 2 ... n 2 2 2 H1： 1 2 ... n
这里使用了20个国家的数据，其中5个低收入国家，5 个中等偏下收入国家，5个中等偏上收入国家，5个高 收入国家。由于样本来自经济条件差异很大的国家， 因而先验的预期存在异方差。
TR2 20(0.230) 4.6
戈里瑟（Glejser）检验
检验 e 是否与解释变量Xt存在函数关系。若有，则说明存在异方差；若无，则 i 说明不存在异方差。 基本思想：假设方差与解释变量直接存在某种幂函数的关系。
4.2 异方差
异方差的概念及形式
异方差的来源与后果
异方差的检验
异方差的修正方法
案例分析
一个例子
消费模型 Ci = 1+2Yi+ui 2 同方差假设：Var（ui）＝σ i＝1,2,…,n 无论家庭处于哪一种可支配收入水平，其消费水平的分散程 度或波动程度都是相同的。 实际上，与可支配收入低的家庭相比，收入高的家庭消费 的波动程度显然更大一些。 因而，在研究消费问题时，需要假定： 2 Var（ui）＝σi 即对于不同收入水平的家庭，其消费水平的波动程度也不 相同，这就是所谓的异方差（heteroscedasticity）。
婴儿死亡率（Y）、人均GDP（X1）和初等教育占人 口比重（X2）的关系（n=20）：
Yi = 196.979 - 0.0033X2i - 1.401X3i +ei s.e = (16.12) ( 0.001) (0.2205 ) R2=0.8024 F=34.52 D.W.=2.47 与理论预期一致吗？
4000 2000 0 -2000 -4000 -6000 -8000
0 50000100000 200000 300000
R&D
6000 4000 2000 0 SALES
e
8000
0
50000100000 Sales
200000
300000
上证收益率（2004年4月1日——2008年3月31日）：
（1）将观测值按递增的方差排列，根据假设，对于递增的异方差，可以从按解释变
量X的值按升序排列。 （2）略去中间C个值（约为T/4），余下的T-C个分为两组并分别拟合出回归方程
{ X1, X2, …, Xi-1, Xi, Xi+1, …, Xn-1, Xn }
(n-c)/2 c = n/4 (n-c)/2
异方差的后果
1、参数估计量仍具有线性性和无偏性、一致性
ˆ ( X ' X )1 X 'Y AY
ˆ ) E[(X ' X )1 X 'Y ] E(
E[( X ' X )1 X ' ( X U )]
E[( X ' X ) X ' X ] E[( X ' X ) X 'U ]
交易量在0~199 之间的机构投资 者平均每股需付 46.5美分，方差 为32.22； 交易量最大 （10000以上） 的投资者平均每 股付10.1美分， 方差为3.18
销售量和R&D支出：
R&Di = 1+2Salesi+ui
RDEXP vs. SALES 14000
8000 6000
12000 10000
e e
2 2i 2 1i
~ F(
nc nc k 1, k 1) 2 2
若：F> Fα ，则拒绝H0，认为存在递增型的异方差。 F< Fα ，不能拒绝H0，认为随机误差项是同方差分布的。
注：⑴ 该检验的功效取决于c值，c值越大，则大小方差的差异越大，检验功效越 好 ⑵ 两个回归所用的观测值的个数是否相等并不重要，因为可以通过改变自由 度和统计量的计算公式来调整。 ⑶ 该检验只适用于于递增型的异方差，且依赖于观测值是否正确排序。 ⑷ 当模型中包含多个解释变量时，应对每一个解释变量都进行检验。
0 -2 -4
100
50 X 0 0 10 20 30
-6 -8 200 400 600 800 1000 1200 1400
250 Y 200
递减型异方差
150
100
50 X 0 10 20 30
0
异方差的例子
放松管制后，纽约股票交易所（NYSE）的经纪人佣金（美分/每股）：
70 60 50 40 30 20 10 0 75Q1 75Q3 76Q1 76Q3 77Q1 77Q3 78Q1 78Q3 0-199 200-999 1000-9999 10000 or more
自回归条件异方差（ARCH）—时间序列的异方差
.04 .03 .02 .01 .00 -.01 -.02 -.03 -.04 -.05 2004 2005 2006 2007 SER01
异方差的来源与后果
异方差的来源
一、模型中省略了某些重要的解释变量 假设正确的计量模型是：
Yi 1 2 X 2i 3 X 3i ui
E[( X ' X )1 X '( X U ) ][( X ' X )1 X '( X U ) ]'
E[( X ' X )1 X 'U ][( X ' X )1 X 'U ]'
( X ' X )1 X ' E(UU ') X ( X ' X )1
2 2
0 1 2 2 0 n
2
0 2 2 Φ Ι n
异方差的表现及分类：
6 Y 4
同方差
2
复杂型异方差
X 0 10 20 30
0
250 Y
6 4 DJPY
200
递增型异方差
2
150
2
n
2
4 X i -1 i n 2 X i -1 i n
Var ( )=
2 X i -1 i
根据常用的OLS方差估计公式得到的结果是错误的
ˆ ) E[ ˆ ][ ˆ ] Var (
E[( X ' X )1 X 'Y ][( X ' X )1 X 'Y ]'
( X ' X )1 X '[ 2] X ( X ' X )1
2 ( X ' X )1 X ' X ( X ' X )1 2 ( X ' X )1
3、变量的显著性检验失去意义
4、区间预测失效
ˆ/s ˆ / 2 ( X ' X )1 t ˆ j +1,j +1
Var(ui)＝σ
2
(i＝1,2,…,n)
同方差假定不满足时，即存在异方差： 2 Var(ui)＝σi ( i＝1,2,…,n) 解释变量Xi是确定的，扰动项的异方差性等同于： 2 Var(Yi)＝σi ( i＝1,2,…,n)
更为具体的形式： 2 2 σi ＝σ f (X1i, X2i, …, Xki)
如果中间除去c=3个，如何进行检验（假定前面有8个，后面有7个）？
RSS2 / 7 2 ????/ 5 F 290.28 RSS1 / 8 2 412586 /6
v2=5，v1= 6
3、 White检验
White检验由H. White 1980年提出。Goldfeld-Quandt 检验必须先把数据 按解释变量的值从小到大排序。Glejser检验通常要试拟合多个回归式。White 检验不需要对观测值排序，也不依赖于随机误差项服从正态分布，它是通过一 个辅助回归式构造 2 统计量进行异方差检验。
（3）计算两个回归方差的残差平方和RSS1和RSS2。
自由度
v1=v2=(n-c)/2-k-1
（4）构造统计量:
nc RSS2 / k 1 2 RSS2 F nc RSS1 RSS1 / k 1 2
（5）给定显著性水平α，查找临界值Fα.
H1：上式ui存在异方差
（3）在原假设下（不存在异方差）计算统计量：
nR2 ~ 2 ( p-1)
（5）根据临界值进行判断
2 ( p-1) ，则不能拒绝H0（ui具有同方差） 若 nR2
若 nR2 2 ( p-1) ，则拒绝H0（ui具有异方差）
(其中p为辅助回归中待估参数的系数，上例中p=6) 注意，该检验可以用于检验各种类型的异方差，其检验的准确性依赖于模型是 否被正确设定。由于辅助回归方程中可能有太多的解释变量，从而使自由度减 少，有时可以去掉交叉项。
但由于总体模型是未知的，建立模型时遗漏了X3i，而采用 此时，
Yi 1 2 X 2i ui* ui*= ui+3X3i
当被略去的X3i与X2i有呈同方向或反方向变化的趋势时, X3i随 X2i的有规律变化会体现在ui*中。
异方差的来源
二、模型的设定误差 三、数据的测量误差 四、截面数据中总体各单位的差异
更为接近真实的结论是什么？
四川省2000年21个地市医疗机构数与人口数对应的模型 估计结果如下：
如果是正确的，上述结论：每增加1万人口，平均增加 5.373个医疗机构？可靠吗？
异方差的概念
对于多元线性回归模型：Yi 0 1 X1i ..+k X ki ui
同方差的假定：
销售量和R&D支出（研究了18个行业）： R&Di = 1+2Salesi+ui
{ X1, X2, …, X8, X9, X10, X11, …, X17, X18}
(18-4)/2=7 c = 18/44 (18-4)/2=7 v1= v2=7-2=5
nc RSS2 / k 1 2 99803587 241.90 F 412586 nc RSS1 / k 1 2
1 1
( X ' X )1 X ' E(U )
2、参数估计量不再是有效估计量
Yi X i ui
假定扰动项的方差为： 2 Var(ui)＝σ Xi2 ( i＝1,2,…,n)
估计量 方差为：
Var ( )=
同方差假定时的方差：
n
2
i -1 X i
异方差的检验
定性分析异方差
Goldfeld-Quandt检验
White检验 Glejser检验
2
异方差性检验的基本思路：首先利用OLS法估计参数并计算 ei 2 然后通过研究 ei是否随着观测点的变化而变化来推断 u 是否存在异 i 方差性。
定性分析异方差
（1） 经济变量规模差别很大时容易出现异方差。 如:个人收入与支出关系，投入与产出关系。
以二元回归线性回归模型为例：Yi 0 1 X1i 2 X 2i ui H0：上式ui不存在异方差 检验步骤： （1）首先对上式进行OLS回归，求残差ei （2）做如下辅助回归（注意包括常数项，计算可决系数R2）：
2 ei2 0 1 X1i 2 X 2i 3 X12 X i 4 2 i 5 X1i X 2 i vi
（2） 利用散点图做初步判断。 用1998年四川省各地市州农村居民家庭消费支出与家庭纯
收入的数据，绘制出消费支出对纯收入的散点图,其中用 X 1 表示家庭纯收入。 Y1 表示农村家庭消费支出，
（3） 利用残差图做初步判断。
e2 e2 e2
0
Xi
0
Xi
6.0E+07 5.0E+07 4.0E+07
异方差(矩阵形式）
同方差的假定即： Var(ui)＝σ
2
i＝1,2,…,n
1 0 1
1 2 2 方差－协方差矩阵为：Var (U ) I 0
当假定不满足时：
Var(ui)＝σi
2
i＝1,2,…,n
方差－协方差矩阵为：
12 Var (U ) 0
Xi
e2
e2
E2
3.0E+07 2.0E+07 1.0E+07 0.0E+00
Xi
Xi
0
50000100000
200000
3000
SALES
戈德菲而德－夸特（Goldfeld-Quandt）检验
该检验常用于检验递增型的异方差，且在大样本容量的前提下使用。
2 2 2 H0： 1 2 ... n 2 2 2 H1： 1 2 ... n
这里使用了20个国家的数据，其中5个低收入国家，5 个中等偏下收入国家，5个中等偏上收入国家，5个高 收入国家。由于样本来自经济条件差异很大的国家， 因而先验的预期存在异方差。
TR2 20(0.230) 4.6
戈里瑟（Glejser）检验
检验 e 是否与解释变量Xt存在函数关系。若有，则说明存在异方差；若无，则 i 说明不存在异方差。 基本思想：假设方差与解释变量直接存在某种幂函数的关系。
4.2 异方差
异方差的概念及形式
异方差的来源与后果
异方差的检验
异方差的修正方法
案例分析
一个例子
消费模型 Ci = 1+2Yi+ui 2 同方差假设：Var（ui）＝σ i＝1,2,…,n 无论家庭处于哪一种可支配收入水平，其消费水平的分散程 度或波动程度都是相同的。 实际上，与可支配收入低的家庭相比，收入高的家庭消费 的波动程度显然更大一些。 因而，在研究消费问题时，需要假定： 2 Var（ui）＝σi 即对于不同收入水平的家庭，其消费水平的波动程度也不 相同，这就是所谓的异方差（heteroscedasticity）。
婴儿死亡率（Y）、人均GDP（X1）和初等教育占人 口比重（X2）的关系（n=20）：
Yi = 196.979 - 0.0033X2i - 1.401X3i +ei s.e = (16.12) ( 0.001) (0.2205 ) R2=0.8024 F=34.52 D.W.=2.47 与理论预期一致吗？
4000 2000 0 -2000 -4000 -6000 -8000
0 50000100000 200000 300000
R&D
6000 4000 2000 0 SALES
e
8000
0
50000100000 Sales
200000
300000
上证收益率（2004年4月1日——2008年3月31日）：
（1）将观测值按递增的方差排列，根据假设，对于递增的异方差，可以从按解释变
量X的值按升序排列。 （2）略去中间C个值（约为T/4），余下的T-C个分为两组并分别拟合出回归方程
{ X1, X2, …, Xi-1, Xi, Xi+1, …, Xn-1, Xn }
(n-c)/2 c = n/4 (n-c)/2
异方差的后果
1、参数估计量仍具有线性性和无偏性、一致性
ˆ ( X ' X )1 X 'Y AY
ˆ ) E[(X ' X )1 X 'Y ] E(
E[( X ' X )1 X ' ( X U )]
E[( X ' X ) X ' X ] E[( X ' X ) X 'U ]
交易量在0~199 之间的机构投资 者平均每股需付 46.5美分，方差 为32.22； 交易量最大 （10000以上） 的投资者平均每 股付10.1美分， 方差为3.18
销售量和R&D支出：
R&Di = 1+2Salesi+ui
RDEXP vs. SALES 14000
8000 6000
12000 10000
e e
2 2i 2 1i
~ F(
nc nc k 1, k 1) 2 2
若：F> Fα ，则拒绝H0，认为存在递增型的异方差。 F< Fα ，不能拒绝H0，认为随机误差项是同方差分布的。
注：⑴ 该检验的功效取决于c值，c值越大，则大小方差的差异越大，检验功效越 好 ⑵ 两个回归所用的观测值的个数是否相等并不重要，因为可以通过改变自由 度和统计量的计算公式来调整。 ⑶ 该检验只适用于于递增型的异方差，且依赖于观测值是否正确排序。 ⑷ 当模型中包含多个解释变量时，应对每一个解释变量都进行检验。
0 -2 -4
100
50 X 0 0 10 20 30
-6 -8 200 400 600 800 1000 1200 1400
250 Y 200
递减型异方差
150
100
50 X 0 10 20 30
0
异方差的例子
放松管制后，纽约股票交易所（NYSE）的经纪人佣金（美分/每股）：
70 60 50 40 30 20 10 0 75Q1 75Q3 76Q1 76Q3 77Q1 77Q3 78Q1 78Q3 0-199 200-999 1000-9999 10000 or more