基于Mooney-Rivlin模型和Yeoh模型的橡胶材料有限元分析

实　验
合成橡胶工业，２０２０－１１－１５，４３（６）：４６８～４７１
ＣＨＩＮＡＳＹＮＴＨＥＴＩＣＲＵＢＢＥＲＩＮＤＵＳＴＲＹ
基于Ｍｏｏｎｅｙ－Ｒｉｖｌｉｎ模型和Ｙｅｏｈ模型的
橡胶材料有限元分析
张　琦１，时剑文２，索双富２，孟国营１
（１．中国矿业大学（北京）机电与信息工程学院，北京１０００８３；２．清华大学机械工程学院，北京１０００８４）
摘要：基于Ｍｏｏｎｅｙ－Ｒｉｖｌｉｎ模型和Ｙｅｏｈ模型２种橡胶本构模型，建立了硅橡胶、丁腈橡胶和氟橡胶的单轴压缩实验有限元模型，对比了３种橡胶材料的名义应力－应变曲线及模拟仿真。

结果表明，Ｍｏｏｎｅｙ－Ｒｉｖｌｉｎ模型适合橡胶的小变形行为，Ｙｅｏｈ模型适合橡胶的大变形行为，且Ｙｅｏｈ模型在橡胶小变形时也具有较好的拟合度。

关键词：Ｍｏｏｎｅｙ－Ｒｉｖｌｉｎ模型；Ｙｅｏｈ模型；单轴压缩实验；有限元模型；本构关系；应力云图 中图分类号：ＴＱ３３４．２ 文献标志码：Ａ 文章编号：１０００－１２５５（２０２０）０６－０４６８－０４
橡胶材料具有超弹性和优异的伸缩性，相比于金属类材料，其性能表征仅需较少的参数。

本构关系是研究橡胶材料力学特性的基础，建立超弹性材料的本构关系时必须考虑其几何非线性关系。

近年来的相关研究表明，研究橡胶材料小变形范围内的研究主要采用Ｍｏｏｎｅｙ－Ｒｉｖｌｉｎ模型，
大变形范围则主要采用Ｙｅｏｈ模型［１－３］。

本工作
通过对３种橡胶材料进行单轴压缩实验，并使用ＡＢＡＱＵＳ有限元分析软件对压缩实验进行有限元仿真，从而获得其应力－应变对比曲线，以研究橡胶材料的压缩变形行为。

　１　橡胶本构模型
１．１　Ｍｏｏｎｅｙ－Ｒｉｖｌｉｎ模型
基于橡胶各向同性和体积近似不可压缩的假设，在工程方面普遍采用应变能密度函数对橡胶
材料的超弹性进行表征［１－２］。

目前，在有限元分
析中多项式应变能函数应用较为广泛，对于橡胶类不可压缩物理非线性材料而言，Ｍｏｏｎｅｙ－Ｒｉｖｌｉｎ应变能函数应用最为广泛，其本构关系如下：
Ｕ＝ΣＮ
ｉ＋ｊ＝１
Ｃｉｊ（Ｉ１－３）ｉ（Ｉ２－３）ｊ＋ΣＮ
ｉ＝１
［１／Ｄｉ
（Ｊ－１）２ｉ
］，（１）Ｉ１＝λ２
１
＋λ２２
＋λ２
３
，（２）Ｉ２＝（λ１λ２）２＋（λ２λ３）２＋（λ３λ１
）２
，（３）
式中：Ｕ为应变能密度；Ｎ为函数的阶级；Ｃｉｊ
为材料常数，通常由实验测试得到；Ｉ１和Ｉ２分别为１阶和２阶应变不变量；Ｄｉ为材料常数，与材料的压缩性相关；Ｊ为体积比；λ１、λ２、λ３均为主伸张率。

基于上述本构关系建立的完全或者几乎不可压缩材料的应变能函数为：
Ｕ＝Ｃ１０（Ｉ１－３）＋Ｃ０１（Ｉ２－３）＋１／Ｄ１
（Ｊ－１）２
，（４）式中：Ｃ１０和Ｃ０１均为实验得到的材料常数；Ｄ１为材料常数，与材料的压缩性相关。

研究表明，Ｍｏｏｎｅｙ－Ｒｉｖｌｉｎ模型属超弹性模型，可以较好地模拟橡胶材料在小应变和中等应
变时的特性［３－４］。

１．２　Ｙｅｏｈ模型
Ｙｅｏｈ模型具有形式简单、精确度高的优点，且其材料参数可通过单轴压缩实验确定。

当式（１）中Ｃｉｊ为０（ｊ不等０），且Ｎ为３时，即得到Ｙｅｏｈ模型应变能密度函数：
Ｕ＝Σ３
ｉ＝１
Ｃｉ０（Ｉ１－３）ｉ＋Σ３
ｉ＝０
［１／Ｄｉ
（Ｊ－１）２ｉ
］，（５）
式中：Ｃｉ０
为由实验测试得到的材料常数。

研究表明，Ｙｅｏｈ模型可以较好地模拟橡胶材
料在大应变时的特性［５－６］。

收稿日期：２０２０－０３－１８；修订日期：２０２０－０９－１０。

作者简介：张琦（１９９６—），男，山东潍坊人，硕士研究生。

主要从事机械设计及橡塑密封材料研究工作。

２　橡胶压缩实验
２．１　试样制备
硅橡胶、氟橡胶、丁腈橡胶试样均为直径１０ｍｍ、高１０ｍｍ的圆柱体，由模压成形工艺制造而得。

各取３个试样，分别进行单轴压缩实验。

２．２　实验方法
使用长春科新公司生产的ＷＤＷ３０２０型电子万能材料试验机，按照ＧＢ／Ｔ７７５７—２００９进行试样的压缩实验，通过试样的压缩载荷－位移曲线计算得到相应的应力－应变曲线。

压缩实验的主要过程为：（１）将试样直接放置于上下压盘之间；（２）对每个试样进行预实验，每次以５ｍｍ／ｍｉｎ的速率进行压缩加载，直至应变达到１０％，再进行卸载并使试样回弹；（３）正式实验时以５ｍｍ／ｍｉｎ的速率和２０ｋＮ的力将试样压缩到至少４０％应变。

３　结果与讨论
３．１　实验结果
为了减小压缩实验误差，基于３组试样的应力平均值进行研究。

取平均值时，将实验误差较大的数据舍弃。

硅橡胶、丁腈橡胶、氟橡胶材料的压缩实验数据如表１～表３所示，其中将氟橡胶试样１实验数据舍弃。

Ｔａｂｌｅ１　Ｅｘｐｅｒｉｍｅｎｔａｌｄａｔａｏｆｓｉｌｉｃｏｎｅｒｕｂｂｅｒｃｏｍｐｒｅｓｓｉｏｎ
Ｓｔｒａｉｎ／％
Ｓｔｒｅｓｓ／ＭＰａ
Ｓａｍｐｌｅ１Ｓａｍｐｌｅ２Ｓａｍｐｌｅ３Ａｖｅｒａｇｅｖａｌｕｅ
５０．２９２８０．２８９００．３１１９０．２９７９１００．４４５６０．４３９３０．４８０００．４５５０１５０．６０３５０．５９２１０．６４３００．６１２９２００．７６９００．７４６１０．８０８５０．７７４５２５０．９５１１０．９１６７０．９９９５０．９５５８３０１．１６５０１．１２０４１．２３７６１．１７４３３５１．４５１５１．４００６１．５７１２１．４７４４４０１．８８１８１．８１６９２．０９７０１．９３１９
Ｔａｂｌｅ２　Ｅｘｐｅｒｉｍｅｎｔａｌｄａｔａｏｆｎｉｔｒｉｌｅｒｕｂｂｅｒｃｏｍｐｒｅｓｓｉｏｎ
Ｓｔｒａｉｎ／％
Ｓｔｒｅｓｓ／ＭＰａ
Ｓａｍｐｌｅ１Ｓａｍｐｌｅ２Ｓａｍｐｌｅ３Ａｖｅｒａｇｅｖａｌｕｅ
５０．７１８１０．６８１２０．６３９２０．６７９５１０１．２６９４１．２３７６１．２０４５１．２３７２１５１．７９７８１．７６７３１．７４８２１．７７１１２０２．３４５３２．３０３３２．３００７２．３１６４２５２．９２８４２．８６７３２．８７５０２．８９０２３０３．５９９４３．５２０５３．５７０２３．５６３４３５４．４８６９４．４００３４．４７４２４．４５３８４０５．８２００５．６７３５５．８３６５５．７７６７
Ｔａｂｌｅ３　ＥｘｐｅｒｉｍｅｎｔａｌｄａｔａｏｆｆｌｕｏｒｏｒｕｂｂｅｒｃｏｍｐｒｅｓｓｉｏｎＳｔｒａｉｎ／％
Ｓｔｒｅｓｓ／ＭＰａ
Ｓａｍｐｌｅ１Ｓａｍｐｌｅ２Ｓａｍｐｌｅ３Ａｖｅｒａｇｅｖａｌｕｅ５０．５８４４０．５２８４０．５２３３０．５２５９
１０１．１００１０．９０４００．９１６７０．９１０４
１５１．５９４１１．２７４５１．２９３６１．２８４１
２０２．１１４８１．６５０１１．６８３２１．６６６７
２５２．７０１８２．０４１０２．０９５７２．０６８４
３０３．４０４６２．５０９５２．５７５８２．５４２７
３５４．３４３０３．１２３２３．２１３６３．１６８４
４０５．６５１９４．１１３８４．２２５９４．１６９９
３．２　ＡＢＡＱＵＳ仿真
按照压缩实验方法，应用有限元分析软件ＡＢＡＱＵＳ对３种橡胶材料分别进行Ｍｏｏｎｅｙ－Ｒｉｖｌｉｎ模型和Ｙｅｏｈ模型下的有限元仿真，所得
的应力云图见图１～图３，其中Ｓ
２２
为ｙ轴方向
的应力。

可见，３种橡胶在Ｓ
２２
方向的Ｍｏｏｎｅｙ－Ｒｉｖｌｉｎ模型和Ｙｅｏｈ模型应力分布较为一致。

由于摩擦力，应力在与压头接触的边缘较大，在其他区域的应力分布中，Ｙｅｏｈ模型应力分区较Ｍｏｏｎｅｙ－Ｒｉｖｌｉｎ模型更加精确，表明Ｙｅｏｈ模型能更好地呈现出这３种橡胶材料的应力分布情况。

Ｓ
２２
ｏｆＭｏｏｎｅｙ Ｒｉｖｌｉｎｍｏｄｅ
ｌ
Ｓ
２２
ｏｆＹｅｏｈｍｏｄｅｌ
Ｆｉｇ１　Ｓｔｒｅｓｓｃｌｏｕｄｄｉａｇｒａｍｏｆｓｉｌｉｃｏｎｅｒｕｂｂｅｒ
·
９
６
４
·
　第６期 张　琦等 基于Ｍｏｏｎｅｙ－Ｒｉｖｌｉｎ模型和Ｙｅｏｈ模型的橡胶材料有限元分析
Ｓ２２
ｏｆＭｏｏｎｅｙ Ｒｉｖｌｉｎｍｏｄｅ
ｌＳ２２
ｏｆＹｅｏｈｍｏｄｅｌＦｉｇ２　Ｓｔｒｅｓｓｃｌｏｕｄｄｉａｇｒａｍｏｆｎｉｔｒｉｌｅｒｕｂｂｅ
ｒ
Ｓ２２
ｏｆＭｏｏｎｅｙ Ｒｉｖｌｉｎｍｏｄｅ
ｌＳ２２
ｏｆＹｅｏｈｍｏｄｅｌＦｉｇ３　Ｓｔｒｅｓｓｃｌｏｕｄｄｉａｇｒａｍｏｆｆｌｕｏｒｏｒｕｂｂｅｒ
利用ＭＡＴＬＡＢ软件分别得到３种橡胶材料的名义、Ｍｏｏｎｅｙ－Ｒｉｖｌｉｎ模型和Ｙｅｏｈ模型仿真应力－应变曲线，如图４～图６所示，由ＡＢＡＱＵＳ仿
真拟合所得的Ｍｏｏｎｅｙ－Ｒｉｖｌｉｎ模型与Ｙｅｏｈ模型参数列于表４。

可见，３种橡胶材料在应变为０～２０％时，由Ｍｏｏｎｅｙ－Ｒｉｖｌｉｎ模型与Ｙｅｏｈ模型仿真得到的应力－应变曲线与名义应力－应变曲线误差较小，即２种模型均具有较好的拟合效果；应变为２０％～３０％时，模型仿真所得的应力－应变曲线与名义应力－应变曲线误差开始变大；应变为３
０％～４０％时，由Ｍｏｏ ｎｅｙ－Ｒｉｖｌｉｎ模型仿真所得的应力－应变曲线出现了较大的偏差，而由Ｙｅｏｈ模型仿真所得的应力－应变曲线与名义应力－应变曲线误差较小，拟合程度较高。

●—Ｎ
ｏｍｉｎａｌ；○—Ｍｏｏｎｅｙ Ｒｉｖｌｉｎｍｏｄｅｌ；▲—ＹｅｏｈｍｏｄｅｌＦｉｇ４　Ｃｏｍｐａｒｉｓｏｎｏｆｓｔｒｅｓｓ－ｓｔｒａｉｎｃｕｒｖｅｓｏｆｓｉｌｉｃｏｎｅｒｕｂｂｅ
ｒ
●—Ｎ
ｏｍｉｎａｌ；○—Ｍｏｏｎｅｙ Ｒｉｖｌｉｎｍｏｄｅｌ；▲—ＹｅｏｈｍｏｄｅｌＦｉｇ５　Ｃｏｍｐａｒｉｓｏｎｏｆｓｔｒｅｓｓ－ｓｔｒａｉｎｃｕｒｖｅｓｏｆｎｉｔｒｉｌｅｒｕｂｂｅ
ｒ
●—Ｎ
ｏｍｉｎａｌ；○—Ｍｏｏｎｅｙ Ｒｉｖｌｉｎｍｏｄｅｌ；▲—ＹｅｏｈｍｏｄｅｌＦｉｇ６　Ｃｏｍｐａｒｉｓｏｎｏｆｓｔｒｅｓｓ－ｓｔｒａｉｎｃｕｒｖｅｓｏｆｆｌｕｏｒｏｒｕｂｂｅｒ
·０７４·合　成　橡　胶　工　业 第４
３卷　
Ｔａｂｌｅ４　Ｐａｒａｍｅｔｅｒｓｏｆｔｗｏｍｏｄｅｌｓｏｆｔｈｒｅｅｋｉｎｄｓｏｆｒｕｂｂｅｒｓ
ＭｏｄｅｌＭａｔｅｒｉａｌ
ｃｏｎｓｔａｎｔ
Ｓｉｌｉｃｏｎｅ
ｒｕｂｂｅｒ
Ｎｉｔｒｉｌｅ
ｒｕｂｂｅｒ
Ｆｌｕｏｒｏ
ｒｕｂｂｅｒ
Ｍｏｏｎｅｙ ＲｉｖｌｉｎｍｏｄｅｌＣ１００．６９７６１．９５１９１．３４５０
Ｃ
０１
－０．１４１６－０．３０６７－０．１７１８ＹｅｏｈｍｏｄｅｌＣ１００．６４６５１．８４８８１．３７５７
Ｃ
２０
－０．３９６８－０．９３７６－０．８２３３
Ｃ
３０
０．２０４００．４９４００．４６８７
　Ｃ
２０ａｎｄＣ
３０
ａｌｌｗｅｒｅｍａｔｅｒｉａｌｃｏｎｓｔａｎｔｓｏｂｔａｉｎｅｄｂｙｅｘｐｅｒｉｍｅｎｔｓ．
４　结　论
ａ）Ｍｏｏｎｅｙ－Ｒｉｖｌｉｎ模型适合橡胶的小变形行为，Ｙｅｏｈ模型适合橡胶的大变形行为，且Ｙｅｏｈ模型在橡胶小变形时也具有较好的拟合度。

ｂ）利用ＡＢＡＱＵＳ软件仿真拟合得到硅橡胶、丁腈橡胶和氟橡胶的Ｍｏｏｎｅｙ－Ｒｉｖｌｉｎ模型及Ｙｅｏｈ模型参数。

参考文献：
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Ｆｉｎｉｔｅｅｌｅｍｅｎｔａｎａｌｙｓｉｓｏｆｒｕｂｂｅｒｍａｔｅｒｉａｌｓｂａｓｅｄｏｎ
Ｍｏｏｎｅｙ ＲｉｖｌｉｎｍｏｄｅｌｓａｎｄＹｅｏｈｍｏｄｅｌｓ
ＺＨＡＮＧＱｉ１，ＳＨＩＪｉａｎ ｗｅｎ２，ＳＵＯＳｈｕａｎｇ ｆｕ２，ＭＥＮＧＧｕｏ ｙｉｎｇ１
（１．ＳｃｈｏｏｌｏｆＭｅｃｈａｎｉｃａｌＥｌｅｃｔｒｏｎｉｃ＆ＩｎｆｏｒｍａｔｉｏｎＥｎｇｉｎｎｅｒｉｎｇ，ＣｈｉｎａＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙｏｆＭｉｎｉｎｇａｎｄ
Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ－Ｂｅｉｊｉｎｇ，Ｂｅｉｊｉｎｇ１０００８３，Ｃｈｉｎａ；
２．ＳｃｈｏｏｌｏｆＭｅｃｈａｎｉｃａｌＥｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ，ＴｓｉｎｇｈｕａＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｂｅｉｊｉｎｇ１０００８４，Ｃｈｉｎａ）
　Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｂａｓｅｄｏｎｔｗｏｒｕｂｂｅｒｃｏｎｓｔｉｔｕｔｉｖｅｍｏｄｅｌｓ，Ｍｏｏｎｅｙ ＲｉｖｌｉｎｍｏｄｅｌａｎｄＹｅｏｈｍｏｄｅｌ，ａｕｎｉａｘｉａｌｃｏｍｐｒｅｓｓｉｏｎｅｘｐｅｒｉｍｅｎｔａｌｆｉｎｉｔｅｅｌｅｍｅｎｔｍｏｄｅｌｏｆｓｉｌｉｃｏｎｅｒｕｂｂｅｒ，ｎｉｔｒｉｌｅｒｕｂｂｅｒａｎｄｆｌｕｏｒｏｒｕｂｂｅｒｗａｓｅｓｔａｂｌｉｓｈｅｄａｎｄｎｏｍｉｎａｌｓｔｒｅｓｓ－ｓｔｒａｉｎｃｕｒｖｅｓａｎｄｓｉｍｕｌａｔｉｏｎｏｆｔｈｒｅｅｋｉｎｄｓｏｆｒｕｂｂｅｒｓｗｅｒｅｃｏｍｐａｒｅｄ．ＴｈｅｒｅｓｕｌｔｓｓｈｏｗｅｄｔｈａｔＭｏｏｎｅｙ ＲｉｖｌｉｎｍｏｄｅｌｗａｓｓｕｉｔａｂｌｅｆｏｒｓｍａｌｌｄｅｆｏｒｍａｔｉｏｎｂｅｈａｖｉｏｒｏｆｒｕｂｂｅｒａｎｄＹｅｏｈｍｏｄｅｌｗａｓｓｕｉｔａｂｌｅｆｏｒｌａｒｇｅｄｅ ｆｏｒｍａｔｉｏｎｂｅｈａｖｉｏｒｏｆｒｕｂｂｅｒ，ａｎｄＹｅｏｈｍｏｄｅｌｈａｄｇｏｏｄｆｉｔｔｉｎｇｄｅｇｒｅｅｗｈｅｎｔｈｅｔｈｒｅｅｋｉｎｄｓｏｆｒｕｂｂｅｒｓｗｅｒｅｉｎｓｍａｌｌｄｅｆｏｒｍａｔｉｏｎｂｅｈａｖｉｏｒ．
　Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：Ｍｏｏｎｅｙ Ｒｉｖｌｉｎｍｏｄｅｌ；Ｙｅｏｈｍｏｄｅｌ；ｕｎｉａｘｉａｌｃｏｍｐｒｅｓｓｉｏｎｅｘｐｅｒｉｍｅｎｔ；ｆｉｎｉｔｅｅｌｅｍｅｎｔｍｏｄｅｌ；ｃｏｎｓｔｉｔｕｔｉｖｅｒｅｌａｔｉｏｎｓｈｉｐ；ｓｔｒｅｓｓｃｌｏｕｄｄｉａ ｇｒａｍ
●广告索引●
中国石油石油化工研究院（封２、插１、插２、插３）中国石油兰州化工研究中心（插４、插５）中国石油大庆化工研究中心（插６、插７）中国石油合成橡胶试验基地　———多功能连续乳液聚合中试装置（插８）中国合成橡胶工业协会（封３）国家合成橡胶质量监督检验中心（封４）
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　第６期 张　琦等 基于Ｍｏｏｎｅｙ－Ｒｉｖｌｉｎ模型和Ｙｅｏｈ模型的橡胶材料有限元分析。