云县第二中学校2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

云县第二中学校2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析
班级__________ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若sinB=2sinC ，a 2﹣c 2=3bc ，则A 等于（ ） A ．30° B ．60° C ．120° D ．150°
2． 已知集合P={x|﹣1＜x ＜b ，b ∈N}，Q={x|x 2﹣3x ＜0，x ∈Z}，若P ∩Q ≠∅，则b 的最小值等于（ ） A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
3． 投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试．己知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为（ ） A ．0.648 B ．0.432 C ．0.36 D ．0.312
4． （文科）要得到()2log 2g x x =的图象，只需将函数()2log f x x =的图象（ ）
A ．向左平移1个单位
B ．向右平移1个单位
C ．向上平移1个单位
D ．向下平移1个单位
5． 设集合M={x|x 2+3x+2＜0}，集合
，则M ∪N=（ ）
A ．{x|x ≥﹣2}
B ．{x|x ＞﹣1}
C ．{x|x ＜﹣1}
D ．{x|x ≤﹣2}
6． 已知平面α、β和直线m ，给出条件：①m ∥α；②m ⊥α；③m ⊂α；④α⊥β；⑤α∥β．为使m ∥β，应选择下面四个选项中的（ ） A ．①④
B ．①⑤
C ．②⑤
D ．③⑤
7． 函数f （x ）=（）x2﹣9的单调递减区间为（ ） A ．（﹣∞，0） B ．（0，+∞）
C ．（﹣9，+∞）
D ．（﹣∞，﹣9）
8． 已知M={（x ，y ）|y=2x }，N={（x ，y ）|y=a}，若M ∩N=∅，则实数a 的取值范围为（ ） A ．（﹣∞，1） B ．（﹣∞，1] C ．（﹣∞，0） D ．（﹣∞，0]
9． 已知f （x ）=ax 3+bx+1（ab ≠0），若f （2016）=k ，则f （﹣2016）=（ ） A ．k
B ．﹣k
C ．1﹣k
D ．2﹣k
10．已知等差数列{}n a 的前项和为n S ，且120a =-，在区间()3,5内任取一个实数作为数列{}n a 的公差，则n S 的最小值仅为6S 的概率为（ ） A ．
15 B ．16 C ．314 D ．13
11．直线l ⊂平面α，直线m ⊄平面α，命题p ：“若直线m ⊥α，则m ⊥l ”的逆命题、否命题、逆否命题中真命题的个数为（ ） A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
12．为调查某地区老人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法．．．．．．．．从该地区调查了500位老年人，结果如
由2
()()()()()
n ad bc K a b c d a c b d -=++++算得22
500(4027030160)9.96720030070430K ⨯⨯-⨯=
=⨯⨯⨯ 附表：
参照附表，则下列结论正确的是（ ）
①有99%以上的把握认为“该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别无．关”； ②有99%以上的把握认为“该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有．关”； ③采用系统抽样方法比采用简单随机抽样方法更好； ④采用分层抽样方法比采用简单随机抽样方法更好； A ．①③ B ．①④ C ．②③ D ．②④
二、填空题
13．已知平面向量a ，b 的夹角为3π，6=-b a ，向量c a - ，c b - 的夹角为23π，c a -= a
与
c
的夹角为__________，a c ⋅ 的最大值为 ．
【命题意图】本题考查平面向量数量积综合运用等基础知识，意在考查数形结合的数学思想与运算求解能力.
14．在空间直角坐标系中，设)1,3(，
m A ，)1,1,1(-B ，且22||=AB ，则=m . 15．已知数列{}n a 中，11a =，函数32
12()3432
n n a f x x x a x -=-
+-+在1x =处取得极值，则 n a =_________.
16．若函数()f x 的定义域为[]1,2-，则函数(32)f x -的定义域是 ． 17．下列四个命题申是真命题的是 （填所有真命题的序号） ①“p ∧q 为真”是“p ∨q 为真”的充分不必要条件；
②空间中一个角的两边和另一个角的两边分别平行，则这两个角相等； ③在侧棱长为2，底面边长为3的正三棱锥中，侧棱与底面成30°的角；
3.841 6.635 10.828k 2() 0.050 0.010 0.001
P K k ≥
④动圆P 过定点A （﹣2，0），且在定圆B ：（x ﹣2）2+y 2=36的内部与其相内切，则动圆圆心P 的轨迹为一个椭圆．
18．若函数f （x ）=log a x （其中a 为常数，且a ＞0，a ≠1）满足f （2）＞f （3），则f （2x ﹣1）＜f （2﹣x ）的解集是 ．
三、解答题
19．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数|1||2|)(+--=x x x f ，x x g -=)(. （1）解不等式)()(x g x f >；
（2）对任意的实数，不等式)()(22)(R m m x g x x f ∈+≤-恒成立，求实数m 的最小值.111]
20f x =sin ωx+φω00φ2π
（2）求函数g （x ）=f （x ）+
sin2x 的单调递增区间．
21．【常熟中学2018届高三10月阶段性抽测（一）】如图，某公司的LOGO 图案是多边形ABEFMN ，其
设计创意如下：在长4cm 、宽1
c m 的长方形ABCD 中，将四边形DFEC 沿直线EF 翻折到MFEN （点F 是线段AD 上异于D 的一点、点E 是线段BC 上的一点），使得点N 落在线段AD 上.
∆面积；
（1）当点N与点A重合时，求NMF
-最小时，LOGO最美观，试求此时LOGO图案的面积.
（2）经观察测量，发现当2NF MF
22．已知圆的极坐标方程为ρ2﹣4ρcos（θ﹣）+6=0．
（1）将极坐标方程化为普通方程；
（2）若点P在该圆上，求线段OP的最大值和最小值．
23．已知数列{a n}共有2k（k≥2，k∈Z）项，a1=1，前n项和为S n，前n项乘积为T n，且a n+1=（a﹣1）S n+2（n=1，
2，…，2k﹣1），其中a=2，数列{b n}满足b n=log2，
（Ⅰ）求数列{b n}的通项公式；
（Ⅱ）若|b1﹣|+|b2﹣|+…+|b2k﹣1﹣|+|b2k﹣|≤，求k的值．
24．已知等比数列中，。

（1）求数列的通项公式;
（2）设等差数列中，，求数列的前项和.
云县第二中学校2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析（参考答案）一、选择题
1．【答案】C
【解析】解：由sinB=2sinC，由正弦定理可知：b=2c，代入a2﹣c2=3bc，
可得a2=7c2，
所以cosA===﹣，
∵0＜A＜180°，
∴A=120°．
故选：C．
【点评】本题考查正弦定理以及余弦定理在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基本知识的考查．
2．【答案】C
【解析】解：集合P={x|﹣1＜x＜b，b∈N}，Q={x|x2﹣3x＜0，x∈Z}={1，2}，P∩Q≠∅，
可得b的最小值为：2．
故选：C．
【点评】本题考查集合的基本运算，交集的意义，是基础题．
3．【答案】A
【解析】解：由题意可知：同学3次测试满足X∽B（3，0.6），
该同学通过测试的概率为=0.648．
故选：A．
4．【答案】C
【解析】
试题分析：()2222
==+=+，故向上平移个单位.
log2log2log1log
g x x x x
考点：图象平移．
5．【答案】A
【解析】解：∵集合M={x|x2+3x+2＜0}={x|﹣2＜x＜﹣1}，
集合={x|2﹣x≤22}={x|﹣x≤2}={x|x≥﹣2}，
∴M∪N={x|x≥﹣2}，
故选A．
【点评】本题考查集合的运算，解题时要认真审题，仔细解答．
6．【答案】D
【解析】解：当m⊂α，α∥β时，根据线面平行的定义，m与β没有公共点，有m∥β，其他条件无法推出m ∥β，
故选D
【点评】本题考查直线与平面平行的判定，一般有两种思路：判定定理和定义，要注意根据条件选择使用．7．【答案】B
【解析】解：原函数是由t=x2与y=（）t﹣9复合而成，
∵t=x2在（﹣∞，0）上是减函数，在（0，+∞）为增函数；
又y=（）t﹣9其定义域上为减函数，
∴f（x）=（）x2﹣9在（﹣∞，0）上是增函数，在（0，+∞）为减函数，
∴函数ff（x）=（）x2﹣9的单调递减区间是（0，+∞）．
故选：B．
【点评】本题考查复合函数的单调性，讨论内层函数和外层函数的单调性，根据“同増异减”再来判断是关键．
8．【答案】D
【解析】解：如图，
M={（x，y）|y=2x}，N={（x，y）|y=a}，若M∩N=∅，
则a≤0．
∴实数a的取值范围为（﹣∞，0]．
故选：D．
【点评】本题考查交集及其运算，考查了数形结合的解题思想方法，是基础题．
9． 【答案】D
【解析】解：∵f （x ）=ax 3+bx+1（ab ≠0），f （2016）=k ， ∴f （2016）=20163a+2016b+1=k ， ∴20163a+2016b=k ﹣1，
∴f （﹣2016）=﹣20163a ﹣2016b+1=﹣（k ﹣1）+1=2﹣k ． 故选：D ．
【点评】本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．
10．【答案】D 【解析】
考
点：等差数列． 11．【答案】B
【解析】解：∵直线l ⊂平面α，直线m ⊄平面α，命题p ：“若直线m ⊥α，则m ⊥l ”， ∴命题P 是真命题，∴命题P 的逆否命题是真命题； ￢P ：“若直线m 不垂直于α，则m 不垂直于l ”，
∵￢P 是假命题，∴命题p 的逆命题和否命题都是假命题． 故选：B ．
12．【答案】D
【解析】解析：本题考查独立性检验与统计抽样调查方法．
由于9.967 6.635>，所以有99%的把握认为该地区的老年人是否需要帮助与性别有关，②正确；该地区老年人是否需要帮助与性别有关，并且从样本数据能看出该地区男性老年人与女性老年人中需要帮助的比例有明显差异，因此在调查时，先确定该地区老年人中男、女的比例，再把老年人分成男、女两层并采用分层抽样方法比采用简单随机抽样方法更好，④正确，选D ．
二、填空题
13．【答案】6
π
，18+ 【解析】
14．【答案】1 【解析】 试题分析：()()()()22131112
22=-+--+-=
m AB ，解得：1=m ，故填：1.
考点：空间向量的坐标运算
15．【答案】1
231n --
【解析】
考
点：1、利用导数求函数极值；2、根据数列的递推公式求通项公式.
【方法点晴】本题主要考查等比数列的定义以及已知数列的递推公式求通项，属于中档题.由数列的递推公式求通项常用的方法有：累加法、累乘法、构造法，形如1(0,1)n n a qa p p q -=+≠≠的递推数列求通项往往用
构造法，利用待定系数法构造成1()n n a m q a m -+=+的形式，再根据等比数例求出{}n a m +的通项，进而得出{}n a 的通项公式.
16．【答案】1
,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦
【解析】
试题分析：依题意得11322,,22x x ⎡⎤-≤-≤∈⎢⎥⎣⎦
.
考点：抽象函数定义域．
17．【答案】 ①③④
【解析】解：①“p ∧q 为真”，则p ，q 同时为真命题，则“p ∨q 为真”，
当p 真q 假时，满足p ∨q 为真，但p ∧q 为假，则“p ∧q 为真”是“p ∨q 为真”的充分不必要条件正确，故①正确； ②空间中一个角的两边和另一个角的两边分别平行，则这两个角相等或互补；故②错误，
③设正三棱锥为P ﹣ABC ，顶点P 在底面的射影为O ，则O 为△ABC 的中心，∠PCO 为侧棱与底面所成角
∵正三棱锥的底面边长为3，∴CO=
∵侧棱长为2，∴
在直角△POC 中，tan ∠PCO=
∴侧棱与底面所成角的正切值为
，即侧棱与底面所成角为30°，故③正确，
④如图，设动圆P 和定圆B 内切于M ，则动圆的圆心P 到两点，即定点A （﹣2，0）和定圆的圆心B （2，0）的距离之和恰好等于定圆半径， 即|PA|+|PB|=|PM|+|PB|=|BM|=6＞4=|AB|． ∴点P 的轨迹是以A 、B 为焦点的椭圆， 故动圆圆心P 的轨迹为一个椭圆，故④正确， 故答案为：①③④
18．【答案】 （1，2） ．
【解析】解：∵f （x ）=log a x （其中a 为常数且a ＞0，a ≠1）满足f （2）＞f （3）， ∴0＜a ＜1，x ＞0，
若f （2x ﹣1）＜f （2﹣x ），
则
，
解得：1＜x ＜2， 故答案为：（1，2）．
【点评】本题考查了对数函数的性质，考查函数的单调性问题，是一道基础题．
三、解答题
19．【答案】（1）13|{<<-x x 或}3>x ；（2）. 【
解
析
】
试
题解析：（1）由题意不等式)()(x g x f >可化为|1||2|+>+-x x x ， 当1-<x 时，)1()2(+->+--x x x ，解得3->x ，即13-<<-x ； 当21≤≤-x 时，1)2(+>+--x x x ，解得1<x ，即11<≤-x ； 当2>x 时，12+>+-x x x ，解得3>x ，即3>x （4分）
综上所述，不等式)()(x g x f >的解集为13|{<<-x x 或}3>x . （5分）
（2）由不等式m x g x x f +≤-)(22)(可得m x x ++≤-|1||2|， 分离参数m ，得|1||2|+--≥x x m ，∴max |)1||2(|+--≥x x m
∵3|)1(2||1||2|=+--≤+--x x x x ，∴3≥m ，故实数m 的最小值是. （10分） 考点：绝对值三角不等式；绝对值不等式的解法．1 20．【答案】
【解析】（本题满分12分）
解：（1）由表格给出的信息知，函数f （x ）的周期为T=2（﹣0）=π．
所以ω=
=2，由sin （2×0+φ）=1，且0＜φ＜2π，所以φ=
．
所以函数的解析式为f （x ）=sin （2x+）=cos2x …6分
（2）g （x ）=f （x ）+sin2x=
sin2x+cos2x=2sin （2x+
），
令2k
≤2x+
≤2k
，k ∈Z 则得k π﹣≤x ≤k π+，k ∈Z
故函数g （x ）=f （x ）+sin2x 的单调递增区间是：，k ∈Z …12分
【点评】本题主要考查了由y=Asin （ωx+φ）的部分图象确定其解析式，正弦函数的单调性，周期公式的应
用，属于基本知识的考查．
21．【答案】（1）
215cm 16；（2）2
4. 【解析】试题分析：
（1）设MF x =4x =，则15
8
x =
， 据此可得NMF ∆的面积是
211515
1cm 2816
⨯⨯=；
试题解析：
（1）设MF x =，则FD MF x ==，NF =
∵4NF MF +=，4x =，解之得15
8
x =
，
∴NMF ∆的面积是
211515
1cm 2816
⨯⨯=； （2）设NEC θ∠=，则2
NEF θ
∠=，NEB FNE πθ∠=∠=-，
∴()22
MNF π
π
πθθ∠=
--=-
，
∴1
1
2MN
NF cos MNF
sin cos πθ
θ==
=
∠⎛
⎫- ⎪
⎝
⎭， MF FD MN tan MNF ==⋅∠=2cos tan sin πθθθ⎛
⎫-=- ⎪⎝⎭
，
∴22cos NF MF sin θ
θ
+-=.
∵14NF FD <+≤，∴114cos sin θθ-<
≤，即142
tan θ
<≤， ∴42πθα<≤（4tan α=且,32ππα⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭）， ∴22πθα<≤（4tan α=且,32ππα⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
）， 设()2cos f sin θθθ+=，则()2
12cos f sin θθθ--='，令()0f θ'=得23
π
θ=， 列表得
∴当23
π
θ=
时，2NF MF -取到最小值， 此时，NEF CEF NEB ∠=∠=∠3
FNE NFE NFM π
=∠=∠=∠=
，6
MNF π
∠=
，
在Rt MNF ∆中，1MN =
，MF =
，NF =， 在正NFE ∆
中，3
NF EF NE ===，
在梯形ANEB 中，1AB =
，4AN =
4BE =，
∴MNF EFN ABEFMN ABEN S S S S ∆∆=++=
六边形梯形144142⎛⨯⨯= ⎝⎭
.
答：当2NF MF -最小时，LOGO 图案面积为2
4. 点睛：求实际问题中的最大值或最小值时，一般是先设自变量、因变量，建立函数关系式，并确定其定义域，利用求函数的最值的方法求解，注意结果应与实际情况相结合．用导数求解实际问题中的最大（小）值时，如果函数在开区间内只有一个极值点，那么依据实际意义，该极值点也就是最值点. 22．【答案】
【解析】解：（1）ρ2
﹣4
ρcos （θ﹣）+6=0，展开为：ρ2
﹣4×ρ（cos θ+sin θ）+6=0．
化为：x 2+y 2
﹣4x ﹣4y+6=0．
（2）由x 2+y 2﹣4x ﹣4y+6=0可得：（x ﹣2）2+（y ﹣2）2
=2．
圆心C （2，2），半径r=．
|OP|=
=2
．
∴线段OP 的最大值为2+=3
．
最小值为2﹣=
．
23．【答案】
【解析】（本小题满分13分）
解：（1）当n=1时，a 2=2a ，则
；
当2≤n ≤2k ﹣1时，a n+1=（a ﹣1）S n +2，a n =（a ﹣1）S n ﹣1+2，
所以a n+1﹣a n =（a ﹣1）a n ，故
=a ，即数列{a n }是等比数列，
，
∴T n =a 1×a 2×…×a n =2n a
1+2+…+（n ﹣1）
=，
b n ==
．…
（2）令，则n ≤k+，又n ∈N *
，故当n ≤k 时，
，
当n ≥k+1时，
．…
|b 1﹣|+|b 2﹣|+…+|b 2k ﹣1﹣|+|b 2k ﹣|
=
+（
）+…+（
）…
=（k+1+…+b2k）﹣（b1+…+b k）
=[+k]﹣[]
=，
由，得2k2﹣6k+3≤0，解得，…
又k≥2，且k∈N*，所以k=2．…
【点评】本题考查数列的通项公式的求法，考查满足条件的实数值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等比数列的性质和构造法的合理运用．
24．【答案】
【解析】
解：（1）设等比数列的公比为
由已知，得，解得
（2）由（1）得
设等差数列的公差为，则，解得。