高中数学必修二同步练习题库：空间点、线、面的位置关系(选择题：较难)

空间点、线、面的位置关系（选择题：较难）
1、如图所示，将等腰直角沿斜边上的高折成一个二面角，此时，那么这个二面角大小是（）
A．90° B．60° C．45° D．30°
2、设是正方体的对角面（含边界）内的点，若点到平面、平面
、平面的距离相等，则符合条件的点（）
A．仅有一个 B．有有限多个 C．有无限多个 D．不存在
3、已知异面直线a,b成70°角，A为空间中一点，则过A且a,b都成55°的平面个数有（）
A．1 B．2 C．3 D．4
4、如图所示，正方体的棱长为1，分别是棱的中点，过直线的平面分别与棱交于，设,，给出以下四个命题：
①
②当且仅当时，四边形的面积最小；
③四边形周长,，则是奇函数；
④四棱锥的体积为常函数；
其中正确命题的个数为（）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5、如图,点是正方形外的一点,过点作直线,记直线与直线，的夹角分别为，，若，则满足条件的直线（）
A．有1条 B．有2条 C．有3条 D．有4条
6、已知棱长为l的正方体中，E，F，M分别是AB、AD、的中点，又P、Q分别在线段上，且，，设面面MPQ=，则下列结论中不成立的是( )
A. 面ABCD
B. AC
C. 面MEF与面MPQ垂直
D. 当x变化时，是定直线
7、矩形ABCD中，，，将△ABC与△ADC沿AC所在的直线进行随意翻折，在翻折过程中直线AD与直线BC成的角范围（包含初始状态）为（）
A． B．
C． D．
8、把边长为2的正方形沿对角线折起，使得平面平面，则异面直线所成的角为（）
A．120° B．30° C．90° D．60°
9、在正方体中，是中点，点在线段上，直线与平面所成的角为，则的取值范围是（）
A． B． C． D．
10、在正方体中，分别为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（）
A． B． C． D．
11、矩形中，，，将与沿所在的直线进行随意翻折，在翻折过程中直线与直线成的角范围（包含初始状态）为（）
A． B． C． D．
12、如图，已知，是的中点，沿直线将折成，所成二面角
的平面角为，则（）
A． B．
C． D．
13、四棱锥的底面是一个正方形，平面，，是棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值是（）
A． B． C． D．
14、如图，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，若AB＝BB1，则AB1与C1B所成的角的大小为（）
A．60° B．90°
C．105° D．75°
15、已知正四棱锥的侧棱长与底面边长都相等，是的中点，则所成的角的余弦值为（）
A． B． C． D．
16、已知三棱锥的底面是以为斜边的等腰直角三角形,，则三棱锥的外接球的球心到平面的距离是（）
A． B．1 C． D．
17、已知在直三棱柱中，，，则直线与夹角的余弦值为( )
A． B． C． D．
18、在正方体中，若是的中点，则异面直线与所成角的大小是（）A． B． C． D．
19、如图在一个二面角的棱上有两个点，，线段分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱，，则这个二面角的度数为（）
A． B． C． D．
20、如图，等边三角形的中线与中位线相交于，已知是△绕旋转过程中的一个图形，下列命题中，错误的是( )
A．动点在平面上的射影在线段上
B．恒有平面⊥平面
C．三棱锥的体积有最大值
D．异面直线与不可能垂直
参考答案1、A
2、A
3、A
4、C
5、D
6、C
7、C
8、D
9、A
10、C
11、C
12、A
13、B
14、B
15、C
16、A
17、A
18、D
19、B
20、D
【解析】
1、试题分析：连接，则为等边三角形，设，则，所以，故选A.
考点：1、平面与平面的位置关系；2、二面角的求法.
【易错点晴】本题考查的是平面与平面的位置关系、二面角的求法，属于难题；二面角问题先要找出二面角，从两个平面的交线入手，找出从一个点出发的垂直于两平面交线的两条直线，此即为二面角的平面角；在三角形内，求出该平面角即可．
2、解：与平面距离相等的点位于平面上；
与平面距离相等的点位于平面上；
与平面距离相等的点位于平面上；
据此可知，满足题意的点位于上述平面，平面,平面的公共点处，结合题意可知，满足题意的点仅有一个.
本题选择A选项.
点睛：本题考查点到平面的距离，利用点到直线的距离将平面问题类比到空间中点到面的距离，据此找到满足题意的点是否存在即可.
3、过作，设直线确定的平面为，
∵异面直线成角，∴直线确所成锐角为．
设过点的平面与所成的角相等，该平面的垂线与直线都成角，过
只能作一条这样的垂线，故此时符合条件的平面只有一个．
选A
4、①连结，则由正方体的性质可知，平面
，所以，所以正确．
②因为，四边形的对角线是固定的，所以要使面积最小，则只需的长度最
小即可，此时当为棱的中点时，即时，此时长度最小，对应四边形的面积最小．所以②正确．
③因为，所以四边形是菱形．函数
为偶函数，故③不正确．
④连结，则四棱锥则分割为两个小三棱锥，它们以为底，以分别为顶点的两个小棱锥．因为三角形的面积是个常数．到平面的距离是个常数，所以四
棱锥的体积为常函数，所以④正确．
故选C．
【点睛】本题考查空间立体几何中的面面垂直关系以及空间几何体的体积公式，本题把立体几何问题和函数进行的有机的结合，综合性较强，设计巧妙，对学生的解题能力要求较高．
5、∵故可知；由于平移不改变两直线的夹角，故题目可以转化为过点的直线与直线，的夹角为的直线有多少条；记直线，的夹角为，可以求得，故,故，即，故
，，故过点的直线与直线，的夹角为的直线有4条，分别在这两直线夹角及补角的平分面上
故选：D
6、连接BD,,显然平面,而,连接HG,则
所以AC⊥BD,又HG//L//BD,故AC⊥，只有当时，平面MEF⊥平面MPQ,无论x怎么变化，定是直线故选C
点睛：考察立体几何中线面得关系，要熟悉线面，面面之间关系得判定定理，然后再逐一分析即可
7、初始状态直线与直线成的角为，翻折过程中当时, 直线与直线成的角为直角，因此直线与直线成的角范围为，选C.
8、过作，交于，连结，则是的中点，，以为原点，为轴，
为轴，为轴，建立空间直角坐标系，，，，，，，设异面直线、所成的角为，则
，所以.所以异面直线、所成的角为.故选
9、试题分析：由题意得，分别以为轴建立空间直角坐标系，则
，平面的法向量，所以，故选A. 考点：直线与平面所成的角，
【方法点晴】本题主要考查了直线与平面所成角的求解和空间几何体的结构特征，着重考查了学生的空间想象能力和推理与运算能力，其中准确计算是解答本题的关键，也是本题的一个易错点，属于中的试题，
本题的解答中，分别以为轴建立空间直角坐标系，求解平面的法向量是解答本题的关键.
10、试题分析：由题意可得
又
考点：异面直线所成角
11、初始状态直线与直线成的角为，翻折过程中当时, 直线与直线成的角为直角，因此直线与直线成的角范围为，选C.
12、试题分析：①当时，；
②当时，如图，点投影在上，
，连结，
易得，
，即
综上所述，，
故选A．
考点：二面角的平面角及求法．
【易错点晴】本题考查空间角的大小比较，注意解题方法的积累，属于中档题．与二面角有关的问题，主要是转化为其平面角，利用平面角的关系，将空间问题转化为平面问题来解决，该题的关键是分类讨论，按空间中的可能情况予以分类，准确的分类是解决问题的前提．
13、试题分析：如图：
取的中点为，连接，，
是的中点，所以是的中位线，故，
因此就是异面直线与所成的角，
由于，且平面，四边形是正方形，
所以，
，
连接交于，则，平面，易知：
从而，
在中，由，得是以为直角的直角三角形，
所以，
即异面直线与所成的角的余弦值为．
故选B．
考点：异面直线所成的角．
14、试题分析：不妨设，则
，所以直线与所成的角为．
考点：数量积判断两个平面向量的垂直关系；异面直线所成的角．
15、试题分析：设的交点为，连接，则为所成的角或其补角；设正四棱锥的棱长为，则，所以
，故C为正确答案．
考点：异面直线所成的角．
16、试题分析：因为三棱锥的底面是以为斜边的等腰直角三角形，，
在面内的射影为中点，平面，上任意一点到的距离相等．，，在面内作的垂直平分线，则为的外接球球
心．，，，，即为到平面的距离，故选A．
考点：球内接多面体；点到面的距离的计算．
【思路点晴】本题考查点到面的距离的计算及球内接多面体问题及学生分析解决问题的能力，解答此类问题时要充分认识球内接多面体的性质，其中确定SHC与平面ABC的距离是关键，本题解答中根据三棱锥S-ABC的底面是以AB为斜边的等腰直角三角形，SA=AB=SC，可得S在面ABC上的射影为AB中点H，SH平面ABC，在面SHC内SC的垂直平分线MO与SH交于O，则O为SABC的外接球球心，OH为O与平面ABC的距离，由此可得到结论．
17、试题分析：分别取的中点为，则，
为异面直线与所成的角或其补角．可求得,
．故A正确．
考点：异面直线所成的角．
【方法点睛】本题主要考查异面直线所成的角问题,难度一般．求异面直线所成角的步骤:1平移,将两条异面直线平移成相交直线．2定角,根据异面直线所成角的定义找出所成角．3求角,在三角形中用余弦定理或正弦定理或三角函数求角．4结论．
18、试题分析：如图，作交的延长线于点，连接，因为，所以
，
所以（或其补角）是异面直线与所成角．设正方体的棱长为1，在中，，，，所以，．故选D．
考点：异面直线所成的角．
【名师点睛】异面直线所成的角：a、b是两条异面直线，经过空间任意一点O，分别引直线a′∥a,b′∥b,则a′和b′所成的锐角（或直角）叫做异面直线a和b所成的角，其取值范围是：0°＜θ≤90°．求解方法如下：解法一：平移法：根据定义，通过平移，找到异面直线所成的角θ；解含有θ的三角形，求出角θ的大小．平移的具体途径有：中位线、补形法等．
解法二：向量法：设异面直线l1，l2的方向向量分别为，则l1与l2所成的角θ满足cos θ＝．19、试题分析：设所求二面角的大小为，则，因为，所以
而依题意可知，所以
所以即
所以，而，所以，故选B.
考点：1.二面角的平面角；2.空间向量在解决空间角中的应用.
20、试题分析：由于．所以平面．经过点作平面ABC的垂线垂足在AF上．所以A选项正确．由A可知B选项正确．当平面垂直于平面时，三棱锥的体积最大，所以C正确．因为，设．所以，当
时，．所以异面直线与可能垂直．所以D选
项不正确．
考点：1．线面位置关系．2．面面的位置关系．3．体积公式．4．异面直线所成的角．5．空间想象力．。