2012年陕西专升本高数真题+解答

2012年陕西专升本高数真题+解答

2012年陕西省普通高等教育专升本招生考试（样题）

高等数学

注意事项：

全卷共10页，满分150分。考试时间150分钟。其中试题3页，用钢笔或圆珠笔直接答在答题纸上，答在试卷上的答案无效。

一、选择题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将选好的答案填在答题纸上题号所在的位置上。

1. 0x =是函数11()12

x

f x =

+的 【 B 】

A. 可去间断点

B. 跳跃间断点

C. 振荡间断点

D. 连续点 2．设函数0()(1)x

f x t dt =-⎰, 则()f x 有 【 D 】

A. 极大值

12 B. 极大值12- C. 极小值12 D. 极小值12

- 3. 设函数)(x f 的导函数为sin x , 则)(x f 有一个原函数为

【 A 】

A. 1sin x -

B. 1sin x +

C. 1cos x -

D. 1cos x + 4.

不

定

积

分

2(1)x

xe dx x =+⎰

【 A 】

A. 1x e C x ++

B. 1x e C x -++

C. 2(1)x e C x ++

D. 2

(1)x

e C x -++ 5. 无穷级数1

51

(1)n p n n +∞

=-∑ 【 B 】

A. 当15p >

时, 为条件收敛 B. 当1

5p >时, 为绝对收敛 C. 当105p <≤时, 为绝对收敛 D. 当1

05

p <≤时, 为发散的

解：13

2()(10)(5)3f x x x -'=+⋅-= (3分)

当1x <-时，()0f x '>; 当15x -<<时，()0f x '<;当5x >时, ()0f x '>. 所以

()f x 的单调增区间为(,1],[5,)-∞-+∞;单调减区间为[1,5]-; (6分)

()f x 在1x =-处取得极大值2

3

(1)96f -=⨯, 在5x =处取得极小值(5)0f = (8分)

14. 求不定积分2

3

2

(ln )1x x x dx x +

+⎰. 解：2

3

2

(ln )1x x x dx x

++⎰ 4

211ln (1)41xdx dx x =

+-+⎰⎰ (2分) 4311

ln arctan 44x x x dx x x =-+-⎰ (6分)

4411

ln arctan 416

x x x x x C =-+-+ (8分)

15. 设函数((),)z f xy xy ϕ=, 其中f 具有二阶连续偏导数, ϕ二阶可导, 求

z x ∂∂和2z

x y

∂∂∂. 解：

12()z

f xy y f y x

ϕ∂'=⋅⋅+⋅∂ (4分) 211121(())()(()()z

f xy x f x xy y f xy xy xy x y

ϕϕϕϕ∂'''''=⋅+⋅+⋅+∂∂

21222

(())f xy x f x y f ϕ'+⋅+⋅+

(8分)

16. 求空间曲线2

1

z x xyz ⎧=⎨=⎩在点(1,1,1)处的切线方程和法平面方程.

解：曲线方程x t =，3

1y t

=

，2

z t =，1t =对应点为(1,1,1) (2分) 因为 1dx dt =；43dy dt t -=；2dz t dt

= 所以 1|1t dx dt ==；1|3t dy dt ==-；1|2t dz

dt == (4分)

所求切线方程为

111

132

x y z ---==- (6分) 法平面方程为 (1)3(1)2(1)0x y z ---+-=

即 320x y z -+= (8分)

17.

计算二重积分D

I =, 其中积分区域22:9D x y +≤.

解：法一

223

3

D

I d r rdr πθ==⎰

⎰ (4分)

2

53

33

300322|8r dr r ππ==⋅=⎰ (8分)

法二：1

2

3

3

20

44D

D I d r rdr π

θ===⎰⎰

8330

3272|84

r π=⋅=18. 计算对坐标的曲线积分232()(2)L

x xy dx y xy dy -+-⎰, 其中L 是四个顶点分别为(0,0), (2,0), (2,2)和(0,2)的正方形区域的正向边界.

解：设23(,)P x y x xy =-，2(,)2Q x y y xy =-，L 所围区域为D ，且

D ：02x ≤≤，02y ≤≤

由格林公式，得

232()(2)(

)L

D

Q P

x xy dx y xy dy dxdy x y

∂∂-+-=-∂∂⎰

⎰⎰ (4分)

22

20

(23)dx y xy dy =-+⎰⎰ (6分)

2

2

232

00

()|(48)8y xy dx x dx =-+=-+=⎰⎰ (8分)

19. 将函数2()4x

f x x +=

+展开为麦克劳林级数. 解：22

()144x f x x x

+==-++ (2分)