7-2点的坐标及向量的坐标三版

第七章
向量代数与
空间解析几何
笛卡尔
出生：1596年3月31日（法国安 31日 法国安 出生：1596年 德尔-卢瓦尔）逝世：1650年 德尔-卢瓦尔）逝世：1650年2月 11日（瑞典斯德哥尔摩） 11日 瑞典斯德哥尔摩 斯德哥尔摩）
一个众“ 一个众“家”缠身的法国名人：著名哲学 缠身的法国名人： 物理学家、数学家、生理学家……在 家、物理学家、数学家、生理学家……在 西方的思想体系里， 西方的思想体系里，很少人能跟笛卡尔拥 有同样的影响力。他的《方法论》 有同样的影响力。他的《方法论》起着革 命性的作用， 命性的作用，时至今日仍作为现代哲学的 支柱之一。 支柱之一。
。
空间的点 ← → 有序数组 ( x , y , z )
特殊点的表示: 特殊点的表示 坐标轴上的点 P , Q , R, 坐标面上的点 A, B , C ,
1− −1
O ( 0, 0, 0 )
B ( 0, y , z )
•
z
R(0,0, z )
C ( x , o, z )
M ( x, y, z)
第二节 点的坐标与向量的坐标
一 二 三 四 五 六 空间直角坐标系 空间两点间的距离 利用坐标作向量的线性运算 向量的方向角与方向余弦的坐标表示式 向量在轴上的投影与投影定理 小结
一、空间直角坐标系
三个坐标轴的正方向 右手系. 符合右手系 符合右手系
即以右手握住 z 轴， 当右手的四个手指
z 竖轴
2 2
Q PP1 = 2 PP2 , ∴ x 2 + 11 = 2 x 2 + 2
⇒ x = ±1,
所求点为 (1,0,0), ( −1,0,0).
• 空间两点 与B的距离， 空间两点A与 的距离 的距离， 的模。 就是向量 AB 的模。
三 利用坐标作向量的线性运算
• 若 a = {a x , a y , a z }, b = {b x , b y , bz } ，则 a ± b = {a x ± b x , a y ± b y , a z ± bz } λa = λa x , λa y , λa z
2
M 2 M 3 = (5 − 7)2 + ( 2 − 1)2 + ( 3 − 2)2 = 6,
2
M 3 M1 =
2
(4 − 5)2 + ( 3 − 2)2 + (1 − 3)2 = 6,
原结论成立. 原结论成立
∴ M 2 M 3 = M 3 M1 ,
例2
轴上， 设 P 在 x 轴上，它到 P1 (0, 2 ,3) 的距离为
(A) (−1,3,2) (C) (1,−3,−2)
(B) (1,3,2) (D) (1,−3,2)
OM
• 向径： 向径： 空间直角坐标系中任一点 M与原点构成的向 与原点构成的向 . 量 OM • 一个点与该点的向径有相同的坐标。记号 ( x , y , z ) 一个点与该点的向径有相同的坐标。 既表示点M又表示向量 既表示点 又表示向量 OM 。
二、空间两点间的距离
设 M 1 ( x1 , y1 , z1 ) 、 M 2 ( x 2 , y 2 , z 2 ) 为空间两点
z
M1
P
R
•
N
d = M1 M 2 = ?
M2
Q
•
o
x
2
在直角 ∆M 1 NM 2 及 直 角 ∆M 1 PN 中，使用勾股定 y 理知
2 2
d = M 1 P + PN + NM 2 ,
z
R
H
K
M
O
P N
Q
y
x
有 r = OM = OP + PN + NM = OP + OQ + OR 设 OP = x i , OQ = y j , OR = z k , 则 r = OM = x i + y j + z k
这样，给定向量r，就确定了点 M 及 OP、 、 这样，给定向量 ， OQ OR 三个向量，进而确定了x、y、z三个有序数；反 三个有序数； 三个向量，进而确定了 、 、 三个有序数 之，给定三个有序数x、y、z，也就确定了向量r 给定三个有序数 、 、 ，也就确定了向量 和点M.于是点 于是点M、向量r与三个有序数 与三个有序数x、 、 之 和点 于是点 、向量 与三个有序数 、y、z之 间有一一对应关系
若 r = x i + y j + z k则可写为 r = ( x , y , z ) 即x i + y j + z k = ( x , y , z ) 的坐标分解式， 上式左边称为向量 r的坐标分解式， 右边称为向量的坐标式
坐标x , y , z称为向量在三个坐标轴 上的 分量， 分量， 向量x i , y j , z k称为向量在三个坐标轴 上的 分向量。 分向量。
思考题
在空间直角坐标系中， 在空间直角坐标系中，指出下列各 点在哪个卦限？ 点在哪个卦限？
A(1,−2,3) , C ( 2, − 3, − 4 ) ,
B ( 2, 3, − 4 ) , D( −2,−3,1) .
思考题解答 A:Ⅳ; B:Ⅴ; C:Ⅷ; D:Ⅲ; Ⅳ Ⅴ Ⅷ Ⅲ
练习题
• 在空间直角坐标系中点( −1,3,−2) 关于原点的对 称点是( 称点是 D ).
解 设 M ( x , y , z ) 为直线上的点， 为直线上的点，
z
AM = { x − x1 , y − y1 , z − z1 } MB = { x2 − x , y2 − y , z 2 − z }
B A M
o
y
x
由题意知： 由题意知： AM = λMB
{ x − x1 , y − y1 , z − z1 } = λ { x2 − x , y2 − y , z2 − z }, x1 + λ x2 x − x1= λ ( x2 − x ) ⇒ x = , 1+ λ y − y1 = λ ( y2 − y ) ⇒ y = y1 + λ y2 , 1+ λ z − z1 = λ ( z2 − z ) ⇒ z = z1 + λ z2 , 1+ λ 为中点时， M 为有向线段 AB 的定比分点 M 为中点时， 定比分点. x1 + x2 y1 + y2 z1 + z 2 x= , y= , z= . 2 2 2
的距离的两倍， 的坐标. 到点 P2 (0,1,−1) 的距离的两倍，求点 P 的坐标
解 因为 P 在 x 轴上， P点坐标为 ( x ,0,0), 轴上， 点坐标为 设
PP1 = x 2 + ( 2 )2 + 3 2 = x 2 + 11, PP2 = x + (− 1) + 12 = x 2 + 2 ,
π 从正向 x 轴以 角 2
定点 o 横轴 x
•
y 纵轴
度转向正向 y 轴 时，大拇指的指向 就是 z 轴的正向. 轴的正向
空间直角坐标系
Ⅲ
z
zox 面
Ⅱ
yoz 面
Ⅳ
xoy 面
Ⅶ Ⅷ
oyⅥ ⅤⅠ Nhomakorabeax
空间直角坐标系共有八个卦限 空间直角坐标系共有八个卦限
• 任给向量 ，对应有点M使OM = r，以OM为对角 任给向量r，对应有点 使 为对角 三条坐标轴为棱作出长方体RHMK-OPNQ , 线，三条坐标轴为棱作出长方体 如图
r r a = {a x , a y , a z }, b = {bx , b y , bz }, r r a + b = {a x + bx , a y + b y , a z + bz } r r r = ( a x + bx )i + (a y + b y ) j + ( a z + bz )k ; r r a − b = {a x − bx , a y − b y , a z − bz } r r r = ( a x − bx )i + (a y − b y ) j + (a z − bz )k ; r λa = {λa x , λa y , λa z } r r r = ( λ a x ) i + ( λ a y ) j + ( λ a z )k .
o
Q ( 0 , y ,0 )
y
x
P ( x , 0, 0 )
A( x , y ,0)
• 坐标面上和坐标轴上的点， 坐标面上和坐标轴上的点， 其坐标各有一定的特征。 其坐标各有一定的特征。
如果点M在 面上 面上， 例如 如果点 在yoz面上，则x=0; 同样， 面上的点， 同样，在zox面上的点，y=0; 面上的点 面上的点， 在xoy面上的点，z=0. 面上的点 如果点M在 轴上 轴上,则 如果点 在x轴上 则y=z=0, 同样， 轴上的点， 同样，在y轴上的点，有z=x=0, 轴上的点 轴上的点， 在z轴上的点，有x=y=0. 轴上的点 如点M为原点 为原点， 如点 为原点，则x=y=z=0.
d = OM = x 2 + y 2 + z 2 .
例 1 求证以 M 1 ( 4,3,1) 、 M 2 ( 7,1,2) 、 M 3 ( 5,2,3) 三点为顶点的三角形是一个等腰三角形. 三点为顶点的三角形是一个等腰三角形
解 M 1 M 2 = (7 − 4)2 + (1 − 3)2 + ( 2 − 1)2 = 14,
M ↔ r = OM = x i + y j + z k ↔ ( x , y , z ).
有序数 x 、 y、 z称为向量 r 在坐标系 Oxyz 中的坐标，记作 r = ( x , y , z ) 中的坐标，
有序数 x 、 y 、 z 称为点 M 在坐标系 Oxyz 中的坐标，记作 M ( x , y , z ) 中的坐标，
{
}
定理： 定理：设向量 a ≠ 0 ，则向量b 平行于a 的充要 条件是存在唯一的λ ，使 b = λ a 。 坐标表示为式
(bx , b y , bz ) = λ (a x , a y , a z ),
即相当于对应的坐标成比例。 即相当于对应的坐标成比例。
向量的加减法、 向量的加减法、向量与数的乘法运算的坐标表达式
笛卡儿对数学最重要的贡献是创立了解析 笛卡儿对数学最重要的贡献是创立了解析 几何。笛卡儿成功地将当时完全分开的代 几何。笛卡儿成功地将当时完全分开的代 几何学联系到了一起 联系到了一起。 数和几何学联系到了一起。在他的著作 几何》 笛卡儿向世人证明， 《几何》中，笛卡儿向世人证明，几何问 题可以归结成代数问题， 题可以归结成代数问题，也可以通过代数 转换来发现、证明几何性质。 转换来发现、证明几何性质。
2
Q M 1 P = x2 − x1 , PN = y2 − y1 ,
NM 2 = z2 − z1 ,
z
R
• M2
M1
•
P
o
Q N
y
x
2 2
∴d =
M 1 P + PN + NM 2
2
2
M1 M 2 =
( x2 − x1 ) + ( y2 − y1 ) + ( z2 − z1 ) .
2 2
空间两点间距离公式 特殊地： 特殊地：若两点分别为 M ( x , y , z ) , O ( 0,0,0)
例 3
设 A( x1 , y1 , z1 ) 和 B( x 2 , y2 , z 2 ) 为两已知
点，而在 AB 直线上的点 M 分有向线段 AB 为两 部 分 AM 、 MB ， 使 它 们 的 值 的 比 等 于 某 数
AM 求分点的坐标 = λ ，求分点的坐标. λ (λ ≠ −1) ，即 MB
笛卡儿近代科学的始祖。 笛卡儿近代科学的始祖。笛卡儿是欧洲 近代哲学的奠基人之一， 近代哲学的奠基人之一，黑格尔称他为 现代哲学之父” 他自成体系， “现代哲学之父”。他自成体系，熔唯物 主义与唯心主义于一炉， 主义与唯心主义于一炉，在哲学史上产生 了深远的影响。同时， 了深远的影响。同时，他又是一位勇于探 索的科学家， 索的科学家，他所建立的解析几何在数学 史上具有划时代的意义。笛卡儿堪称17世 史上具有划时代的意义。笛卡儿堪称17世 纪的欧洲哲学界和科学界最有影响的巨匠 之一，被誉为“近代科学的始祖” 之一，被誉为“近代科学的始祖”。
笛卡儿引入了坐标系以及线段的运算概念。 笛卡儿引入了坐标系以及线段的运算概念。 坐标系以及线段的运算概念 笛卡儿在数学上的成就为后人在微积分 微积分上 笛卡儿在数学上的成就为后人在微积分上 的工作提供了坚实的基础， 的工作提供了坚实的基础，而后者又是现 代数学的重要基石。 代数学的重要基石。
现在使用的许多数学符号都是笛卡儿最先 使用的，这包括了已知数a, c以及未知 使用的，这包括了已知数a, b, c以及未知 指数的表示方法 z等 还有指数的表示方法。 数x, y, z等，还有指数的表示方法。他还 发现了凸多面体 凸多面体边 顶点、面之间的关系， 发现了凸多面体边、顶点、面之间的关系， 后人称为欧拉 笛卡儿公式。 欧拉后人称为欧拉-笛卡儿公式。还有微积分中 常见的笛卡儿叶形线也是他发现的。 笛卡儿叶形线也是他发现的 常见的笛卡儿叶形线也是他发现的。