§ 15-3 阻尼与受迫振动1运动方程及其解

§15-4 电磁振荡
电路中电压和电流的周期性变化称为电磁振荡， 产生电磁振荡的的电路称为振荡电路，最简单的振 荡电路由一个电容和一个自感线圈组成，称为 LC 振 荡电路。 1. LC电路的振荡 使电源给电容器充电，然后 将开关接通电感器，在此瞬间电 容器上的电荷最多，两极板间的 场强最大阻尼=0 阻尼较小
当强迫力的角频率为某个特 定值时，位移振幅达到最大 O 值，把这种位移振幅达到最 大值的现象叫做位移共振。
0

当 与 0 相差较大时，B 较小； 当 与 0 接近时，B 较大；当 为某定值时，振幅 B 达到极大 值，即处于共振状态。 F0 由 A 2 2 2 m 0 4 2 2 O
2. 共振（resonance) 理论计算得到稳定时受迫振动的振幅和初相为
A
m
2 0

F0
2 2

4 2 2
2 gb tan 0 2 , 0为受迫振动与强迫力的相位差。 2 0 稳态时物体的速度 v dx v cos t dt 2
阻尼=0
这表明，当强迫力的频率等 于系统固有频率 ω0 时，速 度幅值达到最大值。在给定 幅值的周期性外力作用下， 振动时的阻尼愈小，速度幅 值的极大值也越大，共振曲 O 线越为尖锐。
阻尼较小 阻尼较大
0

共振的危害与利用
危害：军队过桥的情况、火车速度的限制，……
利用：超声清洗、音箱设计、振荡电路、核磁共 振……
如电路中无能量损耗，这种周期性变化将持续下去， 这种情况称为无阻尼的自由振荡。其变化规律可与 弹簧振子的自由振动相类比，电容器中的电荷与弹 簧振子的位移变化相对应，线圈中的电流与弹簧振 子的速度相对应，磁场的能量对应于机械振动的动 能，电场的能量对应于机械振动的势能。
t 0
Q
Q
C
A
T t 4
dx F f dt
称为阻力系数，由物体的形状、大小和介质的性
质决定。
质量为m的物体在回复力和阻力作用下的运动方程为 d2x dx m 2 kx dt dt 令
k 2 0 , 2 m m
称为阻尼因子或 0 是无阻尼时振子的固有角频率，
二. 受迫振动
为能获得稳定的振动，对振动系统作用一周期 性外力。物体在周期性外力作用下的振动称为受迫 振动。这种周期性外力称为强迫力。喇叭纸盆的振 动、机器运转时机座的振动等均为受迫振动。 1.运动方程及其解
设简谐强迫力为 F0 cos t ，弹簧振子的运动方程为
d2x dx m 2 kx F0 cos t dt dt k F0 2 F0 为强迫力的力幅。令 2 ， 0 ， f 0 ， m m m 运动方程变为
T t 2
3T t 4
C
I
Q
Q
A A
I
Q
Q
C
t T
2．电流随时间的变化规律 设 t 时刻电容器极板上的电量为 q ，电 路中的电流为 i，回路电流沿顺时针方向。 线圈两端的电势差等于电容器极板间的电 势差，有 di q U L UC 即 L dt C 由于电流的方向使电容器的电量减少，故有 d 2q 1 dq q i 2 LC dt dt 令
无阻尼自 由振荡电 路的电磁 能量是守 恒的。
2. 阻尼振荡
实际电路总有电阻存在，因此 是 RLC 电路，与机械振动类比，微 分方程为 2 d q dq q L 2 R 0 dt C dt 阻尼不大时方程的解为
L R
C
q Q0e

R t 2L
cos t 0

1 R LC 2 L
d 2q dq q L 2 R E 0 cos t dt C dt
其稳态解为
L
E t
R
C
q Q0 cos t 0
电路中的电流为 dq i Q0 cos t 0 I 0 cos t 0 dt 2
1 R L C 1 当电路条件满足L 时，电路中的电流振幅有最大 C E0 值。此时的电流振幅为 ，电流与电动势的相位差 R 0 。这种状态称为电共振。电共振的条件为 0
2
I0
E 0
2
1 C L tan 0 R

1 LC
m 0
速度振幅
F v m 4
0 m 2 2 2 2 0
2
受迫振动时，振动物体因强迫力作功获得能量，而 因阻尼作用而消耗能量。在稳态振动情况下，一周 期内外力所作功恰好补偿阻尼消耗的能量，因而系 统维持等幅振动。
位移共振 对一定的振动系统，如果 强迫力的幅值一定，稳态 时位移振幅随强迫力的频 率改变。
I
1 LC
2
得
d 2q 2 q 2 dt
上述微分方程的解为
q Q0 cos t 0
0 是 式中Q0 为极板上的电荷最大正值， 称为电荷振幅，
是振荡 电荷振荡的初相位，两者均由初始条件决定。
的角频率。
振荡的频率和周期分别为
1 2 2 LC
d2x dx 2 2 0 x f 0 cos t 2 dt dt 该微分方程的解为
x A0e
t
A cos t 0 cos t 0
2 0 2


该解的第一项随时间迅速衰减，称为暂态解，第二 项不随时间衰减，称为稳态解。
达到稳定状态时，受迫振动的角频率不是振子的固 有频率而是强迫力的角频率；受迫振动的振幅和初 相位不是决定于振子的初始状态，而是依赖于振子 的性质、阻尼的大小和强迫力的特征。
§ 15-3
阻尼与受迫振动
一. 阻尼振动
振动物体不受阻力作用，只在回复力作用下的 振动称为无阻尼自由振动。但振动时的阻尼是不可 避免的，例如空气的阻力、弹簧伸缩时的内摩擦、 能量的辐射等，均可将它们等效为摩擦阻尼。在回 复力和阻力作用下的振动称为阻尼振动。
1.运动方程及其解 物体在速度不太大时，其阻力与速度大小成正比而反向
称为欠阻尼。物体的运动接近简谐振动。
2 2 0 ，
2 2 阻尼较大时， 0 ，称为过阻尼，物体无法振动
回到平衡位置。
2 , 0 ， 2 0
2 2 0 的情况称为临界阻尼。它是振动系统刚刚不
能作准周期振动，而很快回到平衡位置的情况。
1、2为阻尼振动状态，3为临界阻尼状态，4、5为过阻 尼状态。用灵敏电流计测微电流时，往往将电流设计 在临界阻尼状态以减小表针达到平衡状态的时间。
A
阻尼=0 阻尼较小


0

令
dA 0 求得共振圆频率为 d
共振 2
2 0
2
共振时的位移振幅为
A共振
F0
2 2 m 0 2
不同的 值， A共振 不同，当 0, A共振 。
速度共振 受迫振动的速度在一定条件下也会发生共振，其共 振圆频率为 共振 0 m
衰减常数。方程变为
d2x dx 2 2 0x 0 2 dt dt
在阻尼较小的情况下， 0 ， 方程的解为
x A0e
2 其中 0 2
t
cos t 0
0 是积分常数，由初始条 A0、 件决定。
式中A0e
t
是谐振项。 是振幅项， cos t 0
严格说，阻尼振动不是周期性振动。称为准周期 性振动。 将振动物体两次通过极大（极小）位置经历的时 间叫做阻尼振动的周期。
2 2 T 2 2 0
显然，其周期比无阻尼时长。 2. 阻尼因数对振动的影响
2 2 0 ，
x(t )
t
欠阻尼
2 阻尼较小时， 2 0 ，
K
E
C
L
电容器放电时自感线圈（电路）中的电流逐渐增大 到最大值，电容器上的电荷逐渐减小为零。电流激 发的磁场随之增大到最大，此过程电容器中电场的 能量全部转化为线圈中磁场的能量。 电容器放电结束时电路中的电流最大，由于电磁惯 性，电流将对电容器作反向充电，当电流减小为零 时，电容器的电荷量达到反向的最大值。线圈内的 磁场能量重又转化为电场的能量。 随后电容器又进行反向放电，又将电场的能量转化 为磁场的能量；再后电容器又被充电，回复原状。 可见， LC 电路中电容器上的电荷及电路中的电流均 作周期性变化，电场与磁场的能量相应作周期性变 化。

Q0 I0
O
t
3．LC振荡电路的能量 任意时刻t电容器中的电场能量
2 q 2 Q0 We cos 2 t 0 2C 2C
任意时刻t线圈中的磁场能量
2 1 2 L 2Q0 Wm Li sin 2 t 0 2 2 1 2 两式相加并利用 ，得总能量为 LC 2 Q0 W We Wm 2C
设电源的电动势为t?cos0ee?受迫振荡的微分方程为tcqdtdqrdtq2dl?cos02e???lcr??te其稳态解为???t?00cos??qq???0?000cos2cos?????????????????titqdtdqi电路中的电流为22001c???????????lri?时电路中的电流振幅有最大ercl??????01tan1c当电路条件满足l??1值
受迫振动与无阻尼简谐振动的区别 尽管受迫振动与无阻尼简谐振动的表达式相似，受 迫振动的受力与无阻尼简谐振动的受力不同，运动 情况也不同。受迫振动以强迫力的频率振动，阻力 消耗的能量由强迫力作功补偿；无阻尼简谐振动以 系统固有频率振动，不消耗能量。 无阻尼简谐振动的振幅和初位相由初始条件决定； 稳定的受迫振动的振幅和初位相由系统性质及强迫 力性质共同决定，与初始条件无关。
T 2 LC
对电量的表达式求时间的导数，任意时刻的电流 dq i Q0 sin t 0 dt
令 I 0 Q0 为电流振幅，改写电流表达式为
i I 0 sin t 0 I 0 cos t 0 2
将上式与电量的表达式比较知， 电流的相位比电量的相 位超前 。 2
2
因电路有电阻存在，电容器上的电量及电路中的电流 均振幅渐次降低并趋近于零。
3. 受迫振荡
电共振
如在 RLC 电路中接入一电动势周期性变化的电源补偿 电路消耗的能量，则能使电路中的电流振幅维持不变。 这种在周期性外电动势持续作用下的振荡称为受迫振 荡。
设电源的电动势为E E0 cos t ， 受迫振荡的微分方程为