全国高三高中数学专题试卷带答案解析

全国高三高中数学专题试卷
班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________
一、解答题
1.如图,在侧棱垂直底面的四棱柱ABCD A 1B 1C 1D 1中,AD ∥BC,AD ⊥AB,AB=
,AD=2,BC=4,AA 1=2,E 是DD 1的中
点,F 是平面B 1C 1E 与直线AA 1的交点.
(1)证明:①EF ∥A 1D 1;②BA 1⊥平面B 1C 1EF.
(2)求BC 1与平面B 1C 1EF 所成的角的正弦值.
2.如图,ABEDFC 为多面体,平面ABED 与平面ACFD 垂直,点O 在线段AD
上,OA=1,OD=2,△OAB,△OAC,△ODE,△ODF 都是正三角形.
(1)证明直线BC ∥EF;
(2)求棱锥F OBED 的体积.
3.如图,在四棱锥P ABCD 中,PD ⊥平面ABCD,AB ∥DC,AB ⊥AD,BC=5,DC=3,AD=4,∠PAD=60°.
(1)当正视方向与向量的方向相同时,画出四棱锥P ABCD 的正视图(要求标出尺寸,并写出演算过程);
(2)若M 为PA 的中点,求证:DM ∥平面PBC;
(3)求三棱锥D PBC 的体积.
4.如图,四棱锥P ABCD 中,AB ⊥AC,AB ⊥PA,AB ∥CD,AB=2CD,E,F,G,M,N 分别为PB,AB,BC,PD,PC 的中点
(1)求证:CE ∥平面PAD;
(2)求证:平面EFG ⊥平面EMN.
5.如图,在三棱锥S ABC 中,平面SAB ⊥平面SBC,AB ⊥BC,AS=AB.过A 作AF ⊥SB,垂足为F,点E,G 分别是棱SA,SC 的中点.
求证:(1)平面EFG ∥平面ABC;
(2)BC ⊥SA.
6.如图,在四棱锥P ABCD 中,底面是边长为2的菱形,∠BAD=120°,且PA ⊥平面ABCD,PA=2,M 、N 分别为PB 、PD 的中点.
(1)证明:MN ∥平面ABCD;
(2)过点A 作AQ ⊥PC,垂足为点Q,求二面角A MN Q 的平面角的余弦值.
7.如图,直三棱柱ABC A′B′C′,∠BAC=90°,AB=AC=,AA′=1,点M,N分别为
A′B和B′C′的中点.
(1)证明:MN∥平面A′ACC′;
(2)求三棱锥A′MNC的体积.(锥体体积公式V=Sh,其中S为底面面积,h为高)
8.如图,几何体E ABCD是四棱锥,△ABD为正三角形,CB=CD,EC⊥BD.
(1)求证:BE=DE;
(2)若∠BCD=120°,M为线段AE的中点,求证:DM∥平面BEC.
9.如图,正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直,EF∥AC,AB=,CE=EF=1.
(1)求证:AF∥平面BDE;
(2)求证:CF⊥平面BDE.
10.如图,在平行四边形ABCD中,AB=2BC,∠ABC=120°,E为线段AB的中点,将△ADE沿直线DE翻折成△A′DE,使平面A′DE⊥平面BCD,F为线段A′C的中点.
(1)求证:BF∥平面A′DE;
(2)设M为线段DE的中点,求直线FM与平面A′DE所成角的余弦值.
11.如图,在四面体PABC中,PC⊥AB,PA⊥BC,点D,E,F,G分别是棱AP,AC,BC,PB的中点.
(1)求证:DE∥平面BCP.
(2)求证:四边形DEFG为矩形.
(3)是否存在点Q,到四面体PABC六条棱的中点的距离相等?说明理由.
12.如图,四棱锥S ABCD的底面是正方形,每条侧棱的长都是底面边长的倍,P为侧棱SD上的点.
(1)求证:AC⊥SD;
(2)若SD⊥平面PAC,求二面角P AC D的大小;
(3)在(2)的条件下,侧棱SC上是否存在一点E,使得BE∥平面PAC.若存在,求SE∶EC的值;若不存在,试说明理由. 13.如图五面体中,四边形ABCD是矩形,DA⊥平面ABEF,AB∥EF,AB=EF=2,AF=BE=2,P、Q、M分别为AE、
BD 、EF 的中点.
(1)求证:PQ ∥平面BCE;
(2)求证:AM ⊥平面ADF. 14.如图所示,四棱锥E ABCD 中,EA=EB,AB ∥CD,AB ⊥BC,AB=2CD.
(1)求证:AB ⊥ED;
(2)线段EA 上是否存在点F,使DF ∥平面BCE?若存在,求出;若不存在,说明理由.
15.一个多面体的直观图和三视图如图所示,其中M,N 分别是AB,AC 的中点,G 是DF 上的一动点.
(1)求该多面体的体积与表面积;
(2)求证:GN ⊥AC;
(3)当FG=GD 时,在棱AD 上确定一点P,使得GP ∥平面FMC,并给出证明.
16.如图所示,四边形ABCD 中,AB ⊥AD,AD ∥BC,AD=6,BC=4,AB=2,点E 、F 分别在BC 、AD 上,EF ∥AB.现将四边形ABEF 沿EF 折起,使平面ABEF ⊥平面EFDC,设AD 中点为P.
(1)当E 为BC 中点时,求证:CP ∥平面ABEF;
(2)设BE=x,问当x 为何值时,三棱锥A CDF 的体积有最大值?并求出这个最大值.
17.如图所示,已知三棱柱ABC A 1B 1C 1,
(1)若M 、N 分别是AB,A 1C 的中点,求证:MN ∥平面BCC 1B 1;
(2)若三棱柱ABC A 1B 1C 1的各棱长均为2,∠B 1BA=∠B 1BC=60°,P 为线段B 1B 上的动点,当PA+PC 最小时,求证:B 1B ⊥平面APC.
18.如图所示,四棱锥P ABCD 的底面为正方形,侧棱PA ⊥底面ABCD,且PA=AD=2,E,F,H 分别是线段PA,PD,AB
的中点.
(1)求证:PB ∥平面EFH;
(2)求证:PD ⊥平面AHF.
19.如图所示,在底面为直角梯形的四棱锥P ABCD 中,AD ∥BC,PD ⊥平面ABCD,AD=1,AB=
,BC=4.
(1)求证:BD ⊥PC;
(2)求直线AB 与平面PDC 所成的角;
(3)设点E 在棱PC 上,=λ,若DE ∥平面PAB,求λ的值.
全国高三高中数学专题试卷答案及解析
一、解答题
1.如图,在侧棱垂直底面的四棱柱ABCD A 1B 1C 1D 1中,AD ∥BC,AD ⊥AB,AB=
,AD=2,BC=4,AA 1=2,E 是DD 1的中
点,F 是平面B 1C 1E 与直线AA 1的交点.
(1)证明:①EF ∥A 1D 1;②BA 1⊥平面B 1C 1EF.
(2)求BC 1与平面B 1C 1EF 所成的角的正弦值.
【答案】（1）见解析 （2） 【解析】(1)证明:①因为C 1B 1∥A 1D 1,C 1B 1⊄平面ADD 1A 1,
所以C 1B 1∥平面A 1D 1DA.
又因为平面B 1C 1EF∩平面A 1D 1DA=EF,
所以C 1B 1∥EF,所以A 1D 1∥EF. ②因为BB 1⊥平面A 1B 1C 1D 1,所以BB 1⊥B 1C 1.
又因为B 1C 1⊥B 1A 1,所以B 1C 1⊥平面ABB 1A 1,
所以B 1C 1⊥BA 1.
在矩形ABB 1A 1中,F 是AA 1的中点,
tan ∠A 1B 1F=tan ∠AA 1B=,
即∠A 1B 1F=∠AA 1B,
故BA 1⊥B 1F.
所以BA 1⊥平面B 1C 1EF.
(2)解:设BA 1与B 1F 交点为H,连接C 1H.
由(1)知BA 1⊥平面B 1C 1EF,
所以∠BC 1H 是BC 1与平面B 1C 1EF 所成的角.
在矩形AA 1B 1B 中,AB=
,AA 1=2,得BH=.
在Rt △BHC 1中,BC 1=2,BH=,得
sin ∠BC 1H==.
所以BC 1与平面B 1C 1EF 所成角的正弦值是
.
2.如图,ABEDFC 为多面体,平面ABED 与平面ACFD 垂直,点O 在线段AD
上,OA=1,OD=2,△OAB,△OAC,△ODE,△ODF 都是正三角形.
(1)证明直线BC ∥EF;
(2)求棱锥F OBED 的体积.
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】(1)证明:如图所示,设G 是线段DA 延长线与线段EB 延长线的交点.由于△OAB 与△ODE 都是正三角形,且OD=2,
所以OB
DE,
OG=OD=2.
同理,设G′是线段DA 延长线与线段FC 延长线的交点,有OC
DF,OG′=OD=2. 又由于G 和G′都在线段DA 的延长线上,
所以G 与G′重合.
在△GED 和△GFD 中,
由OB DE 和OC DF, 可知B 、C 分别是GE 和GF 的中点,
所以BC 是△GEF 的中位线,故BC ∥EF.
(2)解:由OB=1,OE=2,∠EOB=60°,
知S △OBE =,
而△OED 是边长为2的正三角形,
故S △OED =.
所以S 四边形OBED =S △OBE +S △OED =.
过点F 作FQ ⊥AD,交AD 于点Q,
由平面ABED ⊥平面ACFD 知,FQ 就是四棱锥F OBED 的高,且FQ=
,
所以
=FQ·S 四边形OBED =. 3.如图,在四棱锥P ABCD 中,PD ⊥平面ABCD,AB ∥DC,AB ⊥AD,BC=5,DC=3,AD=4,∠PAD=60°.
(1)当正视方向与向量的方向相同时,画出四棱锥P ABCD 的正视图(要求标出尺寸,并写出演算过程);
(2)若M 为PA 的中点,求证:DM ∥平面PBC;
(3)求三棱锥D PBC 的体积.
【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）8
【解析】解:(1)在梯形ABCD中,过点C作CE⊥AB,垂足为E.
由已知得,四边形ADCE为矩形,
AE=CD=3,
在Rt△BEC中,
由BC=5,CE=4,
依勾股定理得
BE=3,
从而AB=6.
又由PD⊥平面ABCD,
得PD⊥AD,
从而在Rt△PDA中,
由AD=4,∠PAD=60°,
得PD=4.
正视图如图所示.
(2)取PB中点N,
连接MN,CN.
在△PAB中,
∵M是PA中点,
∴MN∥AB,MN=AB=3,
又CD∥AB,CD=3,
∴MN∥CD,MN=CD,
∴四边形MNCD为平行四边形,
∴DM∥CN.
又DM平面PBC,
CN⊂平面PBC,
∴DM∥平面PBC.
·PD,
(3)==S
△DBC
=6,PD=4,
又S
△DBC
所以=8.
4.如图,四棱锥P ABCD中,AB⊥AC,AB⊥PA,AB∥CD,AB=2CD,E,F,G,M,N分别为PB,AB,BC,PD,PC的中点
(1)求证:CE∥平面PAD;
(2)求证:平面EFG⊥平面EMN.
【答案】（1）见解析（2）见解析
【解析】证明:(1)取PA的中点H,连接EH,DH.
因为E为PB的中点,
所以EH∥AB,EH=AB.
又AB∥CD,CD=AB,
所以EH∥CD,EH=CD.
因此四边形DCEH是平行四边形.
所以CE∥DH.
又DH⊂平面PAD,CE⊄平面PAD,
因此CE∥平面PAD.
(2)因为E,F分别为PB,AB的中点,
所以EF∥PA.
又AB⊥PA,
所以AB⊥EF,
同理可证AB⊥FG.
又EF∩FG=F,EF⊂平面EFG,FG⊂平面EFG,
因此AB⊥平面EFG.
又M,N分别为PD,PC的中点,
所以MN∥CD,又AB∥CD,
所以MN∥AB,
因此MN⊥平面EFG,
又MN⊂平面EMN,
所以平面EFG⊥平面EMN.
5.如图,在三棱锥S ABC中,平面SAB⊥平面SBC,AB⊥BC,AS=AB.过A作AF⊥SB,垂足为F,点E,G分别是棱SA,SC的中点.
求证:(1)平面EFG∥平面ABC;
(2)BC⊥SA.
【答案】（1）见解析（2）见解析
【解析】证明:(1)因为AS=AB,AF⊥SB,垂足为F,
所以F是SB的中点.
又因为E是SA的中点,
所以EF∥AB.
因为EF⊄平面ABC,AB⊂平面ABC,
所以EF∥平面ABC.
同理EG∥平面ABC.
又EF∩EG=E,
所以平面EFG∥平面ABC.
(2)因为平面SAB⊥平面SBC,且交线为SB,
又AF⊂平面SAB,AF⊥SB,
所以AF⊥平面SBC.
因为BC⊂平面SBC,
所以AF⊥BC.
又因为AB⊥BC,AF∩AB=A,AF⊂平面SAB,
AB⊂平面SAB,
所以BC⊥平面SAB.
因为SA⊂平面SAB,
所以BC⊥SA.
6.如图,在四棱锥P ABCD中,底面是边长为2的菱形,∠BAD=120°,且PA⊥平面ABCD,PA=2,M、N分别为PB、PD的中点.
(1)证明:MN∥平面ABCD;
(2)过点A作AQ⊥PC,垂足为点Q,求二面角A MN Q的平面角的余弦值.
【答案】（1）见解析（2）
【解析】(1)证明:连接BD,因为M、N分别是PB、PD的中点,所以MN是△PBD的中位线,所以MN∥BD. 又因为MN⊄平面ABCD,BD⊂平面ABCD,
所以MN∥平面ABCD.
(2)解: 如图所示,在菱形ABCD中,∠BAD=120°,
得AC=AB=BC=CD=DA,
BD=AB.
又因为PA⊥平面ABCD,
所以PA⊥AB,PA⊥AC,
PA⊥AD.
所以PB=PC=PD.
所以△PBC≌△PDC.
而M、N分别是PB、PD的中点,
所以MQ=NQ,
且AM=PB=PD=AN.
取线段MN的中点E,连接AE,EQ,
则AE⊥MN,QE⊥MN,
所以∠AEQ为二面角A MN Q的平面角.
由AB=2,PA=2,故在△AMN中,AM=AN=3,MN=BD=3,得AE=.
在直角△PAC中,AQ⊥PC,得AQ=2,QC=2,PQ=4,
在△PBC中,cos∠BPC==,
得MQ==.
在等腰△MQN中,MQ=NQ=,MN=3,
得QE==.
在△AEQ中,AE=,QE=,AQ=2,
得cos∠AEQ==.
所以二面角A MN Q的平面角的余弦值为.
7.如图,直三棱柱ABC A′B′C′,∠BAC=90°,AB=AC=,AA′=1,点M,N分别为
A′B和B′C′的中点.
(1)证明:MN∥平面A′ACC′;
(2)求三棱锥A′MNC的体积.(锥体体积公式V=Sh,其中S为底面面积,h为高)
【答案】（1）见解析（2）
【解析】(1)证明:法一连接AB′,AC′,如图所示,由已知∠BAC=90°,AB=AC,三棱柱ABC A′B′C′为直三棱柱,
所以M为AB′的中点.
又因为N为B′C′的中点,
所以MN∥AC′.
又MN⊄平面A′ACC′,AC′⊂平面A′ACC′,
所以MN∥平面A′ACC′.
法二取A′B′的中点P,连接MP,NP,AB′,如图所示,
因为M,N分别为AB′与B′C′的中点,
所以MP∥AA′,PN∥A′C′.
所以MP∥平面A′ACC′,PN∥平面A′ACC′.
又MP∩NP=P,所以平面MPN∥平面A′ACC′.
而MN⊂平面MPN,所以MN∥平面A′ACC′.
(2)解:连接BN,如图所示,
由题意知A′N⊥B′C′,平面A′B′C′∩平面B′BCC′=B′C′,
所以A′N⊥平面NBC.
又A′N=B′C′=1,
故====.
8.如图,几何体E ABCD是四棱锥,△ABD为正三角形,CB=CD,EC⊥BD.
(1)求证:BE=DE;
(2)若∠BCD=120°,M为线段AE的中点,求证:DM∥平面BEC.
【答案】（1）见解析（2）见解析
【解析】证明:(1)如图所示,取BD的中点O,连接CO,EO.
由于CB=CD,
所以CO⊥BD.
又EC⊥BD,EC∩CO=C,
CO,EC⊂平面EOC,
所以BD⊥平面EOC,
因此BD⊥EO.
又O为BD的中点,
所以BE=DE.
(2)法一如图所示,取AB的中点N,连接DM,DN,MN.
因为M是AE的中点,
所以MN∥BE.
又MN平面BEC,
BE⊂平面BEC,
所以MN∥平面BEC.
又因为△ABD为正三角形,
所以∠BDN=30°.
又CB=CD,∠BCD=120°,
因此∠CBD=30°.
所以DN∥BC.
又DN平面BEC,BC⊂平面BEC,
所以DN∥平面BEC.
又MN∩DN=N,
所以平面DMN∥平面BEC.
又DM⊂平面DMN,
所以DM∥平面BEC.
法二如图所示,延长AD,BC交于点F,连接EF.
因为CB=CD,∠BCD=120°,
所以∠CBD=30°.
因为△ABD为正三角形,
所以∠BAD=60°,
∠ABC=90°,
因此∠AFB=30°,
所以AB=AF.
又AB=AD,
所以D为线段AF的中点,
连接DM,由点M是线段AE的中点,
得DM∥EF.
又DM平面BEC,EF⊂平面BEC,
所以DM∥平面BEC.
9.如图,正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直,EF∥AC,AB=,CE=EF=1.
(1)求证:AF∥平面BDE;
(2)求证:CF⊥平面BDE.
【答案】（1）见解析（2）见解析
【解析】证明:(1)设AC与BD交于点G.
因为EF∥AG,
且EF=1,AG=AC=1,
所以四边形AGEF为平行四边形.
所以AF∥EG.
因为EG⊂平面BDE,AF⊄平面BDE,
所以AF∥平面BDE.
(2)连接FG.
因为EF∥CG,EF=CG=1,且CE=1,
所以四边形CEFG为菱形.
所以CF⊥EG.
因为四边形ABCD为正方形,所以BD⊥AC.
又因为平面ACEF⊥平面ABCD,
且平面ACEF∩平面ABCD=AC,
所以BD⊥平面ACEF.所以CF⊥BD.
又BD∩EG=G,所以CF⊥平面BDE.
10.如图,在平行四边形ABCD中,AB=2BC,∠ABC=120°,E为线段AB的中点,将△ADE沿直线DE翻折成△A′DE,使
平面A′DE⊥平面BCD,F为线段A′C的中点.
(1)求证:BF∥平面A′DE;
(2)设M为线段DE的中点,求直线FM与平面A′DE所成角的余弦值.
【答案】（1）见解析（2）
【解析】(1)证明:如图所示,取A′D的中点G,连接GF,GE,
由条件易知FG∥CD,FG=CD,BE∥CD,BE=CD,
所以FG∥BE,FG=BE,
故四边形BEGF为平行四边形,所以BF∥EG.
因为EG⊂平面A′DE,BF⊄平面A′DE,
所以BF∥平面A′DE.
(2)解:在平行四边形ABCD中,设BC=a,
则AB=CD=2a,AD=AE=EB=a.
连接CE,因为∠ABC=120°,
在△BCE中,可得CE= a.
在△ADE中,可得DE=a.
在△CDE中,因为CD2=CE2+DE2,所以CE⊥DE.
在正三角形A′DE中,M为DE的中点,所以A′M⊥DE.
由平面A′DE⊥平面BCD,
可知A′M⊥平面BCD,
所以A′M⊥CE.
取A′E的中点N,连接NM,NF,
则NF∥CE.则NF⊥DE,NF⊥A′M.
因为DE交A′M于点M,所以NF⊥平面A′DE,
则∠FMN为直线FM与平面A′DE所成的角.
在Rt△FMN中,NF=a,MN=a,FM=a,
则cos∠FMN=,
所以直线FM与平面A′DE所成角的余弦值为.
11.如图,在四面体PABC中,PC⊥AB,PA⊥BC,点D,E,F,G分别是棱AP,AC,BC,PB的中点.
(1)求证:DE∥平面BCP.
(2)求证:四边形DEFG为矩形.
(3)是否存在点Q,到四面体PABC六条棱的中点的距离相等?说明理由.
【答案】（1）见解析（2）见解析（3）存在，理由见解析
【解析】证明:(1)因为D,E分别为AP,AC的中点,
所以DE∥PC.
又因为DE⊄平面BCP,所以DE∥平面BCP .
(2)因为D,E,F,G分别为AP,AC,BC,PB的中点,
所以DE∥PC∥FG,
DG∥AB∥EF,
所以四边形DEFG为平行四边形.
又因为PC⊥AB,所以DE⊥DG,
所以四边形DEFG为矩形.
(3)解:存在点Q满足条件,理由如下:
连接DF,EG,设Q为EG的中点.
由(2)知,DF∩EG=Q,且QD=QE=QF=QG=EG.
分别取PC,AB的中点M,N,连接ME,EN,NG,MG,MN.
与(2)同理,可证四边形MENG为矩形,其对角线交点为EG的中点Q,
且QM=QN=EG,
所以Q为满足条件的点.
12.如图,四棱锥S ABCD的底面是正方形,每条侧棱的长都是底面边长的倍,P为侧棱SD上的点.
(1)求证:AC⊥SD;
(2)若SD⊥平面PAC,求二面角P AC D的大小;
(3)在(2)的条件下,侧棱SC上是否存在一点E,使得BE∥平面PAC.若存在,求SE∶EC的值;若不存在,试说明理由.【答案】（1）见解析（2）30°（3）存在，2∶1
【解析】(1)证明:连接BD,设AC交BD于O,
由题意知SO⊥AC.
在正方形ABCD中,AC⊥BD,
所以AC⊥平面SBD,得AC⊥SD.
解:(2)设正方形边长为a,
则SD=a,
又OD=a,所以∠SDO=60°,
连接OP,由(1)知AC⊥平面SBD,
所以AC⊥OP,且AC⊥OD,
所以∠POD是二面角P AC D的平面角.
由SD⊥平面PAC,知SD⊥OP,所以∠POD=30°,
即二面角P AC D的大小为30°.
(3)在棱SC上存在一点E,使BE∥平面PAC.
由(2)可得PD=a,
故可在SP上取一点N,使PN=PD.
过N作PC的平行线与SC的交点即为E.
连接BN,在△BDN中,知BN∥PO.
又由于NE∥PC,故平面BEN∥平面PAC,
得BE∥平面PAC.
由于SN∶NP=2∶1,故SE∶EC=2∶1.
13.如图五面体中,四边形ABCD是矩形,DA⊥平面ABEF,AB∥EF,AB=EF=2,AF=BE=2,P、Q、M分别为AE、BD、EF的中点.
(1)求证:PQ∥平面BCE;
(2)求证:AM⊥平面ADF.
【答案】（1）见解析（2）见解析
【解析】证明:(1)法一连接AC,
∵四边形ABCD是矩形,
∴AC与BD交于点Q.
在△ACE中,Q为AC中点,
P为AE中点,
∴PQ∥CE.
又PQ⊄平面BCE,CE⊂平面BCE,
∴PQ∥平面BCE.
法二取AB的中点G,连接PG,QG,如图所示,
∵Q、G分别为BD、BA的中点,
∴QG∥AD.
又∵AD∥BC,
∴QG∥BC,
∵QG⊄平面BCE,BC⊂平面BCE,
∴QG∥平面BCE.
同理可证,PG∥平面BCE.
又PG∩QG=G,
∴平面PQG∥平面BCE,
∴PQ∥平面BCE.
(2)∵M为EF中点,
∴EM=MF=EF=AB=2,
又AB∥EF,
∴四边形ABEM是平行四边形,
∴AM=BE=2.
在△AFM中,AF=AM=2,MF=2,
∴AM⊥AF.
又DA⊥平面ABEF,AM⊂平面ABEF,
∴DA⊥AM.
∵DA∩AF=A,
∴AM⊥平面ADF.
14.如图所示,四棱锥E ABCD中,EA=EB,AB∥CD,AB⊥BC,AB=2CD.
(1)求证:AB⊥ED;
(2)线段EA上是否存在点F,使DF∥平面BCE?若存在,求出;若不存在,说明理由.
【答案】（1）见解析（2）存在，
【解析】(1)证明:取AB中点O,连接EO,DO,
∵EA=EB,∴EO⊥AB,
∵AB∥CD,AB=2CD,
∴BO CD.
又因为AB⊥BC,所以四边形OBCD为矩形,
所以AB⊥DO.
因为EO∩DO=O,
所以AB⊥平面EOD.
所以AB⊥ED.
(2)解:存在满足条件的点F,=,即F为EA中点时,有DF∥平面BCE.
证明如下:取EB中点G,连接CG,FG.
因为F为EA中点,所以FG AB,
因为AB∥CD,CD=AB,所以FG∥CD.
所以四边形CDFG是平行四边形,
所以DF∥CG.
因为DF⊄平面BCE,CG⊂平面BCE,
所以DF∥平面BCE.
15.一个多面体的直观图和三视图如图所示,其中M,N分别是AB,AC的中点,G是DF上的一动点.
(1)求该多面体的体积与表面积;
(2)求证:GN⊥AC;
(3)当FG=GD时,在棱AD上确定一点P,使得GP∥平面FMC,并给出证明.
【答案】（1）(3+)a2（2）见解析（3）见解析
【解析】解:(1)由题中图可知该多面体为直三棱柱,
在△ADF中,AD⊥DF,DF=AD=DC=a,
所以该多面体的体积为a3,
表面积为a2×2+a2+a2+a2=(3+)a2.
(2)连接DB,FN,
由四边形ABCD为正方形,
且N为AC的中点知B,N,D三点共线,且AC⊥DN.
又∵FD⊥AD,FD⊥CD,AD∩CD=D,∴FD⊥平面ABCD.
∵AC⊂平面ABCD,
∴FD⊥AC.
又DN∩FD=D,
∴AC ⊥平面FDN,
又GN ⊂平面FDN,
∴GN ⊥AC.
(3)点P 与点A 重合时,GP ∥平面FMC.
取FC 的中点H,连接GH,GA,MH.
∵G 是DF 的中点,∴GH
CD. 又M 是AB 的中点,∴AM CD.
∴GH ∥AM 且GH=AM, ∴四边形GHMA 是平行四边形. ∴GA ∥MH. ∵MH ⊂平面FMC,GA ⊄平面FMC, ∴GA ∥平面FMC,即当点P 与点A 重合时,GP ∥平面FMC.
16.如图所示,四边形ABCD 中,AB ⊥AD,AD ∥BC,AD=6,BC=4,AB=2,点E 、F 分别在BC 、AD 上,EF ∥AB.现将四边形ABEF 沿EF 折起,使平面ABEF ⊥平面EFDC,设AD 中点为P.
(1)当E 为BC 中点时,求证:CP ∥平面ABEF;
(2)设BE=x,问当x 为何值时,三棱锥A CDF 的体积有最大值?并求出这个最大值.
【答案】（1）见解析 （2）当x=3时,
有最大值,最大值为3 【解析】(1)证明:取AF 的中点Q,
连接QE 、QP,
则QP DF, 又DF=4,EC=2,且DF ∥EC,
所以QP EC,
即四边形PQEC 为平行四边形,
所以CP ∥EQ,
又EQ ⊂平面ABEF,CP ⊄平面ABEF,
故CP ∥平面ABEF.
(2)解:因为平面ABEF ⊥平面EFDC,
平面ABEF∩平面EFDC=EF,
又AF ⊥EF,所以AF ⊥平面EFDC.
由已知BE=x,所以AF=x(0<x≤4),FD=6-x.
故=··2·(6-x)·x
=(6x-x 2)
=[-(x-3)2+9]
=-(x-3)2+3,
∴当x=3时,
有最大值,最大值为3.
17.如图所示,已知三棱柱ABC A 1B 1C 1,
(1)若M 、N 分别是AB,A 1C 的中点,求证:MN ∥平面BCC 1B 1;
(2)若三棱柱ABC A 1B 1C 1的各棱长均为2,∠B 1BA=∠B 1BC=60°,P 为线段B 1B 上的动点,当PA+PC 最小时,求证:B 1B ⊥平面APC.
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】证明:(1)连接AC 1,BC 1,则AN=NC 1,
因为AM=MB,
所以MN ∥BC 1.
又BC 1⊂平面BCC 1B 1,
MN ⊄平面BCC 1B 1,
所以MN ∥平面BCC 1B 1.
(2)将平面A 1B 1BA 展开到与平面C 1B 1BC 共面,A 到A′的位置,此时A′BCB 1为菱形,
可知PA+PC=PA′+PC,A′C 即为PA+PC 的最小值,
此时BB 1⊥A′C, ∴BB 1⊥PA′,BB 1⊥PC,
即BB 1⊥PA,BB 1⊥PC, ∴BB 1⊥平面PAC.
18.如图所示,四棱锥P ABCD 的底面为正方形,侧棱PA ⊥底面ABCD,且PA=AD=2,E,F,H 分别是线段PA,PD,AB 的中点.
(1)求证:PB ∥平面EFH;
(2)求证:PD ⊥平面AHF.
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】证明:(1)∵E 、H 分别是PA 、AB 的中点,
∴EH ∥PB.
又EH ⊂平面EFH,PB ⊄平面EFH,
∴PB ∥平面EFH.
(2)∵PA ⊥平面ABCD, ∴PA ⊥AB.
又∵AB ⊥AD,PA∩AD=A,
∴AB ⊥底面PAD.
又∵PD ⊂平面PAD,
∴AB ⊥PD.
Rt △PAD 中,PA=AD=2,F 为PD 的中点, ∴AF ⊥PD.
又∵AF∩AB=A,AF ⊂平面AHF,AB ⊂平面AHF,
∴PD ⊥平面AHF.
19.如图所示,在底面为直角梯形的四棱锥P ABCD 中,AD ∥BC,PD ⊥平面ABCD,AD=1,AB=
,BC=4.
(1)求证:BD ⊥PC;
(2)求直线AB 与平面PDC 所成的角;
(3)设点E在棱PC上,=λ,若DE∥平面PAB,求λ的值.
【答案】（1）见解析（2）60°（3）
【解析】(1)证明:由题意知,AB⊥AD,AD=1,AB=,
∴BD=2,BC=4,
∴DC=2,
则BC2=DB2+DC2,
∴BD⊥DC,
∵PD⊥平面ABCD,
∴BD⊥PD,
而PD∩CD=D,
∴BD⊥平面PDC.
∵PC在平面PDC内,
∴BD⊥PC.
解:(2)如图所示,过D作DF∥AB交BC于F,过点F作FG⊥CD交CD于G.
∵PD⊥平面ABCD,
∴平面PDC⊥平面ABCD,
∴FG⊥平面PDC,
∴∠FDG为直线AB与平面PDC所成的角.
在Rt△DFC中,∠DFC=90°,DF=,CF=3,
∴tan∠FDG=,
∴∠FDG=60°.
∴直线AB与平面PDC所成角为60°.
(3)连接EF,
∵DF∥AB,
∴DF∥平面PAB.
∵DE∥平面PAB,
∴平面DEF∥平面PAB,
∴EF∥AB,如图所示,
∵AD=1,BC=4,BF=1,
∴==,
∴=,
即λ=.。