函数定义域的类型和求法ppt课件

例4 已知函数 f (x) kx 7 kx 2 4kx 3
的定义域是R，求实数k的取值范围。
解:要使函数有意义,则必须kx2+4kx+3≠0恒成立, 因为f(x)的定义域为R,即kx2+4kx+3=0无实数根 ①当k≠0时，△=16k2-4×3k<0恒成立，
解得 0 k 3 ②当k=0时，方程4左边=3≠0恒成立。
因此 0 | x | 3，从而 3 x 3
故函数的定义域是 {x | 3 x 3}
（2）已知f[g(x)]的定义域，求f(x)的定义域。 其解法是：已知f[g(x)]的定义域是［a，b］，求f(x)定 义域的方法是：由a≤x≤b，求g(x)的值域，即所求f(x)的 定义域。 例2 已知f(2x+1)的定义域为［1,2］,求f(x)的定义域。 解：因为1≤x≤2, 2≤2x≤4, 3≤2x+1≤5. 即函数f(x)的定义域是{x|3≤x≤5}。
例1求函数 y x 2 2x 15 的定义域。 | x 3 | 8
解:要使函数有意义,则必须满足
x 2 2x 15 0
①
| x 3 | 8 0
②
由①解得x≤-3或x≥5 ③
由②解得x≠5或x≠-11 ④
由③和④求交集得x≤-3且x≠-11或x>5
故所求函数的定义域为{x| x≤-3且x≠-11}∪{x|x>5}。
综上k的取值范围是 0 k 3 4
四.实际问题型:函数的定义域除满足解析式外, 要注意问
题的实际意义对自变量的限制,须要加倍注意,并形成意识。
例5 将长为a的铁丝折成矩形，求矩形面积y关于一边长x
的函数的解析式，并求函数的定义域。
解:设矩形一边为x,则另一边长为1 (a 2x)于是可得矩形面积
一、常规型
即给出函数的解析式的定义域求法,其解法是由解析 式有意义列出关于自变量的不等式或不等式组,解此 不等式(或组)即得原函数的定义域。
求函数定义域注意以下几点：
1.当函数是整式时例如 f (x) x2 x 1 那么函数的定
义域是实数集R。 2.如果函数中含有分式,那么函数的分母必须不为零。 3.如果函数中含有偶次根式,那么根号内的式子必须 不小于零。 4.零的零次幂没有意义,即f(x)=x0，x≠0。 5.对数的真数必须大于零。 6.对数的底数满足大于零且不等于1。
y
x 1 (a 2x)
1
ax
2
x
2
x2
1 ax
2
2
2
由问题的实际意义，知函数的定义域应满足
x 1 2
Hale Waihona Puke Baidu
0 (a
2x)
0
x a
0 2x
0
0
x
a 2
故所求函数的解析式为y x 2 1 ax ,定义域为(0, a )
2
2
(3)已知f(2x-1)的定义域是[0,1],求f(3x)的定义域。 解:因为0≤x≤1,0≤2x≤2,-1≤2x-1≤1. 所以函数f(3x)的定义域是-1≤3x≤1即 {x|-1/3≤x≤1/3}。
例3 已知函数 y mx 2 6mx m 8
的定义域为R求实数m的取值范围。
分析：函数的定义域为R，表明mx2-6mx+8+m≥0，使
一切x∈R都成立，由x2项的系数是m，所以应分m=0或
m≠0进行讨论。
解：当m=0时，函数的定义域为R；
当m≠0时，mx2-6mx+8+m≥0是二次不等式,其对一切实
数x都成立的充要条件是
m 0
(6m
)2
4m(m
8)
0
0
m
1
综上可知0≤m≤1。 注:不少同学容易忽略m=0的情况,希望通过此 例解决问题。
练习
求函数的定义域
（1）f (x) 1 x2 1 (x 4)o;
2 x
(-2,-1]∪[1,2)
x2
(2)f (x)
lg x3
4 x; (2≤x<4且x≠3
(3)f (x) lg 1 (2x 1); （1/2,1]
2
lg x 1
(4)g(x)
.
x1
X≥1/10,且x≠1）
二、抽象函数型 抽象函数是指没有给出解析式的函数，不能常规方 法求解，一般表示为已知一个抽象函数的定义域求另 一个抽象函数的解析式，一般有两种情况。 (1)已知f(x)的定义域,求f[g(x)]的定义域。 其解法是:已知f(x)的定义域是[a,b]求f[g(x)]的定义域 是解a≤g(x)≤b,即为所求的定义域。 例1 已知f(x)的定义域为[－2,2],求f(x2-1)的定义域。 解：令-2≤x2-1≤2，得-1≤x2≤3，即0≤x2≤3，