变分同化中的伴随方程

建立并求解伴随方程涉及一系列复杂的数学理论。浅 水波 方程是一个简单的、 非常有用的大气动力学方程 , 从某 种意 义上说 , 对浅水波方程 的研究 可以推 进气象 实际 预报模 式 方程有关关键问题的解决。 即:
* F∀* = L * 1 + L2 + (
由此可见 , 只要求 得 L1 , L 2 , (的 伴随 算子 , 就可 得到
由此我们得到非线性伴随方程 ( 8) 的解为 : ∀x ( t) =
∃ ∀x s∀( t, ) d 右边 = ∃ ∀x s∀( t, ) d + ∃S ( t,
= ∀x ( t) +
t1 t
3 2 2
建立伴随的分解技术
假设切线 性 算子 F∀ ( t) 在内 积 意义 下 的 伴 随算 子 为 ( 10) F∀* ( t) , 将切线性算子 F∀( t) 分解为一系列线性算子之和 : F∀( t) = L 1 + L 2 + ( 则有 : ( Y, F∀* ( t) ∀Y ) = ( F∀( Y ) Y, ∀Y ) = ( L 1 Y, ∀Y ) + ( L 2 Y, ∀Y ) + (= ( Y, L * 1 ∀Y ) + ( Y, L * 2 ∀Y ) + (
∃R
t 1 t0
*
( t, t 0 ) Ñ x H [ x ( t) , t] dt, u)
R * ( t, t 0 ) 为内积 ( , ) 意义下 R( t, t 0 ) 的伴 随算 子。由式 ( 2 ) 可知 , J 对 u 的梯度为 : Ñu J =
∃R
t0
1 t
*
( t, t 0 ) Ñ x H [ x ( t) , t] d t
∋
∃
t1 t0
其中 , P 0 为初始时刻 t = t 0 的重 力势。由 切线性 方程 的定 S( t0 , t) Ñ x H [ x ( t) , t] dt ( 9) 义式 ( 5 ) , 对于模式状态向量 Y , 式( 12) 的切线性 方程为 : u P u u + + (u u)+ v + v = 0 t x x y y v + t P + y y ( v v) + u v + x v v = 0 x ( 13 )
* = ( Y, ( L * 1 + L 2 + () ∀Y )
∃∀S ( t,
t1 t
) Ñ x H [ x( ) , ] d
结合式 ( 9) 和 式 ( 10) 可 知 , 非 线性伴 随方程 式 ( 8) 的 解 就是距离函数 J 对 u 的梯度。
3
建立伴随方程的数学方法
实际问题中模式方程 ( 3) 是一个复杂的偏微 分方程组 ,
*
1
引言
早在 1958 年 , Sasaki 就 提出 了 变 分 同化 方法
[ 1, 2]
( 1)
,
J ( v ) 是 E 上 的 复 合 函 数。由 于 v = ( G( u) = G∀( u) u , 设 G∀* 为内 积 ( , ) 意 义下 G∀的 伴随 算子 , 那 么 J 的变分为 : J = ( Ñ v J , v ) = ( Ñ v J , G∀ u ) = ( G∀* Ñ v J , u) 因此 , J 对的梯度为 : Ñ u J = G∀* Ñ v J 我们将气象预报模式方程写成微分形式 : dx = F( x ) dt ( 2)
2006 年第 28 卷第 9 期 Vo l 28, N o 9, 2006
文章编号 : 1007 130X ( 2006) 09 0103 03
变分同化中的伴随方程 T he Adjoint Equat ion in V ariational Assimilat ion
刘 琼 1 , 2 , 孙安香 1 LIU Qiong1, 2 , SUN An xiang1 ( 1 国防科技大学计算机学院 , 湖南 长沙 410073; 2 邵阳师范学院数学系 , 湖南 邵阳 422004) ( 1 School of Computer Science, National University of Defense Technology, Changsha 410073; 2 Department of Mathematics, Shaoyang Normal University, Shaoyang 422004, China) 摘 要 : 本文概述了变分同化伴随方程理 论研究的重要性 , 讨论 了变分同 化原理 、 证明了 预报模 式方程 的伴随方 程解 的特性 ; 提出了建立伴随方程的分解技术 , 通过二维浅水波方程的伴随方程的建立 , 研究了建立伴随方程的数学方法 。 Abstract: T his paper describes the im po rtance of per form ing theo retical studies o f the adjo int equation. W e discuss the var iatio nal assimilat ion principle, and prov e the char acter istics o f the adjoint equation. We put fo rw ard a decomposing tech nolog y of creating the adjo int equation. By cr eating the 2 D shallow water equation, w e study the mathematical method o f cr e ating the adjoint equatio n. 关键词 : 变分同化 ; 伴随方程 ; 分解技术 Key words: variational assimilat ion; adjo int equation; decomposing t echnolog y 中图分类号 : O 241 文献标识码 : A 对 v ! F, J 的微分用内积通过 v 的变分 v 可表示为 : J ( v) = J ( G( u) )
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( 3)
模式的状态矢量 x ( t) 由 初始条件 u = x ( t 0 ) 唯一确 定 , G: u # x ( t) = G( u) 为可微函数。 假设气象观察时间分布为 [ t0 , t 1 ] , H [ x ( t) , t] 为 t 时刻 模式状态矢量与有效 观察之间 的距离 标量 , 在 时间 [ t 0 , t1 ] 范围内 , 标量函数定义 为 :
下面证明非线性伴随方程 ( 8) 的解 就是距 离函数 J 对 u 的 梯度。 证明 积分 : 左边 = 在式 ( 8) 两端同乘以 S( t, ) , 并 在 [ t, t 1 ] 区间 内
∃
t t 1 t1 t
d ∀x s ( t, ) d
t1 t
P + (P u + u P ) + (P v + v P) = 0 t x y 令 Y= ( u, v , P) , 将方程 ( 13 ) 写成式 ( 5) 的形式 : d Y = F∀( t) Y dt ) Ñ xH [ x ( ) , ] d
( 6)
2. 2 非线性伴随方程的解 2 2 1 伴随方程
设 F∀* ( t) 为式 ( 5) 中 F∀( t) 的伴随算子 , 方程 : - d ∀x = F∀* ( t) ∀x dt 称为方程 ( 5) 的线性伴随方程。 在式 ( 7) 中加 入非 线性 项Ñ x H [ x ( t) , t] , 得到 方程 ( 5) 的非线性伴随方程 : - d ∀x = F∀* ( t) ∀x + Ñ x H [ x ( t) , t] dt ( 8) ( 7)
2
2 1
伴随方程一般原理
变分同化原理
[ 6]
J=
∃H [ x ( t) , t] dt
t1 t0 x
由 x ( t) 引起 J 的变分为 : J =
设 F 为 H ilbert 空间 , J 是定 义在 F 的可微标量函数 ,
∃( Ñ H [ x ( t) , t] ,
t1 t0
x ( t) ) d t
将预报模式的最优初值问题转化为模式控制方程条件 下观 察数据和模式方程解的 距离函 数的极 小值 问题。 变分 同 化方法 所涉及数学方法的复杂性、 数值计算的大量开 销和 海量存储限制了其应用推广。 随着数学理论和计算机 科学技 术的 发展 , 变 分同化 方 法取得了很 大 进展。 1986 年 , Dimet 和 T alag rand 基 于 一 维浅水波方程进行了变分同化的伴随方程理论和数值 计算 研究[ 3] ; 1993 年 , Co ur iter 等发表了伴随方程 应用和气 象数 据方面的 文献 ; 1997 年 , Ghil 等将伴 随方 程理论 应用 到 常规大气和海洋问题的研究中 [ 5] 。本文讨论了变分同 化的 伴随方程一般原理 , 研究了建立伴随方程的数 学方法。
为了进一步推进变分同化技术的发展和应用我们必须从预报模式方程出发深入细致地研究伴随方程理论分析伴随方程与预报模式方程的实质性关系然后设计非线性伴随方程的数值算法和数值计算程序保证变分同化系统设计的稳定性
CN 43 1258/ T P ISSN 1007 130X
计算机工程与科学
COM P U T ER EN GIN EERIN G & SCIEN CE
104
式 ( 13) 的伴 随方程 : d ∀Y = F∀* ( t) Y dt 我们将上述方法称之为建立伴随方程的分解技术。
u+ ( Pu) + ( Pv ) = 0 t x y 其中 , u 、 v 分别为 x 、 y 方向的风速 , P 为高 度 , !为涡度 , ! = v u x y H 与高度场有关为 H = p + ( u 2 + v 2 ) / 2。 式 ( 11) 可以化为 : u p 1 u + + ( u2 ) + v = 0 t x x 2 y v + t P + t p + y x y ( 1 2 v v )+ u = 0 2 x y ( Pv ) = 0 ( 12 )
( Pu) +
3. 2 伴随方程的建立 3 2 1 内积和切线性方程
为了建立浅水波方程 的伴随 方程 , 首 先定义 时刻 模式 状态向量 : u( x , y , t) Y ( t) = v ( x , y , t) P ( x , y , t) 两个不同向量的内积定义为以下积分 : %Y1 , Y 2& = (P u u ∃ ∋
( 4)
*
收稿日期 : 2005 12 28; 修订日期 : 2006 03 21 作者简介 : 刘琼 ( 1976 ) , 男 , 湖南邵阳人 , 硕士生 , 讲师, 研究方向为数值计算 ; 孙安 香 , 博士 , 副研究员 , 研究方向为数值 计算和计 算机应用技术。 通讯地址 : 422004 湖南省邵阳市邵阳师范学院数学系 ; Tel: 13908465228; E m ail: sax 876@ s ina. com Address: D epart ment of M at hematics, Shaoyang N orm al U ni versit y, Sh aoyang, Hu nan 422004, P. R. Ch ina
0 1 2
2 2 2 非线性伴随方程的解
用 S( t∀, t) 表 示时间 [ t0 , t 1 ] 之间 式 ( 7) 的 预解式 , 可 以 证明线性算子 S( t∀, t) 为 R( t∀, t) 的伴随 算子 , 所以由 式 ( 6) 可得到 Ñ uJ =
+ P0 v1 v 2 + P1 P2 ) d
103
由 ( 3) 可得到 x ( t) 的切线性方程 , 即变分方程。 d x = F∀( t) x dt ( 5)
3. 1
二维浅水波方程
我们考虑以下无 Cor io lis 项的二 维浅水波方程 [ 2] : u H - ! v+ = 0 t x u- ! u+ t H = 0 y ( 11 )
状态矢量 x( t) 由初始条件 u = x ( t0 ) 唯一 确定 , u 的扰 动 u ( 也即变分 ) 唯一 确定 x 。式 ( 5 ) 为线 性方 程 , 它的 解线 性 依赖于 u, 写为 : x = R( t, t 0 ) u 为讨论方便起见 , 我 们称 R ( t, t 0 ) 为时间 [ t 0 , t 1 ] 之间式 ( 5 ) 的预解式 , 由式 ( 4) 可得 J 对 u 的变分为 : J = (