数学上学期期中试题-嘉兴市第一中学2015-2016学年高二上学期期中考试数学试题及答案

嘉兴市第一中学2015学年第一学期期中考试
高二数学 试题卷
一．选择题（每小题3分）
1. 若直线a 和b 没有公共点，则a 与b 的位置关系是( )
A ．相交
B ．平行
C ．异面
D ．平行或异面 2. 已知平面α和直线l ，则α内至少有一条直线与l ( )
A ．平行
B ．相交
C ．垂直
D ．异面 3. 正三棱锥ABC S -的侧棱长和底面边长相等， 如果
E 、
F 分别为SC ，AB 的中点，那么异面直线EF 与SA 所成角为 （ ）
A ．900
B ．600
C ．450
D ．300
4. 一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为450，腰和上底边均为1的等腰梯形，则这个平面图形的面积是 （ ） A.
2221+ B. 22+ C. 21+ D. 2
2
1+ 5. 一个四面体的顶点在空间直角坐标系O -xyz 中的坐标分别是(1,0,1)，(1,1,0)，(0,1,1)，(0,0,0)，画该四面体三视图中的正视图时，以zOx 平面为投影面，则得到的正视图可以为( )
6. 已知棱长为1的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，P ，Q 是面对角线A 1C 1上的两个不同的动点．给出以下四个结论：
①存在P ，Q 两点，使BP ⊥DQ ；
②存在P ，Q 两点，使BP ，DQ 与直线B 1C 都成45°的角； ③若PQ ＝1，则四面体BDPQ 的体积一定是定值；
④若PQ ＝1，则四面体BDPQ 在该正方体六个面上的正投影的面积的和为定值． 以上各结论中，正确结论的个数是( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
7. 设P 为正四面体A BCD -表面（含棱）上与顶点不重合的一点，由点P 到四个顶点的距离组成的集合记为M ，如果集合M 中有且只有2个元素，那么符合条件的点P 有（ ） A ．4个 B.6个
C. 10个
D.14个
8. 将3个半径为1的球和一个半径为2－1的球叠为两层放在桌面上，上层只放一个较小的球，四个球两两相切，那么上层小球的最高点到桌面的距离是（ ） A ．32＋63
B ．
3＋26
3
C ．
2＋26
3
D ．22＋63
二．填空题（前三题每空2分，后四题每空3分）
9. 已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1，若一球内切于该正方体，则正方体的边长与球的半径之比为 ；若一球与该正方体的所有棱相切，则正方体的边长与球的半径之比为 10.在空间中，若两个正四面体的棱长的比为1：2，则它们的表面积之比为 ，它们的体积之比为 .
11.四面体A BCD -各面都是边长为
的全等三角形，则该四面体的体积
为 ，顶点A 到底面BCD 的距离为 ．
12. 点P 在正方形ABCD 所在平面外，PA ⊥平面ABCD ，PA ＝AB ，则PB 与AC 所成的角的大小是
13.对于四面体ABCD ，给出下列四个命题： ①若AB ＝AC ，BD ＝CD ，则BC ⊥AD ； ②若AB ＝CD ，AC ＝BD ，则BC ⊥AD ； ③若AB ⊥AC ，BD ⊥CD ，则BC ⊥AD ；
④若AB ⊥CD ，BD ⊥AC ，则BC ⊥AD ．
其中真命题的序号是__________（写出所有真命题的序号）
14．如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，E ，F 分别是棱BC ，DD 1上的点，如果B 1E ⊥平面ABF ，则CE 与DF 的和的值为________．
15. 球O 为边长为2的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的内切球，P 为球O 的球面上动点，M 为B 1C 1中点，DP BM ⊥，则点P 的轨迹周长为 三．解答题（第16-19题每题10分，第20题12分）
16. 在边长为5＋2的正方形ABCD 内以A 为圆心画一个扇形，再画一个⊙O ，它与BC ，CD 相切，切点为M ，N ．又与扇形的弧EF ⌒
切于K 点（如图），把扇形围成圆锥的侧面， ⊙O 为圆锥的底面，
17．如图，S是正方形ABCD所在平面外一点，且SD⊥面ABCD，AB=1，SB=．（1）设M为棱SA中点，求异面直线DM与SB所成角的大小
（2）求面ASD与面BSC所成二面角的大小．
18. 如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，CA＝CB，AB＝AA1，∠BAA1＝60°.
(1)证明：AB⊥A1C；
(2)若平面ABC⊥平面AA1B1B，AB＝CB，求直线A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值．
19. 如图，四棱锥P －ABCD 中，P A ⊥底面ABCD .四边形ABCD 中，AB ⊥AD ，AB ＋AD ＝4，CD ＝2，∠CDA ＝45°. (1)求证：平面P AB ⊥平面P AD ； (2)设AB ＝AP .
①若直线PB 与平面PCD 所成的角为30°，求线段AB 的长；
②在线段AD 上是否存在一个点G ，使得点G 到P 、B 、C 、D 的距离都相等？说明理由．
20. 如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，122AA AB AD ==，且11(01)PC CC λλ=<<．
（1）求证：对任意01λ<<，总有AP BD ⊥； （2）若1
3
λ=
，求二面角1P AB B --的余弦值； （3）是否存在λ，使得AP 在平面1B AC 上的射影平分1B AC ∠？若存在, 求出λ的值,
若不存在，说明理由．
嘉兴市第一中学2015学年第一学期期中考试
高二数学 参考答案及评分标准
一．选择题 DCCB ACCA 二．填空题
9.2:1 10.1:4,1:9 11. 2，127 12. 60° 13.①④ 14. 1 15. 三．解答题
16.（1） （2）
3
（1）设扇形半径为l ，即AE ＝AF ＝AK ＝l ，圆O 的半径为R ，即OM ＝ON ＝OK ＝R ，则OC ＝2R ，由题知A ，K ，O ，C 共线，于是AK ＋KO ＋OC ＝2（5＋2）＝52＋2．即l ＋（2＋1）R ＝52＋2．为使扇形和⊙O 能围成一个圆锥，则圆周长等于扇形弧长，即2πR ＝π
2l ，
即l ＝4R ．故R ＝2．l =（6分）
（2）圆锥的高h ＝l 2－R 2＝30，∴圆锥体积V ＝13πR 2h ＝230
3π．（10分）
17. （1）解：取AB 中点P ，连接MP ，DP ． 在△ABS 中，由中位线定理得MP ∥SB ， ∴∠DMP 或其补角为所求． ∵
，又
，
∴在△DMP 中，有DP 2=MP 2+DM 2，∴∠DMP=90°， 即异面直线DM 与SB 所成的角为90°．（5分） （2）解：∵SD ⊥底面ABCD ，且ABCD 为正方形， ∴可把四棱锥S ﹣ABCD 补形为长方体A 1B 1C 1S ﹣ABCD ，
如图2，面ASD 与面BSC 所成的二面角就是面ADSA 1与面BCSA 1所成的二面角，
∵SC ⊥BC ，BC ∥A 1S ，∴SC ⊥A 1S ，
又SD ⊥A 1S ，∴∠CSD 为所求二面角的平面角． 在R t △SCB 中，由勾股定理得SC=
，
在R t △SDC 中，由勾股定理得SD=1．
∴∠CSD=45°．即面ASD 与面BSC 所成的二面角为45°． （10分） 18. (1)证明：取AB 的中点O ，连接OC ，OA 1，A 1B . 因为CA ＝CB ，所以OC ⊥AB .
由于AB ＝AA 1，∠BAA 1＝60°，故△AA 1B 为等边三角形，所以OA 1⊥AB . 因为OC ∩OA 1＝O ，所以AB ⊥平面OA 1C . 又A 1C ⊂平面OA 1C ，故AB ⊥A 1C .（4分）
(2)由(1)知OC ⊥AB ，OA 1⊥AB .又平面ABC ⊥平面AA 1B 1B ，交线为AB ，所以OC ⊥平面AA 1B 1B ，故OA ，OA 1，OC 两两相互垂直．
以O 为坐标原点，OA 的方向为x 轴的正方向，|OA |为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz .
由题设知A (1,0,0)，A 1(0，3，0)，C (0,0，3)，B (－1,0,0)．
则BC ＝(1,0，3)，1BB ＝1AA ＝(－1，3，0)，1A C ＝(0，－3，3)． 设n ＝(x ，y ，z )是平面BB 1C 1C 的法向量，
则⎩⎪⎨⎪⎧
n ·BC ＝0，n ·
1BB ＝0.即⎩⎨⎧
x ＋3z ＝0，－x ＋3y ＝0.可取n ＝(3，1，－1)．
故
n ，1A C
＝n ·1A C
|n ||1A C |＝－105.
所以A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值为10
5.（10分）
19．（I）因为平面ABCD，平面ABCD，所以，
又所以平面PAD。

又平面PAB，所以平面平面PAD。

（3分）
（II）以A为坐标原点，建立空间直角坐标系A—xyz（如图）
在平面ABCD内，作CE//AB交AD于点E，则
在中，DE=，
设AB=AP=t，则B（t，0，0），P（0，0，t）由AB+AD=4，得AD=4-t，
所以，
（i）设平面PCD的法向量为，由，，得
取，得平面PCD的一个法向量，
又，故由直线PB与平面PCD所成的角为，得
解得（舍去，因为AD），所以（7分）
（ii）假设在线段AD上存在一个点G，使得点G到点P，B，C，D的距离都相等，设G（0，m，0）（其中）
则，
由得
()()
22
1+34
t m t m
--=--
(1)
由GD GP
=
得，（2）
由（1）、（2）消去t，化简得（3）
由于方程（3）没有实数根，所以在线段AD上不存在一个点G，
使得点G到点P，C，D的距离都相等。

从而，在线段AD上不存在一个点G，
使得点G到点P，B，C，D的距离都相等。

（10分）
20. 解：（I）以D为原点，分别以DA、DC、DD1所在直线为x、y、z轴，建立空间直角坐标系，如图所示
设AB=1，则可得D（0，0，0），A（1，0，0），C（0，1，0），B1（1，1，2），C1（0，1，2），P（0，1，2-2λ）
∴，可得=0 ∴，即对任意0＜λ＜1，总有AP⊥BD；…（4分）
（II）由（I）及，得，
设平面AB1P的一个法向量为
可得，解之得
∴平面AB1P的一个法向量为，
又∵平面ABB1的一个法向量为，
∴设二面角P-AB1-B的大小为θ，可得
因此可得二面角P-AB1-B的余弦值为…（8分）
（III）假设存在实数λ（0＜λ＜1）满足条件，
由题结合图形，只需满足分别与所成的角相等，即，约去有，解得．
所以存在满足题意的实数λ=，
使得AP在平面B1AC上的射影平分∠B1AC．…（12分）。