海南省三亚市第一中学2013-2014学年高二数学上学期期末考试试题A 理 新人教A版

三亚市第一中学2013-2014学年度第一学期高二年级期末考试数学〔理科A 卷〕试题
须知事项：
1．本试卷分第I 卷〔选择题〕和第2卷〔非选择题〕两局部。

2．回答第I 卷时，每一小题选出答案后写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3．回答第2卷时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

4．本试卷总分为150分，考试时间120分钟。

第1卷 选择题
一、选择题〔本大题共12小题，每一小题5分，共60分。

在每一小题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的；每一小题选出答案后写在答题卡上，在本卷上作答无效。

〕
1.命题“假设a b <，如此a c b c +<+〞的逆否命题是
A. 假设a c b c +<+，如此a b >
B. 假设a c b c +>+，如此a b >
C. 假设a c b c +≥+，如此a b ≥
D. 假设a c b c +<+，如此a b ≥ 2. △ABC 的三个顶点为A 〔3，3，2〕，B 〔4，－3，7〕，C 〔0，5，1〕，如此BC 边上的 中线长为 A.2B.3C.4D.5
3.命题tan 1p x R x ∃∈=：
，使，其中正确的答案是 A.tan 1p x R x ⌝∃∈≠：
，使
B.tan 1p x R x ⌝∃∉≠：
，使 C.tan 1p x R x ⌝∀∈≠：
，使 D.tan 1p x R x ⌝∀∉≠：
，使 4. 椭圆
22
1102
x y m m +=--，假设其长轴在y 轴上.焦距为4，如此m 等于 A.4. B.5. C. 7. D.8.
5．以坐标轴为对称轴，以原点为顶点且过圆09622
2
=++-+y x y x 的圆心的抛物线的方程是
A ．23x y =或23x y -=
B ．2
3x y =
C ．x y 92-=或23x y =
D ．23x y -=或x y 92
=
6．在同一坐标系中，方程2
2
2
2
1a x b y +=与2
0(0)ax by a b +=>>的曲线大致是
7．双曲线)0(12
2>=-mn n
y m x 的离心率为2,有一个焦点恰好是抛物线x y 42=的焦点,如此此双曲线的渐近线方程是 A ．03=±y x B ．03=±
y x C ．03=±y x D ．03=±y x
8.与圆2
2
1x y +=以与2
2
8120x y x +-+=都外切的圆的圆心在
A.一个椭圆
B.双曲线的一支上
C.一条抛物线上
D.一个圆上 9.在正方体1111ABCD A B C D -中，E 是棱11A B 的中点，如此1A B 与1D E 所成角的余弦值为
A ．
510 B ．1010 C ．55 D ．105
10．如图，空间四边形ABCD 中，M 、G 分别是BC 、CD 的中点，
如此BD BC AB 2
1
21++等于
A ．AD
B ．GA
C ．AG
D ．MG
11.试在抛物线x y 42
-=上求一点P ，使其到焦点F 的距离与到()1,2-A 的距离之和最小，如此该点坐标
为 A.⎪⎭⎫ ⎝⎛-
1,41 B.⎪⎭
⎫
⎝⎛1,41 C.()22,2-- D.()
22,2- 12．以下有四种说法，其中正确说法的个数为：
〔1〕“m 是实数〞是“m 是有理数〞的充分不必要条件； (2) “a b >〞是“2
2
a b >〞的充要条件；
(3) “3x =〞是“2
230x x --=〞的必要不充分条件； 〔4〕“B B A =⋂〞是“A φ=〞的必要不充分条件.
A. 0个
B. 1个
C. 2个
D. 3个
第2卷
二、填空题〔本大题共4小题，每一小题5分，共20分，把答案填在答题卡中的指定位置。

〕 13.向量),2,0,1(),0,1,1(-==b a 且b a k +与b a -2互相垂直，如此k 的值是________.
14.椭圆
22189x y k +=+的离心率为1
2
，如此k 的值为______________. 15.当抛物线型拱桥的顶点距水面2米时，量得水面宽8米。

当水面升高1米后，水面宽度是________米。

16.①一个命题的逆命题为真，它的否命题也一定为真；
②在ABC ∆中，“︒=∠60B 〞是“C B A ∠∠∠,,三个角成等差数列〞的充要条件.
③12x y >⎧⎨
>⎩是3
2
x y xy +>⎧⎨>⎩的充要条件；
④“am 2
<bm 2
〞是“a <b 〞的充分必要条件. 以上说法中，判断错误的有___________.
N
M
A B
D
C
O
三、解答题〔本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，请将答案的过程写在答题卷中指定的位置。

〕
17.〔本小题总分为10分〕设p ：方程2
10x mx ++=有两个不等的负根，
q ：方程244(2)10x m x +-+=无实根，假设p 或q 为真，p 且q 为假，求m 的取值范围．
18.〔本小题总分为10分〕一个圆的圆心为坐标原点，半径为2．从这个圆上任意一点P 向x 轴作垂线段PP'，求线段PP ’中点M 的轨迹．
19.〔本小题总分为12分〕在四棱锥O ABCD -中，底面ABCD 是边长为1的菱形，4
ABC π
∠=
,
OA ABCD ⊥底面, 2OA =,M 为OA 的中点，N 为BC 的中点，
〔Ⅰ〕证明：直线MN OCD
平面‖；
〔Ⅱ〕求异面直线AB 与MD 所成角的大小；
20．〔本小题总分为12分〕如下列图，F 1、F 2分别为椭圆C ：
)0(1222
2>>=+b a b y a x 的左、右两个焦点，A 、B 为两个顶点，椭圆C 上的点)2
3
,1(到F 1、F 2两点的距离之和为4.
〔1〕求椭圆C 的方程和焦点坐标；
〔2〕过椭圆C 的焦点F 2作AB 的平行线交椭圆于P 、Q 两点，求△F 1PQ 的面积.
第22题图
21．〔本小题总分为14分〕四棱锥P ABCD -的底面为直角梯形，//AB DC ， ⊥=∠PA DAB ,90
底面ABCD ，且1
2
PA AD DC ===
， 1AB =，M 是PB 的中点。

〔Ⅰ〕证明：面PAD ⊥面PCD ； 〔Ⅱ〕求AC 与PB 所成角的余弦值；
〔Ⅲ〕求面AMC 与面BMC 所成二面角的大小余弦值。

22.〔本小题总分为12分〕如图，1F ，2F 分别是椭圆C ：22
221x y a b
+=〔0a b >>〕的左、右焦点，且椭
圆C 的离心率1
2
e =，1F 也是抛物线1C ：24y x =-的焦点．
〔Ⅰ〕求椭圆C 的方程；
〔Ⅱ〕过点2F 的直线l 交椭圆C 于D ，E 两点，且222DF F E =，点E 关于x 轴的对称点为G ，求直
线GD 的方程．
三亚市第一中学2013-2014学年度第二学期 高二年级期末考试数学〔理科A 卷〕答案
一、选择题〔本大题共12小题，每一小题5分，共60分。

在每一小题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的；每一小题选出答案后写在答题卡上，在本卷上作答无效。

〕
C B C
D D DA B BC AA
二、填空题〔本大题共4小题，每一小题5分，共20分，把答案填在答题卡中的指定位置。

〕
13. 57 14.5
4,4
-或 15.24 16．③④
三、解答题〔本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，请将答案的过程写在答题卷中指定的位置。

〕
17. 解：假设方程2
10x mx ++=有两个不等的负根，如此21240
m x x m ⎧∆=->⎨+=-<⎩，
所以2m >，即:2p m >．
假设方程2
44(2)10x m x +-+=无实根，如此2
16(2)160m ∆=--<，
即13m <<，所以:13p m <<．
因为p q ∨为真，如此,p q 至少一个为真，又p q ∧为假，如此,p q 至少一个为假． 所以,p q 一真一假，即“p 真q 假〞或“p 假q 真〞． 所以213m m m >⎧⎨
≤≥⎩或或2
13
m m ≤⎧⎨<<⎩
所以3m ≥或12m <≤．
故实数m 的取值范围为(1,2][3,)+∞． 18. 解：设点M 的坐标为)y ,x (，点
的坐标为
，如此0x x =，
．
因为)y ,x (P 00在圆4y x 22=+上，所以4y x 2
02
0=+① 将
，y 2y 0=代入方程①得
4y 4x 22=+即=+22y 4
x
1 所以点M 的轨迹是一个椭圆
19. 解：作AP CD ⊥于点P,如图,分别以AB,AP,AO 所在直线为,,x y z 轴建立坐标系
(0,0,0),(1,0,0),(0,
((0,0,2),(0,0,1),(1
22244A B P D O M N -- (Ⅰ)2222(1,,1),(0,,2),(,2)44222
MN OP OD =-
-=-=--
设平面OCD 的法向量为(,,
)n x y z =,如此0,n OP n OD =即2022022
y z x y z -=⎪⎨⎪-+-=⎪⎩ 取z =,
解得(0,4,
2)n =
22(1,,1)(0,4,2)044
MN n =-
-=∵ MN OCD ∴平面‖
(Ⅱ)设AB 与MD 所成的角为θ,(1,0,0),(1)22
AB MD ==-
-∵ 1cos ,2
3AB MD
AB MD π
θθ=
==⋅∴∴ ,AB 与MD 所成角的大小为3π
20. 解：〔1〕由题设知：2a = 4，即a = 2， 将点)2
3,1(代入椭圆方程得 1)(2122
2
32=+b ，
解得b 2
= 3
∴c 2
= a 2
－b 2
= 4－3 = 1 ，故椭圆方程为13
42
2=+y x ， 焦点F 1、F 2的坐标分别为〔-1，0〕和〔1，0〕 〔2〕由〔Ⅰ〕知)3,0(),0,2(B A -，2
3
==∴AB PQ k k ， ∴PQ 所在直线方程为)1(23-=x y ，
由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=134
)1(232
2
y x x y 得 093482
=-+y y 设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，如此8
9
,232121-=⋅-=+y y y y ， 2
21894434)(2122121=⨯+=
-+=-∴y y y y y y
.2
21
2212212121211=⨯⨯=-⋅=
∴∆y y F F S PQ F 21．证：以A 为坐标原点AD 长为单位长度，如图建立空间直角坐标系，如此各点坐标为
1
(0,0,0),(0,2,0),(1,1,0),(1,0,0),(0,0,1),(0,1,)2
A B C D P M .
〔Ⅰ〕证明：因.,0),0,1,0(),1,0,0(DC AP DC AP DC AP ⊥=⋅==所以故
由题设知AD DC ⊥，且AP 与AD 是平面PAD 内的两条相交直线，由此得DC ⊥面PAD .又DC 在面
PCD 上，故面PAD ⊥面PCD .
〔Ⅱ〕解：因),1,2,0(),0,1,1(-==PB AC
.
510
|
|||,cos ,2,5||,2||=⋅>=<=⋅==PB AC PB AC PB AC PB AC 所以故
故AC 与PB 所成角的余弦值为
5
10 〔Ⅲ〕设平面AMC 的法向量为),,(111z y x n =，平面BMC 的法向量为),,(222z y x m =
如此⎪⎩⎪⎨⎧=•=•0
0AC n AM n 而)0,1,1(),21,1,0(==AC AM
所以⎩⎨
⎧=+=+0
21111y x z y 令x 1=1，如此y 1=-1, z 1=2
)2,1,1(-=∴n ,同理)2,1,1(-=m
3
2
64-=-=
=
∴m n 故面AMC 与面BMC 所成二面角的大小余弦值为3
2
-.
22. 解：〔Ⅰ〕因为抛物线1C 的焦点是1(1,0)F -，
如此1
12
c c a =⎧⎪
⎨=⎪⎩，得2a =
，如此b =，
故椭圆C 的方程为22
143
x y +=．
〔Ⅱ〕显然直线l 的斜率不存在时不符合题意，可设直线l ：(1)y k x =-，设11(,)D x y ，22(,)E x y ，由于222DF F E =，
如此 12122(1)1
2x x y y -=-⎧⎨-=⎩
联立2
2(1)
14
3y k x x y
=-⎧⎪⎨+
=⎪⎩，222212()104333k k x k x +-+-=， 如此 2122834k x x k +=+，……①2122
412
34k x x k
-=+，……②，2132x x =-代入①、②得， 2128334k x k -=+，……③22
112
4123234k x x k
--=+，……④
由③、④得2k =±， 2
129434k x k +=+74=，21
1
322
x x =-=-， 〔i
〕假设k =
1y =
211)2y =-
-= 即1(,)24G --
，7(,48
D -
，847142
GD k +=
+6=， 直线GD
的方程是1
)462
y x +=+； 〔ii
〕当k =时，同理可求直线GD
的方程是1
)2
y x =+．。