2021高中同步创新课堂数学优化方案人教A版必修1习题：函数及其性质(强化练) Word版含答案

函数及其性质(强化练) [A 基础达标]
1．下列对应关系f 中，能构成从集合A 到集合B 的映射的是( ) A ．A ＝{x |x >0}，B ＝R ，f ：x →|y |＝x 2 B ．A ＝{－2，0，2}，B ＝{4}，f ：x →y ＝x 2 C ．A ＝R ，B ＝{y |y >0}，f ：x →y ＝1
x 2
D ．A ＝{0，2}，B ＝{0，1}，f ：x →y ＝x
2
解析：选D.对于A ，集合A 中元素1在集合B 中有两个元素与之对应；对于B ，集合A 中元素0在集合B 中无元素与之对应；对于C ，集合A 中元素0在集合B 中无元素与之对应．故A ，B ，C 均不能构成映射．
2．f (x )＝⎩⎪⎨⎪
⎧2x ，0≤x ≤1，2，1<x <2，3，x ≥2的最大值是( )
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
解析：选D.当0≤x ≤1时，f (x )的最大值是f (1)＝2，又当1<x <2时，f (x )＝2；当x ≥2时，f (x )＝3，则f (x )的最大值是3.
3．已知f (x )是一次函数，2f (2)－3f (1)＝5，2f (0)－f (－1)＝1，则f (x )＝( ) A ．3x ＋2 B ．3x －2 C ．2x ＋3
D ．2x －3
解析：选B.设f (x )＝kx ＋b (k ≠0)． 由于2f (2)－3f (1)＝5，2f (0)－f (－1)＝1，
所以⎩⎪⎨⎪⎧2（2k ＋b ）－3（k ＋b ）＝5，2b －（－k ＋b ）＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧k －b ＝5，
k ＋b ＝1， 解得⎩
⎪⎨⎪⎧k ＝3，b ＝－2.
所以f (x )＝3x －2. 4．函数f (x )＝1－x 2＋9
1＋|x |
是( ) A ．奇函数 B ．偶函数
C ．既是奇函数又是偶函数
D ．非奇非偶函数
解析：选B.由于函数f (x )的定义域是[－1，1]，且f (－x )＝f (x )，所以该函数为偶函数． 5．下列函数中，值域是(0，＋∞)的是( )
A ．y ＝x 2－2x ＋1
B ．y ＝x ＋2
x ＋1(x ∈(0，＋∞))
C ．y ＝1
x 2＋2x ＋1(x ∈N )
D ．y ＝1
|x ＋1|
解析：选D.在选项A 中y 可等于零，选项B 中y 明显大于1，选项C 中x ∈N ，值域不是(0，＋∞)，选项D 中|x ＋1|＞0，即y ＞0.
6．函数y ＝
x ＋1
x
的定义域为________． 解析：由题意可得x ＋1≥0且x ≠0，所以x ≥－1且x ≠0，即函数的定义域为[－1，0)∪(0，＋∞)． 答案：[－1，0)∪(0，＋∞)
7．定义在(－1，1)上的奇函数f (x )＝x －a
x 2＋1，则a 等于________．
解析：由于f (x )在(－1，1)上为奇函数，
所以f (0)＝0－a 02＋1＝－a ＝0，所以a ＝0，经检验a ＝0时，f (x )＝x
x 2＋1是奇函数，满足条件．
答案：0
8．已知函数f (x )是定义在[1，4]上的增函数，且f (m )>f (4－m )，则实数m 的取值范围是________． 解析：由题意，得⎩⎪⎨⎪
⎧1≤m ≤4，1≤4－m ≤4，m >4－m ，
解得2<m ≤3. 答案：2＜m ≤3
9．某汽车以52 k m /h 的速度从A 地行驶到260 k m 远处的B 地，在B 地停留1.5 h 后，再以65 k m /h 的速度返回A 地，试将汽车离开A 地后行驶的路程s 表示为时间t 的函数．
解：由于260÷52＝5(h )，260÷65＝4(h )， 所以当0≤t ≤5时，s ＝52t ；
当5<t ≤6.5时，s ＝260；
当6.5<t ≤10.5时，s ＝260＋65(t －6.5)＝65t －162.5. 所以s ＝⎩⎪⎨⎪
⎧52t ，0≤t ≤5，260，5<t ≤6.5，65t －162.5，6.5<t ≤10.5.
10．已知函数f (x )＝
2x
x ＋1
，x ∈[－3，－2]． (1)求证：f (x )在[－3，－2]上是增函数；
(2)求f(x)的最大值和最小值．
解：(1)证明：设x1，x2是区间[－3，－2]上的任意两个不相等的实数，且x1<x2，
则f(x1)－f(x2)＝
2x1
x1＋1
－
2x2
x2＋1
＝2x1（x2＋1）－2x2（x1＋1）（x1＋1）（x2＋1）
＝
2（x1－x2）
（x1＋1）（x2＋1）
.
由于－3≤x1<x2≤－2，
则x1－x2<0，x1＋1<0，x2＋1<0. 所以f(x1)－f(x2)<0，
即f(x1)<f(x2)．
所以函数f(x)＝
2x
x＋1
在[－3，－2]上是增函数．
(2)由于f(－2)＝4，f(－3)＝3，
且f(x)在[－3，－2]上是增函数，
所以函数f(x)的最大值是4，最小值是3.
[B力量提升]
1．设f(x)是R上的偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数，若x1<0且x1＋x2>0，则()
A．f(－x1)>f(－x2)
B．f(－x1)＝f(－x2)
C．f(－x1)<f(－x2)
D．f(－x1)与f(－x2)大小不确定
解析：选A.由于f(x)是R上的偶函数，
所以f(－x1)＝f(x1)．
又f(x)在(0，＋∞)上是减函数，x2>－x1>0，
所以f(－x2)＝f(x2)<f(－x1)．
2．已知函数f(x)＝x5＋ax3＋bx－8，且f(－2)＝10，则f(2)＝________．
解析：由于f(－2)＝10，
所以(－2)5＋(－2)3a＋(－2)b＝18，
即25＋23a＋2b＝－18，
所以f(2)＝25＋23a＋2b－8＝－18－8＝－26.
答案：－26
3.已知f(x)为奇函数，且当x＜0时，f(x)＝x2＋3x＋2.若当x∈[1，3]时，n≤f(x)≤m恒成立，求m－n的最小值．解：由于当x＜0时，f(x)＝x2＋3x＋2＝⎝⎛⎭⎫
x＋
3
2
2
－
1
4，
所以当x∈[－3，－1]时，f(x)min＝f⎝⎛⎭⎫
－
3
2＝－
1
4，
f(x)max＝f(－3)＝2.
由于函数f(x)为奇函数，
所以当x∈[1，3]时函数的最小值和最大值分别为－2，
1
4，
所以m的最小值为
1
4，n的最大值为－2.
所以(m－n)min＝
1
4－(－2)＝
9
4，
即m－n的最小值为
9
4.
4．(选做题)已知奇函数f(x)＝
⎩⎪
⎨
⎪⎧
－x2＋2x，x>0，
0，x＝0，
x2＋mx，x<0.
(1)求实数m的值，并画出y＝f(x)的图象；
(2)若函数f(x)在区间[－1，a－2]上单调递增，试确定a的取值范围.
解：(1)当x<0时，－x>0，f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)＝－x2－2x.
又f(x)为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)＝－x2－2x，
所以f(x)＝x2＋2x，
所以m＝2.
y＝f(x)的图象如图所示．
(2)由(1)知f(x)＝
⎩⎪
⎨
⎪⎧
－x2＋2x，x>0，
0，x＝0，
x2＋2x，x<0，
由图象可知，f(x)在[－1，1]上单调递增，要使f(x)在[－1，a－2]上单调递增，只需
⎩⎪
⎨
⎪⎧a－2>－1，
a－2≤1，
解得1<a≤3.。