复合函数的相关方法

序轴法——复合函数单调区间
的一种简捷求法
复合函数是高中数学中的一类重要函数，讨论复合函数的单调性，求出其单调区间是复合函数问题中的一类重要问题。

而一些书刊上对复合函数单调区间的求法过于繁琐，本文介绍一种求复合函数单调区间的简捷方法，供大家参考。

本文介绍的复合函数单调区间求法的理论依据是下面的 定理（判定定理）：若)(,),(),(1211x x x y F u F u F n n +=== 都是单调函数，则n 次复合函数][}{)(121x y F F F n += 在其定义域内也是单调函数，且它为增函数的充要条件是
),
(1
x y F
=
),(2
1
x F
u =)(,1x F u n n += 中减函数的个数为偶数；
它为减函数的充要条件是)(,),(),(1211x x x y F u F u F n n +=== 中减函数的个数为奇数。

[]1
下面我们先通过一个例子来说明具体的方法。

例1． 已知x x x f 2
28)(-+=，若)2()(2
x f x g -=，求函数)(x g 的
单调区间。

（89年高考理科（11）改编--原题为选择题）
解：令t=2x 2
-,则82)(2
++-=t t f t ，故)(x g 是由这两个函数复
合而成的，定义域为实数集R 。

当,1<t 即1122-<⇔<-x x 或1>x 时，)(t f ； 当,1≥t 即11221≤≤-⇔-≥x x 时， )(t f ； 当0<x 时，)(x t ；当0≥x 时，)(x t 。

将-1,0.1按大小顺序标在以向右为正方向的有向直线上（由于不考虑单位，只考虑顺序，故称这条直线为“序轴”），再把各层函数的增减性用升、降箭头标在相应区间上方，然后，在序轴下方的相应区间，根据复合函数单调性的判定定理，用箭头标出复合函数的单调性。

如（图1）
)(x t ： )(t f ：)(x g ： -1 0 1 x
（图1）
由图1可知，)(x g 的递增区间为](1,-∞-，[0，1]；递减区间为（-1，
0），（1，+)∞。

这种求复合函数单调区间的方法我们称之为“序轴法”，其一般的解题步骤为：
1、 求复合函数的定义域，并把各层函数分解出来；
2、 求出各层函数单调区间及对应的在复合函数定义域内自
变量x 的取值区间；
3、 由各层函数单调区间的端点值，把复合函数的定义域分成
若干部分，并在序轴上标出；
4、 将各层函数的增减性用升、降箭头在序轴上相应区间的上
方标出；
5、 由复合函数单调性的判定定理，在每个区间的下方，用升、
降箭头标出单调性，从而得出复合函数的单调区间。

这种方法已近程序化，层次清楚，操作方便，简便易行，且不容易出错。

特别是对于由多个函数复合而成的复合函数则更为简捷。

我们再举一例：
例2、求函数()3
2
2
4
67)(+-=
=x x x f y 的单调区间。

解：因为()()
32
2224232⎥⎦⎤⎢⎣⎡----=x x y ，故令 y(u)=2)(,43)(,2
23
2-=--=x t u x t t t u ,则
)(x f 是由)(),(),(x t t u u y 三个函数复合而成的，其定义域为实数集R 。

当0≥u 即11≤≤-x 或6-≤x 或6≥x 时，)(u y ；
当0<u 时，即6-<x<-1,或61<<x 时，)(u y ；
当23<t 即2
14214<<-
x 时，)(t u ；
当23≥t 即214-
≤x 或2
14≥x 时，)(t u ； 当0<x 时，)(x t ；当0≥x 时，)(x t。

把6,2
14,1,0,1,214,6--
-及各层函数的单调性用箭头在序轴上标出(如图2)：
y(u) u(t)
t(x) f(x) --
0 1
（ 图2）
∴ f(x)的单调递减区间为：][]⎥⎥
⎤
⎢⎢⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡----∞6,214,1,0,1,214,6,(; 单调递增区间为：()(
)
∞⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫
⎝
⎛
-
-,6,214,1,0,1,214,6 。

浅谈复合函数
一、引言
在对高中数学的函数研究中，除了常见的一些基本初等函数，例如：,sin ,,log n x a y
x y
x y
a y
x
等等以外，通常还会遇到一些在结
构
上
较为复杂的
函
数
，例如：
234(32),sin(21),,log (23)
x a y
x
y
x y
a y
x
等等。

而当我们对
这些结构上较为复杂的函数分析其结构特点时，可以发现，这些函数都可看成时由两个基本函数经过“复合”而成的。

例如：函数
2(32)y x ，如设32u x
，则原函数可以看成由函数
232y
u u
x
和“复合”而成。

从而使得对函数2(32)y
x
的研究
转化为对初等函数232y
u u x
和的分层研究。

那么，函数2(32)y x
究竟是一种什么样的函数呢？
二、复合函数的相关概念 1、定义：一般地：对于两个函数()()y
f u u
g x 和，如果通过
变量u ，y 可以表示成x 的函数，那么称这个函数y 为
()()y
f u u
g x 和的复合函数，记作：[()]y
f g x 。

在复合函数[()]y
f g x 中，()y f u 称为复合函数的外函数，
()
u g x称为复合函数的内函数。

2、定义域和值域
复合函数的定义域即内函数的定义域，复合函数的值域即外函数的值域。

而外函数的定义域即内函数的值域。

如下表所示。

3、单调性
复合函数的单调性是由内外函数的单调性共同决定的：
内函数是增函数+外函数是增函数=复合函数是增函数；
内函数是增函数+外函数是减函数=复合函数是减函数；
内函数是减函数+外函数是增函数=复合函数是减函数；
内函数是减函数+外函数是减函数=复合函数是增函数。

也就是说，当内外函数的单调性相同的时候，复合函数是增函数，当内外函数的单调性不同的时候，复合函数是减函数。

（同增异减）
三、复合函数的常见应用
1、求定义域或值域
例一：设函数f(x)的定义域是［—1，1］那么函数f(x2—1)的定义域是________
分析：根据复合函数定义域和值域的关系，先把函数f(x2—1)分解成两个函数：外函数y=f(u)和u=g(x)，已知的定义域[—1，1]就是外函数的定义域，而所求的定义域是复合函数的定义域，即内函数的定义域。

因为内函数的值域是外函数的定义域，所以内函数的定义域可以通过内函数的值域求得。

详解：把函数 f(x2—1)分解成两个函数：y=f(u)和u=x2—1，由已知可得[1,1]u ，即21
11x ,解这个不等式得：
22x。

所以函数f(x2—1)的定义域是[2,2]
例二：函数y=
1—sinx (
(,)
4x
)的值域是________
分析：根据复合函数定义域和值域的关系，先把函数f(x2—1)分解成两个函数：外函数y=f(u)和u=g(x)，已知的是复合函数的定义域，即内函数的定义域，要求复合函数的值域，则必须先求外函数的定义域，即内函数的值域。

详解：把函数y=
1—sinx 分解成两个函数：y u 和
1sin u
x
因为
(,)
4x
，所以sin (0,1]x
，则[0,1)u
所以[0,1)y ，即原函数的值域是[0,1) 2、求解析式 例三：设函数2
(32)
35f x
x x ，求()f x 的解析式
分析：求()f x 的解析式即求复合函数的外函数的解析式，因此，可以通过构造内函数，求得内函数的自变量和函数的关系式，再代入复合函数的解析式，就可以得到外函数的解析式。

解：令32t
x
，则
2
3t x
，代入2
(32)
35f x
x x 中得
2
22
()
()3()5
3
3
t t f t
整理化简得：21()
(559)
9f t t t
所以
21()
(559)
9
f x x x
3、求复合函数的单调区间 例四：求函数
2
3log (32)
y
x x
的单调增区间和单调减区间。

分析：根据复合函数的单调性可知，其单调增区间就是内外函数单调性相同的区间的交集，其单调减区间就是内外函数单调性不同的区间的交集。

所以应该先分别求出内外函数的单调区间，再取对应的区间的交集。

解：由对数性质可得：2
32
0x
x
解不等式得：21x
x
或，即原函数的定义域是
(
,2)(1,
)
把原函数分解为两个函数：2
3log 32
y
u u
x x 和，由于外函
数3log y
u
在定义域中是增函数，而内函数
2231
32
()2
4u
x x x
在区间
3(
,
)
2上是增函数，在区间
3(,)
2
上是减函数。

所以，函数2
3log (32)
y
x x
的单调增区间是(,2)；单调减
区间是(1,
)
4、求复合函数的导数
复合函数的导数等于外函数的导数与内函数的导数的积 即：'''x
u x
y y u
例五：求函数2
ln(234)y
x x
的导数
分析：求复合函数的导数，可以先构造出内外函数，再对其分别求导，最后按公式计算。

解：令ln 34y
u x
2
和u=2x ，则
1
'u y u '43
x
u x
2
43'''234x u x
x y y u x x
函数是整个高中最主要，也是最重要的一个知识，而复合函数是函数中所有知识点的总汇，希望能通过这篇文章，能给大家一个探究函数的基石，也让学生对复合函数有一个总的认识。

复合函数的概念及复合函数的单调性
一、知识点内容和要求：
理解复合函数的概念，会求复合函数的单调区间
二、教学过程设计
（一）复习函数的单调性
引例：函数y=f（x）在上单调递减，则函数
（a＞0，且a≠1）增减性如何？
（二）新课
1、复合函数的概念
如果y是a的函数，a又是x的函数，即y=f（a），a=g（x），那么y关于x的函数y=f[g（x）]
叫做函数y=f（x）和a=g（x）的复合函数，其中a是中间变量，自变量为x，函数值y。

例如：函数是由复合而成立。

函数是由复合而成立，a是中间变量。

2、复合函数单调性
由引例：对任意a，都有意义（a＞0且a≠1）且。

对任意，
当a＞1时，单调递增，当0＜a＜1时，单调递减。

∵当a＞1时，
∵y=f（u）是上的递减函数∴
∴
∴是单调递减函数
类似地，
当0＜a＜1时，
是单调递增函数
一般地，
定理：设函数u=g（x）在区间M上有意义，函数y=f（u）在区间N上有意义，且当X∈M时，u∈N。

有以下四种情况：
（1）若u=g（x）在M上是增函数，y=f（u）在N上是增函数，则y=f[g（x）]在M上也是增函数；
（2）若u=g（x）在M上是增函数，y=f（u）在N上是减函数，则y=f[g（x）]在M上也是减函数；
（3）若u=g（x）在M上是减函数，y=f（u）在N上是增函数，则y=f[g（x）]在M上也是减函数；
（4）若u=g（x）在M上是减函数，y=f（u）在N上是减函数，则y=f[g（x）]在M上也是增函数。

即：同增异减。

注意：内层函数u=g（x）的值域是外层函数y=f（u）的定义域的子集。

例1、讨论函数的单调性
（1）（2）
解：①
又是减函数
∴函数的增区间是（-∞，2]，减区间是[2，+∞）。

②x∈（-1，3）
令
∴x∈（-1，1]上，u是递增的，x∈[1，3）上，u是递减的。

∵是增函数
∴函数在（-1，1]上单调递增，在（1，3）上单调递减。

注意：要求定义域
练习：求下列函数的单调区间。

1、（1）减区间，增区间；
（2）增区间（-∞，-3），减区间（1，+∞）；
（3）减区间，增区间；
（4）减区间，增函数。

2、已知求g（x）的单调区间。

提示：设，则g（x）=f（u）利用复合函数单调性解决：g（x）
的单调递增区间分别为（-∞，-1]，[0，1]，单调递减区间分别为[-1，0]，[1，+∞）。

例2、y=f（x），且lglgy=lg3x+lg（3-x）
（1）y=f（x）的表达式及定义域；
（2）求y=f（x）的值域；
（3）讨论y=f（x）的单调性，并求其在单调区间上相应的反函数。

答案：（1）x∈（0，3）
（2）（0，]
（3）y=f（x）在上单调递增函数，在上是单调递减函数
当x∈时，；
当x∈时，。

例3、确定函数的单调区间。

提示，先求定义域：（-∞，0），（0，+∞），再由奇函数，先考虑（0，+∞）上单调性，并分情况讨论。

函数的递增区间分别为（-∞，-1]，[0，+∞）
函数的递减区间分别为[-1，0），（0，1]。

作业：1、求下列函数的单调区间。

（1）（2）（3）
2、求函数的递减区间。

3、求函数的递增区间。

4、讨论下列函数的单调性。

（1）（2）
答案：1（1）递减区间（2）递增区间（0，+∞）（3）递减区间（-∞，0]递增区间[2，+∞）
2、[，2]
3、（-∞，-2）
4、（1）在上是增函数，在上是减函数；
（2）a＞1时，在（-∞，1）上是减函数，在（3，+∞）上是增函数；
一、复合函数
函数y=log2x是对数函数，那么函数y=log2(2x-1)是什么函数呢?我们可以这样理解：
设y=log2u，u=2x-1，因此函数y=log2(2x-1)是由对数函数y=log2u 和一次函数u=2x-1经过复合而成的。

一般地，如果y是u的函数，而u又是x的函数，即y=f(u)，u=g(x)，那么y关于x的函数y=f[g(x)]叫做函数f和g的复合函数，u叫做中间变量。

例1.已知f(x)=x+，g(x)=x2-2，求f[g(x)]和g[f(x)]的解析式。

解：f[g(x)]=f(x2-2)=(x2-2)+；
g[f(x)]=g(x+)=(x+)2-2=x2+。

例2.已知f(x)的定义域为[0，4]，求函数f(x2)的定义域。

解：f(x2)可以看作ψ(x)=f[g(x)]，其中u=g(x)=x2，则f(x2)=f(u)，即ψ(x)=f(u)。

由已知f(u)的定义域为[0，4]，即0≤u≤4，所以0≤x2≤4，解得-2≤x≤2。

∵函数f(x2)的定义域为[-2，2]。

例3.求函数y=的值域。

分析：令u=x2-1，y=，函数y=的定义域为x≠±1，分别作出函数u=x2-1，
y=的图象。

由x≠±1→u≥-1，且u≠0，→y＞0，或y≤-1。

故函数y=的值域为(-∞，-1]∪(0，+∞)。

二、复合函数的单调性。

定理：设y=f(u)，u=g(x)，已知u=g(x)在[a，b]上是单调增(减)函数，y=f(u)在区
间[g(a)，g(b)](或[g(b)，g(a)]上是单调增(减)函数，那么复合函数y=f[g(x)]在[a，b]
上一定是单调函数，并有以下结论：
判断复合函数的单调性的步骤如下：(1)求复合函数定义域；(2)将复合函数分解为若干个常见函数(一次、二次、幂、指、对函数)；(3)判断每个常见函数的单调性；(4)将中间变量的取值范围转化为自变量的取值范围；(5)求出复合函数的单调性。

例4.讨论函数y=0.8x2-4x+3的单调性。

解：函数定义域为R。

令u=x2-4x+3，y=0.8u。

指数函数y=0.8u在(-∞，+∞)上是减函数，
u=x2-4x+3在(-∞，2]上是减函数，在[2，+∞)上是增函数，
∴函数y=0.8x2-4x+3在(-∞，2]上是增函数，在[2，+∞)上是减函数。

这里没有第四步，因为中间变量允许的取值范围是R，无需转化为自变量的取值范围。

例5.讨论函数y=(log2x)2+log2x的单调性。

解：显然函数定义域为(0，+∞)。

令u=log2x，y=u2+u
∵ u=log2x在(0，+∞)上是增函数，
y=u2+u在(-∞，- ]上是减函数，在[- ，+∞)上是增函数(注意(-∞，-]及
[-，+∞)是u的取值范围)
因为u≤- log2x≤- 0＜x≤，(u≥- log2x≥-
x≥)
所以y=(log2x)2+log2x在(0，]上是减函数，在[，+∞)上是增函数。

三、利用复合函数求参数取值范围。

求参数的取值范围是一类重要问题，解题关键是建立关于这个参数的不等式组，必须
将已知的所有条件加以转化。

例6.已知函数f(x)=(x2-ax+3a)在区间[2，+∞)上是减函数，则实数a的取值范
围是_______。

分析如下：
令u=x2-ax+3a，y=u。

因为y=u在(0，+∞)上是减函数
∴ f(x)=(x2-ax+3a)在[2，+∞)上是减函数
u=x2-ax+3a在[2，+∞)上是增函数，且对任意x∈[2，+∞)，都有u＞0。

对称轴x=在2的左侧或过(2，0)点，且u(2)＞0。

-4＜a≤4
例7.若f(x)=loga(3-ax)在[0，1]上是减函数，则a的取值范围是_______。

令u=-ax+3＞0，y=logau，由于a作对数的底数，所以a＞0且
a≠1，由u=-ax+3＞0得x＜。

在[0，1]上，且u是减函数。

∴ f(x)=loga(3-ax)在[0，1]上是减函数。

y=logau是增函数，且[0，1](-∞，]
1＜a＜3
所以a的取值范围是(1，3)。

习题
1.函数y=在区间[4，5]上的最大值是_______，最小值是_______。

2.函数y=(2-x-x2)的单调减区间是_______。

答案：
1.；1。

2.(-2，- )。

求复合函数定义域的题型与思路
有关复合函数问题是近几年高考试题的重点题型之一，也是难点之一，其中求复合函数的定义域问题一直困扰着同学们。

本文对此类问题中的三种题型的求解思路作一剖析，旨在帮助大家轻松解题。

一. 已知f x ()的定义域，求[
]f gx ()的定义域 思路：设函数f x ()的定义域为D ，即x D ∈，所以f 的作用范围为
D ，又f 对g x ()作用，作用范围不变，所以gx D ()∈，解得x
E ∈，E 为[]fgx ()的定义域。

例1. 设函数f u ()的定义域为（0，1），则函数f x (l n )的定义域为_____________。

解析：函数f u ()的定义域为（0，1）
即u
∈()01，，所以f 的作用范围为（0，1） 又f 对lnx 作用，作用范围不变
所以01<<l n x
解得x e ∈
()1， 故函数f x (l n )的定义域为（1，e ）
例 2. 若函数f x x ()=
+1
1，则函数[]f f x (
)的定义域为______________。

解析：先求f 的作用范围，由
f x x ()=
+1
1，知x ≠-1
即f 的作用范围为{}xR x ∈≠-|1，又f 对f(x)作用
所以fx R fx ()()∈≠-且1
即[]f f x (
)中x 应满足x f x ≠-≠-⎧⎨
⎩1
1
()
即x x ≠-+≠-⎧⎨⎪⎩⎪11
11
解得x x ≠-≠-12且
故函数[]f f x (
)的定义域为{}
x R x x ∈≠-≠-|12且
二. 已知[
]f gx ()的定义域，求f x ()的定义域 思路：设[]f gx ()的定义域为D ，即x D ∈，由此得gx E ()∈，所以f
的作用范围为E ，又f 对x 作用，作用范围不变，所以x E E ∈
，为f x ()的定义域。

例3. 已知f x ()32-的定义域为[]x ∈-12，，则函数f x ()的定义域
为_________。

解析：f x ()32-的定义域为[]-12，，即[]x ∈-12， 由此得[]3215-∈-x ， 所以f 的作用范围为[]-
15， 又f 对x 作用，作用范围不变，所以[]
x ∈-15，
即函数f x ()的定义域为[]
-15，
例 4. 已知
f x x
x ()l g 2
2
2
48-=-，则函数f x ()的定义域为______________。

解析：先求f 的作用范围，由f x x x ()l g 2
2
248-=-，知x x 2
2
80->
解得x 2
44->
f 的作用范围为()4，+∞，又f 对x 作用，作用范围不变，所以x ∈+∞()4，
即f x ()的定义域为(
)4，+∞
三. 已知[
]f gx ()的定义域，求[]f hx ()的定义域 思路：设[]f gx ()的定义域为D ，即x D ∈，由此得gx E ()∈，f 的
作用范围为E ，又f 对h x ()作用，作用范围不变，所以hx E ()∈，解得
x F ∈，F 为[
]f hx ()的定义域。

例5. 若函数
f x ()2的定义域为[]-11，，则f x (l o
g )2的定义域为______________。

解析：f x ()2的定义域为[]-11，，即[]x ∈-11，，由此得2122x
∈⎡⎣⎢⎤⎦⎥， f 的作用范围为122，⎡⎣⎢⎤
⎦⎥
又f 对l o
g 2x 作用，所以log 2122x ∈⎡⎣⎢⎤
⎦⎥
， 解得
[
]x ∈24
，
即f x (
l o g )2的定义域为[]24，
评注：函数定义域是自变量x 的取值范围（用集合或区间表示）f 对谁作用，则谁的范围是f 的作用范围，f 的作用对象可以变，但f 的作用范围不会变。

利用这种理念求此类定义域问题会有“得来全不费
功夫”的感觉，值得大家探讨。