第五章 特征值与特征向量测试题
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特征值与特征向量测试题
一、填空题：（每小题5分，共20分）
1、设B A ,均为3阶方阵，满足AB B I =+，且A 有特征值0,3,3-，则B 的特征值为 。
2、设A 为n 阶方阵，且0)
(=+m I A ，m 为正整数，则=A 。
3、设B A ,均为n 阶方阵，且A 可逆，则AB 与BA 相似，这是因为存在可逆矩阵=P ，使得BA ABP P
=-1。
4、若 ⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛-111 是矩阵 ⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛---2135212b a 的一个特征向量，则=a ，=b 。
二、选择题：（每小题5分，共20分）
1、若矩阵A 可逆，则A 的特征值（ ）
(A) 互不相等； (B) 全都相等； (C) 不全为零； (D) 全不为零。
2、已知A 是4阶矩阵，且2)3(=-A I r ，则3=λ是A 的（ ）特征值。
(A) 一重； (B) 二重； (C) 至少二重； (D) 至多二重。
3、n 阶方阵A 相似于对角阵的充分必要条件是（ ）
(A) A 有n 个互异的特征值；
(B) A 有n 个互异的特征向量；
(C) 对A 的每个i r 重特征值i λ，有i i r A I r =-)(λ；
(D) 对A 的每个i r 重特征值i λ，有i r 个线性无关的特征向量。
4、下列矩阵中，不能与对角阵相似的是（ ）
(A) ⎪⎪⎪
⎭⎫ ⎝⎛200110011； (B) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛201010101； (C) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛200110101； (D) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛220010001。
三、解答题：（每小题20分，共60分）
1、判断矩阵 ⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛-101121002 是否可对角化；若可以，试求出相应的可逆矩阵P 使得AP P 1-为对角矩阵。
2、设三阶实对称矩阵A 的特征值为1,1321==-=λλλ，对应于1λ的特征向
量为⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛=1101ξ，求A 。
3、设B A ,均为n 阶方阵，且n B r A r <+)()(，证明B A ,有公共的特征向量。
参考答案
一、填空题：
1、1,4
1,21--。 2、n
)1(-。
3、A 。
4、0,3-。
二、选择题：
1、(D)。
2、(C)。
3、(D)。
4、(A)。
三、解答题： 1、可以对角化；特征向量为2,1321===λλλ；可逆矩阵 ⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛=101011100P 。 2、⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛--=010100001A 。 3、考察方程组00{==Bx Ax ，注意到n B r A r B A r <+≤⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛)()(，因此方程组有非零解，这个解向量就是A 和B 公共的特征向量，对应的特征值为0=λ。