小学数与代数问题研究

方程的 思 想。
期地感受
三上教材： 是培养学生 初步的符号感。
三上教材： 用 △ □ ○表示 横、竖式中的 数，培养学生 初步的符号感。
三年级上册： 53页 练习十二 第三题这样的 题型是第二次 出现，这种练 习有助于学生 掌握除法的 试商方法。同 时渗透一点 “最值”的想。
三年级下册： 这道题目是比较抽 象的等量代换练习， 实际上是二元、三 元一次方程组的一 种直观表示法，为 以后学习简单的代 数知识做准备。
二、小学数学代数部分教材的编排特点分析。
三 、小学数学代数知识的教学内容分析
四、 代数知识教学的困惑。
一、小学代数知识的内容及课程标准要求：
1.小学代数的初步知识内容有：
式与方程：
用字母表示数： 简易方程：
用字母表示运算定律，表示计算公式，表示数量关系
方程，方程的解，解方程
比和比例
意义和性质，求比值，化简比，比例尺，正反比例，解比例解决问题
例3（列方程解决形如x± a=b的问题） （1）结合现实情境“洪泽湖蒋坝 水位超过警戒水位”。 （2）先给出算术解法，但在用 算术方法解答时实际已经把“今 天水位超过警戒水位0.64米”转 化成了“警戒水位比今天水位低 0.64米”，就是所谓的逆思考。 （3） 列方程解决问题时由于 未知数是参与运算的，所以 第一步要把未知数设成一个 “假设已知数”。 （4）第二步，根据题目中 信息的叙述方式，通过顺向 思考列出数量关系。由于是 刚接触方程，列出文字性的 数量关系对于学生正确地列 出方程是很重要的。 （5） 根据数量关系列出方程 （此时数量关系中的每一部分 都是作为“已知数”参与运算的） ，解方程和验算的过程在这儿 不是重点，可让学生独立完成。
例2 （用字母表示运算定律） （1）使学生认识用字母表示 运算定律的简明性、优越性， 一是可以表示一般规律，二 是
叙述方便。在这儿，字母不
止 表示一个特定的数，而是表 示 一般的数 （2）两字母相乘的表示法 （3）教材上只给出乘法交换 律的表示法，要求学生自己 写
出其他定律。 “你知道吗？” 介绍单位名称的字母表示法，
重点是让学生明确 符合要求的数有多个 ，即答案的多样性，
（ ）不是某个特定 的数，为以后学习 代数知识打下了基础。
二年级下册89页： 这是在学生学习了表内乘 法以后第一次出现的填最 值的练习，为以后学习用 竖式计算除法作些准备。 它采用变式让学生灵活应 用乘法口诀寻找答案，使 学生明确在括号里只能填 一个符合题意的最大整数， 同时渗透一点“最值”的 思想。
原课标：
“符号感”主要表现在：能从具体情境中抽象出数量关系和变化规律， 并用符号来表示；理解符号所代表的数量关系和变化规律；会进行 符号间的转换；能选择适当的程序和方法解决用符号所表达的问题。”
修改稿：
“符号意识”主要是指能够理解并且运用符号表示数、数量关系 和变化规律；知道使用符号可以进行一般性的运算和推理。 建立符号意识有助于学生理解符号的使用是数学表达和进行 数学思考的重要形式。
二、是有助于巩固和加深理解所学的算术知识
三、是有利于加强中小学数学的衔接。
引入等式的基本性质或方程的同解原理，然后 重新学习依据等式的基本性质或方程的同解原 理解方程，有利于加强中小学数学教学的衔接。
三、后期 拓展、应用阶段（5下—6下）
.五下教材用字母表示长方体正方体的体积计算 V=abh V＝a· a=a3 a· V＝sh
第一节：用字母表示数 共安排了4个例题 ：例1用字母表示数 例2：用字母表示运算定律； 例3：用字母表示计算公式； 例4：用字母表示数量关系；
第二节的内容安培分为三个层次，
先认识方程的意义，等式的性质1，性质2； 再学习解方程，包括方程的解，设置4个例题； 例1：解形如x±a=b的方程 ； 例2：解形如ax=b或x÷a=b的 ； 例3：列方程解加减计算的问题 ； 例4：列方程解乘除计算的问题解方程。
在学习用字母表示数的基础上，引导学生自觉用字母表示 计算公式，是对新知识高度概括，也是用字母表示数的知识的 应用。
六上教材用字母表示圆的周长面积计算公式： c= πd 或 c=2πr S=∏r2
引导学生自觉用字母表示计算公式， 是对新知识高度概括，也是用字母表示数的知识的应用
用方程解决分数除法问题，用方程解鸡兔同笼问题， 是在学生已经学习了列方程解决实际问题以及运用 分数乘法解决一些实际问题的基础上进行教学的，是 方程知识的拓展应用 。
教学重点难点： 重点是解方程与列方程解决实际问题。 列方程解决问题又是教学的一个难点， 难点一是思维方式发生了变化，难点 二是找相等关系。
例1 （用字母表示某个具 体的数）通过复习以 前所学知识，巩固用 符号、字母表示某个 具体的、特定的数， 渗透求未知数的思想， 从符号表示逐渐过渡 到字母表示，并引出 例2。
二下教材第22页 练习四思考题： 这是第一次出 现的用□或○ 表示加数。初 步渗透符感。
二下册：
这题是用乘法口诀 求积、求商的变式 练习。通过这个练 习，一方面提高学 生应用口诀进行计 算的熟练程度，另 一方面孕伏方程思 想。如，4×□=36， 式中的“□”就是要 求的未知数，将它 用一个字母代替， 就变成了一个方程， 使学生具体地、早
意识”有两个意思：第一，用符号可以进行运算，可以进行推理； “ 第二，用符号进行的运算和推理得到的结果具有一般性。
二、小学数学代数初步知识 教材的编排特点分析
人教版小学数学代数部分教材编排分三个阶段
一、前期渗透、孕伏阶段 ( 1—4 年级 )
二、集中生发、形成、发展、应用阶段（5上）
三、后期 拓展、应用阶段（5下—6下）
比和比例的要求
1．在实际情境中理解比及按比例分配的含义， 并能解决简单的问题。 2．通过具体情境，认识成正比例的量和成反比例的量。 3．会根据给出的有正比例关系的数据在方格纸上画图， 并会根据其 中一个量的值估计另一个量的值。 4．能找出生活中成正比例和成反比例关系量的实例， 并进行交流。
2011版课程标准对代数初步知识的要求的变化 数与代数的变化
第一学段: 在内容结构上没有变化。没有出现代数初步知识的具体内容
第二学段：
增加“结合简单的实际情境，了解等量关系，并能用字母表示”。
调整的内容： 1. 将“理解等式的性质”，改为“了解等式的性质” 2. 将“会用等式的性质解简单的方程(如3x+2＝5，2x-x＝3)”， 改为“能解简单的方程(如3x+2＝5，2x-x＝3)”。 3.使一些目标的表述更加准确和完整。例如将“会用方程表示 简单情境中的等量关系”，改为“能用方程表示简单情境中的等量关 系， 了解方程的作用”。
从上面的解读中我们不难发现，除了 四年级下册出现用字母表示定律外，其他 1--3年级都是用（ ）、○、 △等表示数， 都是零散的在练习中穿插进行的，没有系 统的教学，这称之为渗透、孕伏阶段。
二、集中生发、形成、发展、应用阶段 5年级上册教材的第四单元《简易方程》小学阶段 正式教学代数初步知识 本单元的内容分为两节： 第一节的主要内容： 用字母表示数、表示运算定律、计算公式和数量关系 第二节的主要内容是 方程的意义，等式的基本性质和解简易方程， 以及列方程解决一些比较简单的实际问题。
这些其实就是
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三、小学代数知识初步的教学内容分析
一、五年级上册第四单元《简易方程》教学分析：
教学目标： 1、初步认识用字母表示数的意义和作用，能 够用字母表示学过的运算定律和计算公式，能 够在具体的情境中用字母表示常见的数量关系。 初步学会根据字母所取的值，求含有字母式子的值。 2、初步了解方程的意义，初步理解等式的基本性 质，能用等式的性质解简易方程。 3、感受数学与现实生活的联系，初步学会列方程解决 一些简单的实际问题。
最后学习稍复杂的方程
例1： 解方程ax±b=c及其应用
例2：解方程ax＋bc＝d及其应用 例3： 解方程ax＋bx＝c 及其应用
教材这样安排的，在小学数学知识结构中地位和作用：
一、是有助于培养学生的抽象概括能力，发展学生思维的灵活性。
从具体事物的数抽象出字母表示的可变，抽象的数是认识上的一个飞跃 用字母表示数到列方程解决问题又是数学思想方法认识上的一次飞跃
例3 （用字母表示面积和周长计算 公式） （1）两个过程：用公式表示 面积、周长公式是一个一般化 的过程（具体到象），而根据 公式计算某一具体图形的面积 和周长则是一个特 殊化的过程（代入求值）。代 入求值在这儿要多加训练，后 面解方程的验算就是一个代入 求值的过程。 （2）平方的表示，数与字母 相乘的表示。
四下教材第三单元 用字母表示加法乘法 五大运算定律： 加法交换律:a+b=b+a 加法结合律:(a+b)+c=a+(b+c) 乘法交换律:axb=bxa 乘法结合律:(axb)xc=ax(bxc) 乘法分配律:(a+b)xc=axc+bxc
初次用字母表示定律，引导学生体会用字母表示定律 比较简洁，能够帮助记忆，为以后进一步学习用字母 表示数打下知识基础。
例4（代数式） （1）用一个代数式可以表示 两个含义：数量、数量关系。 如a＋30可以表示爸爸的年龄， 也可以表示爸爸与小红年龄之 间的关系。 （2）通过归纳法，从具体到 一般，得出代数式的表示法， 渗透函数思想，第1小题是加 减法数量关系，第2小题是乘 除法关系。 （3）渗透函数中自变量的 取值范围（定义域 )
用字母表示正比例的意义， 是对新知识高度概括，也 是用字母表示数的知识 的应用 。
用字母表示 反比例的意义
用字母表示数的 知识应用。
像解比例，用方程求 实际距离，比例应用题等 运用转化思想将含有未知 数的比例式转化为方程， 运用解方程方法解题。 运用正反比例的关系 解答比较简易的应用题。
方程 解决问题的 拓展应用。
2.2011版课标对代数初步知识的要求 第一学段：没有提出具体的要求 第二学段：明确提出要求
式与方程 的要求：
1．在具体情境中能用字母表示数。 2．结合简单的实际情境，了解等量关系，并能用字母表示。 3. 能用方程表示简单情境中的等量关系（如3x+2＝5，2x-x＝3） 了解方程的作用。 4．了解等式的性质，能用等式的性质解简单的方程。
二小学数学代数初步知识教材的编排特点分析人教版小学数学代数部分教材编排分三个阶段前期渗透孕伏阶段14?级一前期渗透孕伏阶段14?级二集中生发形成发展应用阶段5上三后期?展应用阶段5下6下一前期渗透孕伏阶段14?级一上教材第70页填未知加数是结合10的加减法安排的
小学“代数初 步” 问题研究
一、小学代数知识的内容及课程标准要求
解简易方程 1.方程的意义 （1）通过用天平称量物体 的活动引出方程概念， 与后面利用天平原理解方 程相一致。 （2）前面已经有了列代数 式的基础，因此天平 左边的代数式学生比较容 易列出来。 （3）通过两边物体轻重的 直观比较引出不等式 及方程。 （4）根据方程的概念自己 写一些方程，范围可 以很广，可以包括多元方 程，只要符合方程的 定义即可。
方程的解和解方程的概念 （1）利用前面天平平衡的 素材直接给出现成的方程， 因此不涉及到如何列方程。 （2）利用已有知识，通过 四种不同的方法求出未知 数的值，其中一种方法就 是后面要学到的一般的解 方程的方法。再给出方程 的解和解方程等概念。
解基本的方程
例1：（x+a=b） （1）情境相对简单， 利用直观即很容易列 出方程，因此重点不 是列方程而是解程。 （2）天平原理的直 观演示与抽象:的方程 解法相对应。 （3） 重点突出“为 什么要减3”这一问题， 目的是使方程一边只 剩下未知数。 （4） 验算。就是前 面所学的代入求值的 过程 。
例2（ax=b） （1）具体过程同例1。 天平原理的直观演示 与抽象的方程解法相 对应。“除以几”要求 学生根据直观图自行 探索。 （2）x－a=b、x÷ a=b 这两种类型的解法要求 学生利用所学知识进行 迁移类推，不出专门例 题，在“做一做”中出 现。 （3）方程的一般性方 法、步骤也要求学生自 行总结。
一、前期渗透、孕伏阶段 ( 1—4 年级 )
一上教材第70页
填未知加数是 结合10的加减法 安排的。 教材第70页上 的插图：盒子里能 放10枝圆珠笔， 已经放了7枝， 还要放几枝才能装满。 让学生明确 图意列出算式 ：7+（ ）=10， 明白括号表示一个数。 初步孕伏方程思想。
一年下册：体 会加法、减法 之间关系的同 时，初步孕伏 方程思想。
天平原理（等式性质） （1） 利用直观的形式使学生理解天平平衡的两条 原理 （在方程中相当于作同解变换）：天平保持平衡的 原理1：两边同时加上或减去相同的数，左右两边仍 然相等；天平保持平衡的道理2：两边同时乘上或除 以相同的数（0除外），左右两边仍然相等。 （2）其中第二、四个图蕴含了解方程的思路即天 平的左边只留下一种物体，在解方程时， 最终目标是使方程左边只剩下未知数）。