(2017年秋)人教版数学八年级上册同步练习：11.2与三角形有关的角综合 (能力)2

与三角形有关的角1．填空：(1)△ABC中，若∠A＋∠C＝2∠B，则∠B＝______．(2)△ABC中，若∠A∶∠B∶∠C＝2∶3∶5，则∠A＝______，∠B＝______，∠C＝______．(3)△ABC中，若∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3，则它们的相应邻补角的比为______．(4)如图，直线a∥b，则∠A＝______度．(5)已知：如图，DE⊥AB，∠A＝25°，∠D＝45°，则∠ACB＝______．(6)已知：如图，∠DAC＝∠B，∠ADC＝115°，则∠BAC＝______．(7)已知：如图，△ABC中，∠ABC＝∠C＝∠BDC，∠A＝∠ABD，则∠A＝______(8)在△ABC中，若∠B－∠A＝15°，∠C－∠B＝60°，则∠A＝______，∠B＝______，∠C ＝______．2．已知：如图，一轮船在海上往东行驶，在A处测得灯塔C位于北偏东60°，在B处测得灯塔C位于北偏东25°，求∠ACB．3．已知：如图，在△ABC中，AD、AE分别是△ABC的高和角平分线．(1)若∠B＝30°，∠C＝50°，求∠DAE的度数．(2)试问∠DAE与∠C－∠B有怎样的数量关系?说明理由．4．已知：如图，O是△ABC内一点，且OB、OC分别平分∠ABC、∠ACB．(1)若∠A＝46°，求∠BOC；(2)若∠A＝n°，求∠BOC；(3)若∠BOC＝148°，利用第(2)题的结论求∠A．5．已知：如图，O是△ABC的内角∠ABC和外角∠ACE的平分线的交点．(1)若∠A＝46°，求∠BOC；(2)若∠A＝n°，用n的代数式表示∠BOC的度数．6．类比第4、5题，若O是△ABC外一点，OB、OC分别平分△ABC的外角∠CBE、∠BCF，若∠A＝n°，画出图形并用n的代数表示∠BOC．7．如图，点M是△ABC两个内角平分线的交点，点N是△ABC两个外角平分线的交点，如果∠CMB；∠CNB＝3∶2求∠CAB的度数．8．如图，已知线段AD、BC相交于点Q，DM平分∠ADC，BM平分∠ABC，且∠A＝27°，∠M ＝33°，求∠C的度数．9．（1）如图①，∠1+∠2与∠B+∠C有什么关系？为什么？（2）把图①中△ABC沿DE折叠，得到图②，填空：∠1+∠2_+___∠B+∠C（填“>”“<”“＝”），当∠A＝40°时，∠B+∠C+∠1+∠2＝________．（3）图③是由图①的△ABC沿DE折叠得到的，如果∠A＝30°，则x°+y°＝360°－（∠B+∠C+∠1+∠2）＝360°－________＝________，猜想∠BDA+∠CEA与∠A的关系为________．10．如图①，线段AB与CD相交于点O，连接AD，CB.如图②，在图①的条件下，∠DAB的平分线AP和∠BCD的平分线CP相交于点P，并且AP交CD于点M，CP交AB于点N，试解答下列问题：（1）在图①中，请直接写出∠A，∠B，∠C，∠D之间的数量关系；（2）在图②中，若∠D＝42°，∠B＝38°，试求∠P的度数；（3）如果图②中，∠D和∠B为任意角，其他条件不变，试探究∠P，∠B，∠D之间是否存在确定的数量关系，并说明理由．11．如图1所示，在△ABC中，∠1＝∠2，∠C>∠B，E为AD上一点，且EF⊥BC于点F．（1）试探索∠DEF与∠B，∠C的大小关系．（2）如图2所示，当点E在AD的延长线上时，其他条件都不变，你在（1）中探索得到的结论是否还成立？并说明理由.12．如图所示，在△ABC中，外角∠ACD的平分线与∠ABC的平分线交于点A1，∠A1BC的平分线与∠A1CD的平分线交于点A2，则∠A1与∠A有怎样的数量关系？继续作∠A2BC的平分线与∠A2CD 的平分线可得∠A，如此下去可得∠A4，…，∠A n，那么猜想∠A n与∠A又有怎样的数量关系？并求出当∠A＝64°时，∠A的度数.参考答案1．(1)60°．(2)36°，54°，90°．(3)5∶4∶3．(4)39°．(5)110°． (6)115°．(7)36°．(8)30°，45°，105°． 2．35°．3．(1)10°；(2)).(21B C DAE ∠-∠=∠ 4．(1)113°，(2),2190o n + (3)116°．5．(1)23°．(2).21 n BOC =∠ 证明：∵OB 平分∠ABC ，OC 平分∠ACE ， ∴.21,21ABC OBC ACE OCE ∠=∠∠=∠ ∴.2121)(21 n A ABC ACE OBC OCF BOC =∠=∠-∠=∠-∠=∠ 6．)(21180)32(180FCB EBC BOC ∠+∠-=∠+∠-=∠)]()[(21180o ABC A ACB A ∠+∠+∠+∠-=)180(21180o o A ∠+-=A ∠-=2190.2190o n -=7．36°． 8．39°．由本练习中第4题结论可知： ∠C ＋∠CDM ＝∠M ＋∠MBC ， 即①．2121ABC M ADC C ∠+∠=∠+∠同理，②．2121ABC A ADC M ∠+∠=∠+∠由①、②得),(21C A M ∠+∠=∠因此∠C ＝39°．9．（1）解：12B C ∠+∠=∠+∠． 理由如下：在△ADE 和△ABC 中，由三角形内角和定理，得12180A ∠+∠+∠=︒，180B C A ∠+∠+∠=︒，所以12B C ∠+∠=∠+∠． （2）＝ 280° 解析 由折叠知识及（1）得12B C ∠+∠=∠+∠．当40A ∠=︒时，12180140B C A ∠+∠=∠+∠=︒-∠=︒，所以12280B C ∠+∠+∠+∠=︒．（3）300° 60° 2BDA CEA A ∠+∠=∠ 解析 由（2）得当30A ∠=︒时，12180301B C ∠+∠=∠+∠=︒-︒=︒，所以123B C ∠+∠+∠+∠=︒，所以3603x y ︒+︒=︒-︒=︒，猜想2BDA CEA A ∠+∠=∠．10．思路建立 （1）观察图形根据对顶角相等即可得出结论．（2）要求∠P 的度数，题中告诉∠D 与∠B 的度数，则需将∠P 与∠D ，∠B 联系起来，结合（1）中结论，可得1234D B ∠+∠+∠=∠+∠+∠，13D P ∠+∠=∠+∠，再根据角平分线的性质进行整理转化，即可得到()12P B D ∠=∠+∠，则问题得 解．（3）借助（2）的求解过程可解． 解：（1）A D B C ∠+∠=∠+∠．（详解：∵180AOD A D ∠=︒-∠-∠，180BOC C B ∠=︒-∠-∠，而A O D B O C ∠=∠，∴180180A D C B ︒-∠-∠=︒-∠-∠．∴A D B C ∠+∠=∠+∠）（2）根据（1）可知，1234D B ∠+∠+∠=∠+∠+∠，13D P ∠+∠=∠+∠． ∵AP ，CP 分别是∠DAB 和∠BCD 的平分线’ ∴12∠=∠，34∠=∠，∴2123D B ∠+∠=∠+∠， 而212232D P ∠+∠=∠+∠，∴2P B D ∠=∠+∠，∴()()1138424022P B D ∠=∠+∠=︒+︒=︒． （3）()12P B D ∠=∠+∠．理由同（2）．11．思路建立 要探索∠DEF 与∠B ，∠C 之间的大小关系，∠DEF 与∠B ，∠不在一个三角形中，但∠B ，∠在一个三角形中，故考虑由三角形内角和定理及外廣性质，通过∠1（或∠2），∠EDF“搭桥解决”．解：（1）∵12∠=∠，∴112BAC ∠=∠．∵()180BAC B C ∠=︒-∠+∠，∴()()1111809022B C B C ∠=︒-∠+∠=︒-∠+∠⎡⎤⎣⎦．∴()()111909022EDF B B B C B C ∠=∠+∠=∠+︒-∠+∠=︒+∠-∠． 又∵EF BC ⊥，∴90EFD ∠=︒．∴()()1190909022DEF EDF B C C B ⎡⎤∠=︒-∠=︒-︒+∠-∠=∠-∠⎢⎥⎣⎦．（2）当点E 在AD 的延长线上时，其他条件都不变，（1）中探索所得的结论仍成立，理由同（1）． 12．思路建立 本题可利用外角的性质和角平分线的性康，使∠A ，∠ABC 与1A ∠，∠ABC 建立起等量关系，从而确定∠A 与1A ∠的数量关系，利用这一规律求出4A ∠的度数．解：112A A ∠=∠．理由：∵1BA 平分∠ABC ，∴12ABC A BC ∠=∠． ∵1CA 平分∠ACD ，∴12ACD ACD ∠=∠． ∵111ACD A A BC ∠=∠+∠，∴12ACD A ABC ∠=∠+∠． ∵ACD A ABC ∠=∠+∠，∴12A ABC A ABC ∠+∠=∠+∠，∴112A A ∠=∠．在1A BC ∆中，2BA 平分1A BC ∠，2CA 平分1ACD ∠， ∴211124A A A ∠=∠=∠，…，212n A A ∠=∠．当64A ∠=︒时，4416442A ∠=⨯︒=︒．。