居余马线性代数第三章课后习题

第三章课后习题及解答
将1, 2题中的向量a表示成多,%，%,%的线性组合：
1.2=（121,1厂吗=（1,1,1,=（1,1,-1,-1厂,% =（1，-口，-1）:% =（1，T，T』）\
2. a =（0,0,01）,4 = （1,1,04）,4 =（2,1,31）,4 = （U，0,。

）。

4 =（。

J，-if
解：设存在占次2,攵3,好使得a =+k2a2 +攵3。

3 +攵4。

4，整理得
%+七+七+攵』=1 1 - j r
尤+八一3一3=2
占一攵2 +%3 一3=1
占一攵2 一攵3 +的=1
解得％]=-，欠2 =，攵3 = -- ，左4 =一
4 . 4 4
所以2=3囚+■% 4 4 -
设存在占次2,攵3,好使得。

+攵2。

2 +勺% +3%，整理得k[ + 2k2 + 女3 =。

，k}+k2+k3+k4 =0 9 342 —k4 = 0 ,公+攵2 —攵4 = 1・
解得k x = l,k? = 0/3 = —1/4 =。

・所以& = 4 — %・
判断3, 4题中的向量组的线性相关性: 3.q=（1』,1）;% =（025）,% =（1，3,61
4,自=（LT2,4）T ，4=（0,3,1,2）T ,网=（3,0,7,1”.
解：
3 .设存在 %,攵2，々3使得占
4 +%2 a2 +"3a3 = 0 9即
1 0 1
由1 2 3 =0,解得占次2，砥不全为零,
1 5 6
故&],々2，々3线性相关.
4设存在攵1,七,43使得占4+攵2旦+勺23=°，即
卜 + 3k 3 = 0
，一” 八 可解得公，公,号不全为零，故4,A ，凤线性相关.
2勺 +& +73 =。

. .
4占+23+143=0
5.论述单个向量2=（卬，。

2，一・，。

〃）线性相关和线性无关的条件.
解：设存在女使得左。

= 0,若2工0,要使左。

= 0,当且仅当Z=0,故，单个向量线性 无关的充要条件是。

工0:相反，单个向量a
线性相关的充要条件是
67 = 0.
6 .证明：如果向量组线性无关，则向量组的任一部分组都线性无关.
证：设向量组力,%…%线性无关，利用反证法,
k } +3 =。

4 L + 2k ）+3k[ = 0 1 1 » K +5k 2 +6心=0
假设存在该向量组的某一部分组区 h ，.…< 〃）线性相关,
则向量组区，巴…线性相关，与向量组%,%，…，《i ，a 〃线性无关矛盾， 所以该命题成立.
7 .证明：若%,出线性无关，则«也线性无关.
证：方法一,设存在无卜、使得匕（q+%） +22（% -%）=°，
整理得，(k x +k 2)a } +(ki -k 2)a 2 =0,
g +k)= 0
1
- ,可解得力=鼠=0,
%_左2 = 0
故4+ a 2y a { -a 2线性无关.
方法二，国为（q — &2）= （2”2,；:
故名+ a 2,a 1 -a 2线性无关.
8 .设有两个向量组外,%,...,&和/?卜尸2,…，氏，其中
…,瓦是分别在%,见…・,4的k 个分量后任意添加〃?个分量处也,…・，%
因为%，22线性无关，所以,
又因为
1 1 1 -1
=一2工0,且外，见线性无关，所以向量组/+々2，%—。

2的秩为2,
(7=1,2,…,s)所组成的4+ m维向量，证明：
(1)若]，见，…，火线性无关，则力I，用,…，氏线性无关：
⑵若4，A，・・・，其线性相关，则％，%,・・・，4线性相关.
证：证法1,⑴设力= (%,%，…，a) B =1P\,瓦,…,/3),因为a1，%,...,%线性无
关，所以齐次线性方程AX=O只有零解，即，，(A) = s,且r(8) = s,4，A，.…&线性无关.
证法2,因为线性无关，所以齐次线性方程AX = O只有零解，再增加方程的
个数，得3X=0,该方程也只有零解，所以4,A，…,凡线性无关.
(2)利用反证法可证得，即假设外,%，…，4线性无关，再由(1)得才，夕2,…，氏线性无关，与回，打，…，氏线性相关矛盾.
9.证明：4 +22，a2 +。

3，a3+4线性无关的充分必要条件是4，&2，&3线性无关.
U 0 1、
证：方法1,(% +&2，。

2 +23，&3+囚)=(2],々2，。

3) 1 1 0
、0 1 1；
1 0 1
因为4,%,%线性无关，且1 1 0=2。

，可得4 +22，。

2 +23，23 +%的秩为3
0 1 1
所以4 +a2.a2 +a3.a3+a1线性无关.线性无关：反之也成立.
方法2,充分性，设%,%，出线性无关，证明/+々2，。

2+。

3，々3 + %线性无关・设存在占，42，%3使得占（4 +%）+ 勺（4 +%）+ %3（% + ?）=。

,整理得, （勺+&）4 +6 +3）% +（氏2 +勺）% =。

因为囚，22，&3线性无关，所以
k +3 = 0
+K=o,可解得匕=葭=七=0,所以a+%，出+4，4+«线性无关.
您+3=0 * ，
必要性，（方法1）设4 +。

2，&2 +々3,23 +3线性无关，证明%,%,%线性无关，
假设外,a2，%线性相关，则中至少有一向量可由其余两个向量线性表示，不妨设%可由%，出线性表示，则向量组1+%,22 +23，。

3 +%可由%,。

3线性表示，且3>2,所以4 +%,%+%，%+%线性相关，与4 +。

2，。

2 +23，。

3 +%线性无关矛盾，故。

],。

2,23线性无关.
方法2,令4=%+%，A =a2+%,43 =%+ %，设存在勺《2,勺使得
k}a} +k2a2 +k3a3 = 0,由/?1=a1+3？，A =&2 +%,& =% 十% 得
%=；（4 一月2 +23），&2 =；（+ 用一ZV,4 =-1（力一尸2 一凤），代入乙乙乙
k l a l + k2a2 + k3a3 = 0 得，
k\小民一02 + ++ 夕2 -尸3）+> 3（-川+A2+尸3）= °，即
乙乙乙
（k[ +k] -kJ。

、+（—攵i +0 +左3）22 +（k「k? + 砥）夕3 =0
k+k2 - kb =0
因为巴，与，夕3线性无关，所以+&+自=0 k x-k2+k3 =0
可解得占=&2 =&3 =°，所以q.巴，。

3线性无关・
10,下列说法是否正确？如正确，证明之：如不正确，举反例:
(1)•…(相＞2)线性无关的充分必要条件是任意两个向量线性无关;
解：不正确，必要条件成立，充分条件不成立，例：2维向量空间不在一条直线的3个向量,
虽然两两线性无关，但这3个向量线性相关。

设%=
兄，a”4两两线性无关，而线性相关・
(2) %,。

2,…，a.(加＞2)线性相关的充分必要条件是有加一1个向量线性相关;
解：不正确，充分条件成立，但必要条件不成立，例：设生 =
名线性相关，而俩%,%,%两两线性无关・■ 〉
(3)若《，外线性相关，回，用线性相关，则有不全为零的数占，心，使得
占% + k2a2 = 0且kM +&用=°，从而使得心% +公+七(% +12)= 0，
故4+A，%+夕2线性相关・
解:不正确，因为4, %线性相关和A线性相关，不一定存在同一组不全为零的数
k1,k?,使得/q+k2a2=0和占四十七自=0成立：或者说存在两组不全为零的数
攵”22和，1/2使得占e +k2a2 =0和乙4 +，2 A =0成立，(4).若4,%,出线性无关，则-a2.a2 -。

3，23 一/线性无关.
解：不正确，因为取1, 1, 1这组常数，使得(?一。

2)+(£2 —。

3)+(&3 -2])= 0,
所以q -a2.a2 -a3,a3 - % 线性相关.
(5)若名,22，。

3，々4 线性无关，则4 +22，22+。

3，。

3+24，。

4+4 线性无关：
解：不正确，因为4 +%,%+%，%+%，%+%线性相关，
由9题，〃为奇数个时，线性无关，〃为偶数时，线性相关.
(6).若%, %，％，…，氏线性相关，则4 +&2，々2 +C3，・・・，C〃-l +a n^a H+a\线性相关；
解：正确，因为外，%,%，…，氏线性相关，所以4,中至少有一向量可由剩余的77-1个向量线性表示，则％+。

2，々2 +6?，•一，a〃-1 +a〃，£” 十%也可由那剩余的77-1个向量线性表示，再因为II> 7? - 1 ,
所以4 +。

2，。

2 +。

3，・・・，々〃-1 +2〃，C〃+(X\线性相关.
11.如果。

1,。

2，。

3，。

4线性相关，但其中任意3个向量都线性无关，证明必存在一组全不为零的数攵卜々2，％3，%4，使得占％+k2a2 +k3a3 +k4a4 = 0.
证：因为外,%，%，%线性相关，所以存在不全为零的常数攵1，攵2/3，"4，使得
k.a] + k1a1 + k,a, + k,a. = 0,假设％= 0 ,则k、a, + k,a, + k,a. = 0 ,
得见，%，%线性相关与题设矛盾.故占HO ：同样方法可证得攵2，勺，*4都不为零・
所以该命题成立.
12.若%,巴，.・.，4线性无关，证明：/7,/,%,.・.，巴线性无关的充分必要条件是?不能
由4,22，・・・，。

7线性表示.
证：必要性，假设夕能由4,%，…，％，则2，4,22….，见线性相关与
一6,4, .…小线性无关矛盾,故夕不能由小,%…・,4线性表示.
充分性，设存在攵0次1次2,…使得攵0月+占。

1 +Z2a2 +%3a3 +・••+£% =0 ,
若攵0。

0,则仅能由4,%，%，・・・，明线性表出，矛盾，所以攵0=0,
因此,k{a} +k2a2 +k3a3+ - + k r a r =0,又因为名，见,・..,火线性无关,
所以尤=口= •• = £ =。

，故，…,凡线性无关. B ，r ' I 」厂
13.求下列向量组的秩及其一个极大线性无关组，并将其余向量用极大线性无关组线性表示：
⑴ %=(6,4,1,9,2), a2 = (1,0,2,3,-4), = (1,4,-9,-6,22), a4 = (7,1,0-1,3)；
(2) a1 = (1,- 1,2,4),% = (0,3],2), a3 = (3,0,7,14),% = (2,1,5,6),4 = (1,-1,2,0)；
(3) % =(1,1,1), % =(1,L。

)，% =(1。

)，% =(12-3).
r6 1 1
7、’101
0、
4 0 4 1 0 1-50
解：(1) 12-90 -> ---- > 0 0 0 1
93-6-1 0 0 0 0
、2 -4 22
3 .0 0 0 0；
所以，向量组的秩为3,4，22，。

4为一个极大线性无关组，。

3=%一5。

2・
(2)类似(1),可求得向量组的秩为3,
为一个极大线性无关组，且々3 =34 +a2 ,=々4 -2] 一々2・
(3)类似(1),可求得向量组的秩为3, 4,。

2，%为一个极大线性无关组，
% = 5a2 _ 3% 一 % >
14.设向量组：。

=(1-1,2,4),^ = (0,3,1,2),4=(3,0,7,14),^ = (2,1,5,6)© = (1-1,2,0),(J5 = (2,1,5,6).
(1)证明。

，统线性无关：
(2)求向量组包含。

，统的极大线性无关组.
(D 证：设存在号次2,使得公昴+女苫；=0,求得占=攵2=。

，所以。

，与线性无关；
’1 0 3 1 2、
(
\ 0 3
0 1、
⑵解，
国用局同间)=
-1 3 2 1 0 7
-1 2
1 5
—>
• 一 T 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1
J 2
14 0
3
<0 0 0 。

0,
所以，。

，与，4为包含却 统的一个极大线性无关纨
15,设A,8皆为〃阶矩阵，r(A) < n,r(B) < n ,证明：
(A 0]
(1)秩 =r(A) + r(8)；
[0 B)
「A C\
(2)秩0 ^j>r(A) + r(^), C 为任意，阶矩阵.
证：(1)设NA) = 〃/(8) = G ，则存在〃阶可逆矩阵P,Q, P ,0,
使得尸4Q = . PBQ =
°)
,从而
oj 1°
f P 0 VA 、o P /O Q)。

0 0 0、 0
0 0 0 E r 0 0
0 0,
A oye o
J|o Qji+「2=NA)+ "8).
，A C\ (2)因为秩(A C)N «A),所以秩 >r(A) + r(B). v° B, 16.证明 r(AB) < mm(r(A),r(B)). '如如…班'
A8 = (q 见 …％) b?i … 的列向量组外….，九可由A 的列向量组 4a?…a.”
证：设A,8分别为mxn.nxs 矩阵，将A 按列分块，则有 %,a2，…，。

“线性表示，故"A8) = A8的列秩4A 的列秩=r(A),同样，将8按行分块, 得r(A8)<r(8),因此，该命题成立. 1.设A3分别为〃7X 〃,〃X"?矩阵，且 证明：齐次线性方程组(A8)X =0有非零解. 证：由min(«A)/(8)) <〃<〃?，所以|A 目=0,故齐次线性方程组(A8)X =0有 非零解.
18.设A是一个sx〃矩阵，8是由A的前〃?行构成的m x n矩阵.证明：若A的行向量组的秩为r ,则r(B) > r + m-s .
* / \
心明
证：设% =(%,《2,…，%)i = 12…・,s, A = , B = :.
* a
•s m /
< a-
设r(8) = p,于是，8的行向量组的极大线性无关组卜,「《‘，.…q, )含〃个向量。

因此，A的行向量组的一个极大线性无关组是向量纽■心”，, a“小，…,aj的一个子集，所以它所含向量个数W p + (s-m),即r(A) = r< p+(s-m),
从而,r(B) = p> r + m-s .
求下列(19—22题)矩阵的秩，并指出该矩阵的一个最高阶的非零子式：
T 2 3 4 5、
00-1-2 -3 19.
0 0 0 0 4
<0 0 1 2 -1,
」2 3 4 5、 1 12 3 4 5 )
00-1-2 -3 2 00-1-2 -3
解：—>…―
0 0 0 0 4 4 0 0 0 0 -2
<0 0 1 2 一1, 3 ,0 0 0 0 0 ,
所以，矩阵的秩为3。

1 3 5
0 -1 -3 =-4工0为一个最高阶的非零子式。

0 0 4
所以，矩阵的秩为3。

3 2-1
2-13 =-14工0为一个最高阶的非零子式。

4 5-5
1 10 0、
2 110
12.
0 2 11
0 2 L
,1-12 1 O'
2-24-20 20. 3 0 6 -1 1 ,0 3 0 0 1,
-I 2 1 0) If 1 -1 -24-20 0 6-11
4 0 3 T > 3 0 0
3 0 0 1；
210 0
2
1 0、
0 0 1
0-4 0
0 0 0；
所以，矩阵的秩为3。

1 -1 1
3 0 一1 =12。

0为一个最高阶的非零子式。

0 3
「3 2 解：2 -1
<4 5
-1 —3 _2) fl 3 -4 9
1 -3 ->——> 0 -7 13 -17 -9
-5 6
1
0 0 -2 -13 -2 \
110 0 2 110
=—100为一个最高阶的非零子式。

0 2 11
0 0 2 1 23 ,设4是一个mx 〃矩阵，证明：存在非零的〃 xs 矩阵8,使得A8 = 0的充要条件是
r(A) < n.
证：设齐次线性方程组AX = 0, 8 =(4 p 2 ... 8)工0,则由AB = 0,
可得A?,=0,/ = 1,2，…,s,由于，B =(A 4...&)工0,至少有一个g WO,
再由4X = 0有非零解的充要条件是«A)v 〃，故，44=0,/ = 12…,s,
至少有一个用工0的充要条件是"A)v 〃.
24 .设是同形矩阵，证明：A 与8相抵的充要条件是“A) = «8).
证：设4,8是〃?X 〃矩阵，“A) = r/(8) = 〃，则存在可逆矩阵8，己，0,。

2,
(6)7 RA0QT = 8 ,令(R 『8 = P,2。

丁 =。

，故，PAQ=B 因此，A 与8相抵.
必要性，因为A 与8相抵，所以，存在可逆矩阵P,。

，使得尸4Q=8,
(1100、
P 10 0、 2 110
0-110
0 2 11
0 0 10 ,。

0 2 1；
<0 0 0 1；
解:
所以，矩阵的秩为4。

'E, 0、
< 0 0;
，P ?BQ ? =
Ep 。

、
0 oj
充分性，因为r(A) = r(8),所以，P.AQ [=
I 。

0、
0;
因此，r(A) = r(B).
25.设A是m x 〃矩阵(〃7 < 〃)，r(A) = m ,证明：存在n x m矩阵B使得AB = I m .
证：因为«A) =，〃，所以，存在可逆矩阵P,Q,使得尸4。

=亿〃0),所以有
AQ="4” 0),
AQ = P-l(I m O)= (P-' 0), (1)
P}
(1)右端乘〃X〃?阶矩阵T= ，得AQT=/j”，令QT = B,
i °,
故，AB =/…
26.证明：若〃阶方阵A的秩为r,则必有秩为〃一，•的〃阶方阵8,使得氏4 = 0.
证：因为/?阶方阵A的秩为r,所以的秩为r,则A，X =0的基础解系含有〃一r个线性无关的解向量，取这〃-厂个线性无关的解向量X.・.，X“f为8,的列向量，则r(B')= 〃一—=r(B).因此，该命题得证.
27.证明：任何秩为r的矩阵可以表示为r个秩为1矩阵之和，而不能表示为少于r个秩为1 的矩阵之和. 4
4 (E r 0]
证：设A为秩为r的矩阵，则存在可逆矩阵P,Q使得尸AQ= ,
E 01
所以，A = PT j ° Qi =PT(81+・+里)0-1 =尸-力卫-1+・+尸7纥0T ,其中
为秩为1的矩阵
因此，任何秩为r 的矩阵可以表示为，,个秩为1矩阵之和.
后部的证明，(反证法)假设A 为秩为r 的矩阵，能表示为少于「个秩为1的矩阵之和，不 妨设A 能表亦为〃个铁为1的矩阵之和，其中，p<r,设4 =(用+…+练)，其中
8卜・・・，约是秩为1的矩阵."A)4r(3]) +…+ r(8p) = per,与"A) = r 矛盾.
28 .求下列齐次线性方程组的一个基础解系及一般解:
Xj - 占 + 5x 3 -x 4 =0 X[ +x 2 - 2X 3 + 3X 4 = 0 3xj - x 2 + 8占 +x 4 =0 x, + 3X 2 -9X 3
+7X 4 =0
取七,％4为自由未知量，令当=1，8=。

和工3 = °，工4 = 1，得原方程组的一个基础解系为
3 7
XI=(-5,X? =(--2,0,1)、 乙 乙
<1 -1 5 -1)
1
0 3 2 \
1 1 1 -
2 3
0 1
二
2
- -- >
3 -1
8 1
2
0 0
k1 3 -9 7 ,
<0 0 0 0;
解:
(1)
因此,一股解为X =k1X 、+k)X 卢人 1 1 1， 1 ’_3
、 一 5
7
2
1
I
T1 -2
I 1 >
,其中占为任意常数・
3x)+x 2 - 8x3 + 2工4 +x 5 =0 2』一 2X 2 一 3X 3 - 7X 4 + 2X 5 = 0 Xj +llx 2 -12X 3 + 34X 4 -5X 5 = 0
一 5X 2 + 2占 - 1 6X 4 + 3X 5 = 0
(3
1 -8
2 1、
_12 S _3 8
1、
2
-2
-3
-7
2
0 1
7 -TT
25 -T7-
_ 1
解：
T - ・->
3
3
1 11 1
2 34
-5
0 0
0 0 0
k1 一5 2 16
3 ;
<0 0
0 J
取 x 39x 4,x 5 为自由未知量，令 x 3 = l,x 4 =0,x 5 =0 , x 3 =0,x 4 = \,x 5 =0 和
x 3 =0,匕=0,% =1,得原方程组的一个基础解系为
19 7 r 3 25 r 1 1 T
X]=(三■，丁,1,0,0) , X 2 =
(~>—— ,0,1,0) , X 3 =(— — ,—,0,0,1), o o o o 2 2
因此,一般解为 X =k [X l +k 2X 2+k 3X 3=k 1
为任意常数.
29 .求下列非齐次线性方程组的一般解：
2Xj + 7X 2 + 3X 3 +X 4=6 (1) < 3须 + 5X 2 + 2X 3 + 2X 4 = 4
9X| + 4X 2 +X 3+ 7X 4 = 2
取心,当为自由未知量，令々=七=0，得方程组的一个特解：X()=(8AO-1O)7
,
再令x 2=tx 3=0和±=0,均=1 , 得其导出组的一个基础解系：
_ IT OOI ‘ 1 I
岛 十
> I 1/ 3・
3 八
T010 / I 2 fK + A > I > 19-87-8 1 o o
»其中，,卜3
(2 7 3 1 6
9 解： 3 5 2 2
4 T ---- > 0 -11
4 1 7
2 z
1 -10 ° 4 0 8 -5 0
X1= (-9,1,0,11)7, x? =(7,o,1,5) J
所以，方程组的一般解为x = Xo+k]X|+ex2，其中占,3为任意常数・
3 + x 2 + x 3 + x
4 + x
5 = 7
⑵ J
3x, + 2X1
+ 匕 + 七 - 3X 5 = -2
x 2 + 2X 3 + 2X 4 + 6X 5 = 23
5X[ + 4X 2 + 3X 3 + 3X 4 -X 5 =12
X0= (—16,23,0,0,0)，
再取0 = 1,X4 = °，勺=0 ,七=°，Z = I ，/ =0和工3=。

，当=°»5=1得其导出组的一个 基础解系：X1=(1,一2,1,0,0)。

乂2 =(120,1,0)。

X3 = (5,—6,00,1)7
所以，方程组的一般解为X=X O +&X|+&X2+23X3，其中匕次2/3为任意常数・
30.讨论PM 取何值时，下列线性方程组有解、无解，有解时求其解.
(p + 3)为 +x 2+ 2X 3 = p
+(〃 - 1)工2 +X3 =2〃 3(p + l)Xj + px 2 +(〃 + 3)0 = 3
p
― “2 —3p + 6 p" +3p 2
-]5p + 9.
「p + 3 1 解： p
p-1
Till 1 7、
10-1-1-5 -16
3 2 11-3
-2
0 12
2 6
23 解：
—> --- >
0 12 2 6 23
0 0 0 0
0 0
15 4 3 3 -1
%
0 0 0 0
\
取 x 3,x 4,x 5,为
令 x 3=x 4=x 5=0
得方程组的一个特解：
p + 3
― P 2
+ P +
3
“(P -1)
P
2p - ------ > 3)
自由未知量，
、3(〃 + l) p
所以，〃 =o或〃=i时，该方程组无解,
所以，当〃工0或9工2时，方程组无解;
再取 x 3 = l,x 4 = 0,x 5 = 0 , x 3 = 0,x 4 = 1,与=0 和匕=0,x 4 = 0,x 5 = 1 得其导出组的一个 基础解系：X] =(1,—2,1,0,0尸,乂2 ="—2,0,1,0)7,乂3 =(5,-6,0,0,1)
有唯一解是
p
―// —3p + 6 0 p' +3//- 15p + 9, - --- > 0 1 0 0 0 1 1 0 0
p 5
+!2p-9 p 2
(p-l) _4p\3P2.i2p -9
P 2
(P -I ) p 24p-l>
y _ p'+3P2—15p+9
p 3
+12/7-9
PYPT) -
PYP - I)
乂3 =
_4p3 + 3p2+]2p-9
P“pT)
(2)
X] + x 2 +x 3+ x A + x 5 = 1 3%| + 2X 2 + x 3
+ x 4
- 3x s = p x 2 + 2X 3 + 2X 4 + 6X 5 = 3 5x)+ 4X 2 + 3必 + 3X 4 _ x, = q
解:
1
3 0 A
1 2 1 4 1 1 2 3 1 1 2 3 1 -3 6
-1 f ----- >
q)
1 0 0 0 1 1 0 0 1
2 0 0 1 2 0 0 1 6 0
0 P
q-2.
当〃 =0且g = 2时, 令,q=X4=X5=0,得方程组的一个特解：Xo = (-2,3,O,O,O)『；
方程组有无穷多解,
取与一口，与为自由变量,
当〃 =1时，方程组无解；
fl 1 2 -1 1、
n i 2 -1 ］、
0 1 2
3
-1
0 12 3
-1
当〃 =2时，
——>
A 000 q —3
夕-2
0 0 0 1
2 、0 0 0 q — l q+2)
,0 0 0 0
4f
所以，当〃 =2且q = 4时，方程组有无穷多解，（10,—7。

2丫 4（0,—21,0）,，其中k 为任意 常数。

当〃 =2且彳工4时，方程组无解。

31,设A 是〃?x 〃矩阵，证明：若任一个〃维向量都是AX = O 的解，则A = 0.
证：因为任一个〃维向量都是AX=O 的解，则〃维向量与=（0….,0,1,0….0）7 （第i 个分 量为1其余分量均为0的列向量）满足从（£,・・,£“）=（力弓,・・・,力£〃）= 0,即4/ =。

，其中
所以, 数.
r
l 1 2 -1
1、
<1 1
1 -1 -
2 -7
3
0 1
解：
T
--- >
0 1Pg
q -3
0 0
k
l 1 2 (7-2
c/ +
3.
<0 0
2 -1 1、 2
3
-1
p-2 夕-3 夕-2
0 乡T
q +
2.
方程组的一般解为x=
%1 + x 2 + 2X 3 -x 4 = 1
x 2 + px 3 + qx 4 =q-3 西 + x 2 + 2x y
+(q_ 2)X 4 = q + 3
所以，当〃工2且gwl 时，方程组有唯一解。

/是〃阶单位方阵，因此，A = 0.
32.设4是一个mxs矩阵，8是sx〃矩阵.X是〃维列向量.证明：若(A8)X=0与
8X=0是同解方程组，则NA8) = r(8)・
证：因为若(4B)X=0与8X = 0是同解方程组，所以，(A8)X=0的基础解系所含解向量的个数与6X = 0的基础解系所含解向量的个数相等.
即〃一4A8) = 〃—，・(8),因此，r(AB) = r(B).
33.设4是〃?x〃矩阵，8是〃xs矩阵，证明：若A8 = 0,则“A) + N8)K〃.
证：设8 =(综…血),其中用，…，。

是一组列向量,由A8 = 0得，
Ap}=0,/ = 1,…,s.若“A) = r,则AX=O的基础解系含有〃一r个线性无关的解向量，
而四,.…氏为AX=O的解向量，则用,…,优可由AX =0的基础解系线性表示，
所以，r(B) < /? - r = /2 - r(A).
故，r(A) + r(B) < n.
34.设A•是〃阶矩阵4的伴随矩阵,证明：
& r(A) = n
(1)r(A*) = h, r(A) = n-\
0, r(A)<??-l
(2)A* =『.
证:(1)由于A4=|A|/,当44)= 〃时，同WO,所以A“00,得6)= 〃：
当NA) = 〃一1时，即至少有一个〃一1阶子式不等于零，所以/Two,且同=0,
因为A*工0,所以“AlNl.
因为同=0,所以44・=0,即A*的每一列均是齐次线性方程组Ar = 0的解，所以,•(A*) < /7 - r(A) = 〃一 (〃 - 1) = 1。

因此，r(A*) = l ：
当r(A)〈〃一1时，A的任一〃一1阶子式都等于零，所以/T=0,故厂(4.)=。

0 (2)当网W0时，由AA*=|纯，得=
当间=0时，即r(A)4〃一1,由(1)知，r(A*)<l,从而,[ = 0,所以k]二|川-也成立，
「，
故，对任意〃阶方阵A ,都有：|A J=|A
35.设4是〃阶可逆矩阵(〃> 2),证明：(A)二|A「2A.
证：因为A是〃阶可逆矩阵，所以A*是〃阶可逆矩阵，且=
因为A.(A')' =pf',所以(A)=|A[(A.)L
又因为A4=|A|/,所以(/f)T=3。

同
因此，(A*J =|A[(AT =|A尸3 =图~7 o
nl
36.设4是〃阶矩阵，证明：非齐次线性方程组AX=Z?对任何/?都有解的
充要条件是同W0.
证：充分性,因为同工0,所以「(A) = 〃 = r(A,〃)。

因此，对于任意〃，r(A) = n = r(A 9b)9 AX=〃有解.
飞、
必要性，(反证法)假设同=0,则「(4)<〃。

设4= % ，则… q 线性相关,
从而其中至少有一个向量能由其余向量线性表出，不妨设可由％,22一.・,。

〃_］线性表出,
37 .设 X] — X? = % ,工2 一 工3
证明：这个方程组有解的充要条件是Z% =0,在有解的情形下，求出它的一般解。

/.1
证：因为 X1 -X 2 =%, x 2 =。

2,当 一工4 =43, X
4 _匕=〃4,工
5 一 七=〃5，
取力=(0,0 0
矛盾。

则(A,。

)—…—
%-
、0
、
0 b
即“A)vr(Ab),所以方程组无解,
即
T
0 0 0 -
，1 0 0 0 -1 %
-1 1 0 0 0
-1
1 0 0 0
%
令人=
0 -1 1 0 0
,增广矩阵(A,%) = 0
-1 1 0 0 “3 0 0 -1 1 0
0 0 -1 1 0 的
<0
-1
1)
<0
-1
1
“
方程组有解的充要条件为r(A)="A,b)即=0。

X 。

= (% +a 2 +a 3 +a 4,a 2 +a 3 + a 4.a 3 +a 4,a 4y 0),
：
再取％ = 1得其导出组的一个基础解系：X] = (1/,1,1,1)
"1-10 0
%)
1 0 0 0 -1 q + % +。

3 + % 01-100
0 10 0-1
a 2 + a 3 + a 4
0 0 1 -1 0 % -> ---- > 0 0 10-1
4+%
0 0
0 1 -1 %
0 0 0 1 -1 a
4
0 0
0 0
0 0 0 0 0
当 Z%=。

时
取x 5为
自由变量， 得方程 组的一个特解：
1 -1 0 0 0
0 1 -1 0 0 a 2
0 0 1 -1 0 “3
0 0 0 1 -1 %
-1
1
%,
1 一1 0 0 0
、
0 1 -1 0
Ch
一
0 0 1 -1 0
0 0
0 1 -1
〃4
0 0
(4 +。

2 + % +。

4 +,
-> --- >
令 x 5 =0
基础解系，则AX=〃 一般解是：
(A) k i a ] + k 2(a ] +a 2) +
； (B) + k 2(a 2 -a })+ -3
2
2
(C)占% + 攵2(P1 + 42)+；
(D) %% +攵2(笈一夕2)+
2
2
解：可证得力, %—生，是线性无关的且是AX=O 的解，因此是AX = O 的一个基础解系, 从+乃是
AX=b 的一个解,因此，选（B ）.
2
2 3'
4 r , p 为非零矩阵，尸。

=0,则:
6 9,
3 3、
4 t ,所以“P） + «Q ）W3,又因为尸为非零矩阵，所 6 %
以 NPR1,当 1W6 时，r(0 = 2,因此，l<r(P)<l,即 r(P) = l,故选(C).
40.设％ =（〃”。

2，〃3）7 ' a
i =（伉也也）7，% =（。

1，。

2，。

3）,，则三条直线
%x + 4y + c, =0,(°； +〃； ¥0),(i = l,2,3)交于一点的充要条件是:
6/, + % +。

3 +。

4
11
a 2 + % + %
1
所以，方程组的一般解为X =Xo+AX| =
+ k 1
1
1 0 J
u>
其中攵为任意常数。

38.已知四，A 是方程组AX=O 的两个不同解，%,%是对应齐次线性方程组AX=O 的 T 39.已知。

=2 0 (A)当，=6 时，r(P) = l ； (B)当 1 = 6时，“尸)= 2;
(0 当 /工6 时，“P) = l;
(D)当/工6 时，r(P) = 2 ；
解：因为PQ = 0,且。

=2
、3
(B) %,%,%线性无关;
(C) r{tz p <z 2,a 3}=r{%,%}； (D) /,a2，火 线性相关，％,。

2 线性无关・
% A 心
r a 2 b 2 -c 2 = 2 ,即q,a2，々3线性相关。

'q b
\
Y a 2 b 2 =2,即4,。

2线性无关。

所以，选(D)0 ，3 &
41 ,设A 是m x n 矩阵，r(A) = m(jn < n), 3是〃阶矩阵，下列哪个成立?
(A) A 中任一〃z 阶子式HO ； (B) A 中任意加列线性无关；
(0 卜 0； (D)若 A8 = 0,则 8 = 0：
(E)若 r(B) = n ,则 r(AB) = m.
解：选(E). r(8) = 〃，所以8 可逆，r(AB) = r(A) = m.
42 .设%，。

2，・・・，％〃(4仁R",i = 1….，〃2,〃7 > 2)线性无关，下列哪个成立？
(A)对任意常数占次2，%3，・・・，匕〃，有占％ +攵2a 2 +…=0 ；
(B)任意女(左〈加)个向量％…线性相关；
(0对任意/£/?〃，4〃,《线性相关; (D)任意4(% V 〃。

个向量％…%线性无关.
解：因为《 /X + b2y = —。

2有唯一解的充要条件是/ a
2
a 3x +
b 3y = -
c 3
4
b 2 =
4/。

2 b
2 一。

2 =2,
% % -C
3>
解：选(D),因为整体线性无关，部分必线性无关。

43.设a,夕/线性无关，a,线性相关，下列哪个成立？
(A) a必可由/7,/»线性表示；(B)?必可由线性表示；
(0 3必可由a,//线性表示；(D) 3必不可由线性表示.
解：选(C)。

因为2,氏7线性无关，所以a,A线性无关。

因为a,4线性无关，a、/3、b 线性相关，所以6必可由a,4线性表示，从而6必可由a,/,y线性表示。

44.设4是4x3矩阵，r(力)=1,是非齐次线性方程组AX=/?的三个线性无关解，下列哪个是AX = 0的基触解系？
(A)当+蜃+蜃⑻蜃-24
⑹ 4一"一与(D)。

+务刍+专
解：因为r(A) = l,所以4X = 0的基础解系含有2个线性无关的解，因此(A), (B)不正确。

(D)的两个解不是AX = 0的解，故选(C).
45.设向量组｛4,4，%｝线性相关，(%，%，%｝线性无关。

回答下列问题，并证明之。

(1)%能否由｛%,出｝线性表示？
(2)%能否由｛%，%，%｝线性表示？解：(1)因为%，。

3，%线性无关，所以%，%也线性无关，又因为4,%,%线性相关，所以%可由线性表示。

(2)(反证法)假设%能由4，%，由线性表示，再由G)，%能由。

2，。

3线性表示，所以。

4能由。

2，。

3线性表示，即火，。

3，。

4线性相关，与%,4，%线性无关矛盾。

所以， %不能由｛%，%，% ｝线性表示。

46 ,设4为〃阶矩阵，若存在正整数“AN2)使得不。

=0,但从心力。

(其中a为〃维非零列向量)，证明：2,42,・・・，万1。

线性无关。

证明：(定义法证)若0a +心Aa + -・ +九41々=0,
上式两边左乘A"”得，t.A^a + t2A k a + --- + t k A2k-2a = 0
因为A*a = O,所以A"+ia= — = A2h2a =。

因此，t｝A k^a = 09又因为得a=0。

利用同样方法，可求得G =G =一.=4=。

，
因此，々,4。

,...，不一2线性无关。

47,设4,8分别为〃x〃7,〃7x〃矩阵(n <m),且A3=/ (〃阶单位矩阵)，
证明：8的列向量组线性无关。

证：因为A8=/,且〃 <〃z,所以，(A8) = 〃 < min(r(A) j(8)) W 〃，
因此，r(B) = n ,而8是〃? x n矩阵,
故，8的列向量组线性无关。

48.已知秩{%,%，％ }=秩(4，夕2,夕31，其中% =。

2-3)'02 =(3,0,1)，
% = (9,6,-7)T; Q =(0JT),血=321),血=(" 1，°尸，且自可由
4,线性表示，求〃力的值。

13 9b)
p -1 1
-1 解:(4,%,4,"):
2 0 6 1
—> --- > 0 2 4
3
「3 1 -7 0J
0 0 0 -5 + 〃，
所以秩｛%,%，4｝ =2©
(
0 a 5]
r
-l 1 0 、
(h AM)=
1 2 1。

1 1
「1 1 0J
；0 。

5-W
因为秩｛/?］，A ，/73 ｝二秩｛4，%，%｝=2,所以5 — L =
，1 a ••• a 、
a 1 •一 a
49.设 A=...
.为〃阶矩阵(〃N3) , « e R ,且 r(A) = 〃一 1,求
a …1 ；
解：因为r(A) = 〃-lN2 (n > 3)所以 aWl
所以，4 = 15。

因为夕?可由％,%，%线性表示，所以有。

-5 = 0,因此，b = 5 Q
3 9、 1 2。

0,
/， \
T 0 0
-1 1 a … a
0 -1・・・0
1
a \
a
A =
一…一＞
• • • • •
• • 0 0・・・-1
1
a a (1)
\
z
、0 0 ・・• 0 (n - \)a
因为 r(A) = 〃- 1,所以(〃- l)a +1 = 0, 50.设〃阶矩阵4的每行元素之和均为零，又NA) = 〃-1,求齐次线性方程组Ax = O 的通 解。

解：因为"4) = 〃-1,所以齐次线性方程组Ax = O 的基础解系中含一个解向量。

设A =(4 A ...仇),因为A 的每行元素之和均为零，所以4+4+・・・+瓦=0
是齐次线性方程组Ax = O 的一个基础解系。

从而，Ax = 0的通解为:
1
& = k .,其中攵为任意常数。

J
51.已知下列线性方程组I, II 为同解线性方程组，求参数〃7,”,1之值。

x x + x 2 - 2X 4 = -6,
< 4为-x 2 - x 3 - x 4 = 1, 3- -x 2-x 3 =3;
%i + mx 2 _ x 3 -x 4 = -5, II: nx 2 -x 3 -2X 4 = -11, 占—=T + 1.
’1 1
0 -2 -6、
T
0 0 -1 -2、 解：因为 4
-1 -1 -1 1
—…—>
1 0
-1
-4
3
-1 -1
3 /
0 1 -2 -5j
/ 所以，(-2,-4,-5,0)/是方程组I 的一个解，因为方程组I 与II 同解，所以它也是方程组
II 的一个解,将它带入方程组II,可得：〃7 = 2,〃 = 4,/ = 6。

因此，a = —!—
1 一〃
I:
52.设a = (l,2,l)r,= (1,1,0)z,/ = (0,0,8)z y A = a/f\B =/31 a ,求解方程2
2B2A2x = A4x + B4x + y o
解：即求解非齐次线性方程组：(282A2—A4-84)x = y
1-8 4 0 0、’1 0 -1 \\
2
国为(2B2A2_84_A4,y)= 16 -8 0 0 —.... 0 1 -2 1
0 0 0
8 4 -16 8
/
所以(2B2A2 - A4 - 84)x = y的一个特解为：(Ll,0)「。

2
(1,2])为其导出组的一个寒础解系o
因此，。

公屋一筮一夕口二产的一般解为：(Li。

)?+%(1211，其中，k为任意常数。

2
53.设〃阶矩阵A = (%,%，・・・,%)的行列式同WO, A的前〃一1列构成的〃x(〃-l)矩阵记为A =(%,。

2，・・・，々〃-1)，问方程组41=%有解否？为什么？
解：无解，因为r(A]) = 〃- 1, r(A，a〃)= 〃。

54.设a,//均为非零的〃维列向量，A = ap l\证明：A中任意两行(或两列)成比例。

解：因为厂(4)《1而】(“2),，(/7 )) = 1,所以A中任意两行(或两列)成比例。

在主对角元为1的上三角矩阵U 和下三角矩阵L,使得乙4U =
解：由分块矩阵的初等变换，不难知道:
h - A ；%' 0
56.设皆为〃阶矩阵，证明：
(1)
det(x/ - AB) = det(/lZ - BA) (4 为任意常数)。

所以
55.设〃阶矩阵A 分块为A = "Ai A 2 4142
,其中A”为女阶可逆矩阵 (k<
n-k 7\
A 一用凡 0
Al
4i
A.
n-k
A 22 ~~
A2|A|1I A 12
证： (1)因为
B
i — A /人 A I
/ B
0 l — AB,
因此,
B ,
.
「『-A 牛
(2) 因为
10 I — BA 01
A
— BN /
A
所以
I —B I B I — BA d
所以，L =
因此,
由(1)即得：= —
⑶分两种情况来讨论。

当；1 = 0时，卜44=(一1)”卜悯=卜94|,成立，
当人工0时，因为，
/ O Y Z
B ] (I
「4 I\A AZ J lo AI-AB) [O I \A 21) [ A R, • ^ ^ / 所以,det(X/ — AB) = det(X/ 一 BA)= A
综上，结论成立。

r(B) = r(C) = r ,使得4 = 8C (提示:利用相抵标准形),
令 pT=(以X, M.J Q-I
因为为可逆矩阵，所以Mm 『的列向量组线性无关，Nr x ”的行向量组线性无关。

即满足条件，从而此题得证。

B AI
57.证明：若A 是阳x 〃矩阵，r( A) = r , 则存在mxr 矩阵8, rx 〃矩阵C,且
证明：因为，r(A) = r,所以存在可逆矩阵P (加阶)、Q(〃阶)，使得
则 A = pT。

07。

-5
[0 0
QT。

)
°)
0)c =
N 1
r^n
N
58.设皆为〃阶矩阵，r(A) + r(B)<n9证明存在可逆矩阵Q,使得AQ8 = 0。

证明：结合相抵标准形，不难知道，存在可逆矩阵七。

］，8，。

2，使得：
"⑶。

1 ( 0°) 小十;杷吟心。

)
因为r(A) + “8)V",所以々A。

1/8。

2=0，令。

=。

］2，则此题得证。

59.证明：囚,。

?,(其中4 W0)线性相关的充要条件是存在一个q.(l<i«r)使得 %可由4,。

工,线性表示，且表示法唯一。

证明：(充分性)因为存在一个生(1 <i« r)使得％可由％,。

2，・・・，区-1线性表示
所以，见，。

)，…，«.线性相关，从而4,…，见线性相关。

I / J I ，)
(必要性)因为%,4线性相关，所以存在不全为零的一组常数人次2,…，心使得
k x a x +k2a2+-+k r a r =0
在使占4 +攵2。

2 + ・・• + £.% =0成立的所有不为零的系数中，必有一个最小的下标i,使匕。

0,但kj=0(J>i)。

下面说明lvi<r。

如果i = l,则占q=0,占W0 ,从而q =0 矛盾。

最后证表示法唯一。

若名，2?,…,q线性相关，则显然得到一组数与前面勺的取法矛盾。

所以，4,4］线性无关。

又因
为4,2、…名线性相关，所以表示法唯一。

1 』I -I J 』I
1-1
60.证明：向量组。

”%,・・.，4线性无关的充要条件是《。

2?，%。

= 2,3,.・.，5)。

x
提示：此命题是59题的逆否命题。

61,设向量组4,。

2,•・一火线性无关，如在向量组的前面加入一个向量/，证明：在向量组P,4,%，…，见中至多有一个向量％(1 Ki «r)可经其前面的i个向量夕，…，6-i
线性表示。

并在R3中做几何解释。

证明：反证，设有两个向量《,%(1 Ki v / K厂)均可经其前面的向量线性表示：
q =3 + 占％ +~ + 匕_0_] (1)
% = //7 + /] % + …+ / 户1 %.] (2)
(l)x/ — (2)xk 得：
(占/一/#)/ + …+ 化，―/,- (/ + //)4 --・・一//_#q7+ka j=O
因为线性无关，所以4,%，・・・，力线性无关，《，%,・・・，/线性无关，因此
k = 0,则由(1)知4.可由a』线性表出,与外,巴，・・・，/线性无关矛盾。

62.证明：在〃维向量空间R〃中，若向量a可经向量组/，。

―・・,弓线性表示，则表示法唯一的充分必要条件是向量组4,。

2,…，4线性无关。

证明：(充分性)设有表示法
a =k.a. +k、a, + - + ka v I 1 N ，J 、
a =La. ++ -+/a c
两式相减得：(占一/1)%+也2 -/2)% +…+化一/$)% =。

因为％,巴，.一凡线性无关，所以k =l1,k2=l2,…,k$ =/、,即可证表示法唯一。

(必要性)反证，设%,%,・・.,4线性相关，则存在不全为零的一组数设为〃1，〃2,…，P J使
得 P 。

+ p 2a 2 + ・・. + p s a s = 0
因为向量a 可经向量组q,…,4线性表示，所以存在一组常数名,%…使得
a = + q 2a 2 + ・.・ + q s a s
所以，。

=(〃]+%)%+(〃2+%)%+i + (〃5+巩)《
因为/乙，〃2,•…P 、不全为零，所以这是异于上面的另一种表示法，从而与表示法唯一矛盾。

63 .设A 是〃阶矩阵，r(A) = 1 o 证明：
/ 、 %
⑴4= a
： …,b),
⑵T=〃A
证明：（1）因为r （A ） = l,所以A 的每行向量成比例，即得此结果。

（1）证明：若Ay = Z?有解，则4。

,=0的任一组解内,々….,二必满足方程
(4也, (4)
%
°
（仇也，…也）
a
J
令4 =（4也….也）「
即彳导此^吉果。

64.设 4 =
，/? = （4,方2，・・・，〃〃）,，* =（%1，%2，・・・，再〃）
证明：(1)因为Ay = Z?,所以// =)，［/ o 因此，对任一组引，々….,/,若它满足A,x = 0, 则必有 y 1
A 7
x = 0 ,即b'x = 0 ,即4再 +b 2x 2 + -+b m x m =0.
(2)方程组Ay = 〃有解 o r (A) = "A, b) U>人可由A 的列向量组线性表出
65 .设A 是一个矩阵，〃?<〃，r(A) = m ,齐次线性方程组4x = 0的一个基础解系
试求齐次线性方程组
Z% 力=0, i = 1,2,…，〃一〃7
/-1
的基础解系所含解向量的个数，并求出一个基础解系。

解：齐次线性方程组
n
贴+%々+•・・ + %%
=0. (2)方程组Ay = Z?有解的充要条件是方程组 无解(其中。

是〃xl 零矩阵)。

(必要性)因为〃可由A 的列向量组线性表出，所以r(A) = r
<r
K o'
U r
所以，方程组
7,
U/
无解。

(充分性)因为方程组
因此，r X 、
⑼ T
=J 无解，所以r(4)工厂
(A T
>
<r
(A T
0]
GJ
<r(A r ) + \
= r(/t y
),从而〃可由A 的列向量组线性表出。

£bQj =0, i = 1,2,…一机 卜】
的基础解系所含解向量的个数为〃一（〃一，〃）=〃7。

66 .设〃7X 〃矩阵A 的阳个行向量是齐次线性方程组Ct = O 的一个基础解系，又3是一个 ，〃阶可
逆矩阵。

证明：3A 的行向量也是Cv = O 的一个基础解系。

/ \ 四
41瓦?…”布、
证明：设A =
a 、
一 *
,B = b2m
o 则由已知条件：Ca ： =0（i =
l,2….，〃?），
41
% …b
mm )
且 4,2）,.一，生〃线性无关。

因为
/,) [) ---])
% 2
U
\ni
‘多
BA =
b?l 022
%
—
与4+%%+…+层次”
、"川 1
"m2
^mni)
也〃乌 + %%+…+J
c 仇a ： +b i2al +…+ l%0* = b £a ； +b i2Ca{ + …+
=。

所以氏4的行向量是Cv = O 的解。

又因为8可逆，A 的m 个行向量线性无关，所以3A 的〃？ 个行向量线性无关，因此8A 的行向量也是Cr = O 的一个基础解系。

67 .证明：若A 为〃阶矩阵（〃:>1）,且同=0,则同中任意两行（或列）对应元素的代 数余子式成比
例。

证明：因为同=0,所以44）。

一1,因此“与）41,即可证。

68 .设A 是（〃—l ）x 〃矩阵，A,表示A 中划去第/列所构成的行列式。

证明:
（D （T A |，|4|，…，（T ）"|4|）『是心=。

的一个解;
(，=1,2…不全为零，则(1)中的解是Ar=O 的一个基础解系。

证明：(1)令2 = (11,...』)，构造〃阶矩阵8= 0 ,不难知道8中第一行元素的代数余
(2)若
子式分别为：14HA2卜…,(一1)""%|。

所以A中的每行元素乘以
(国,一阳,…,(一1产阂)『均为0,因此,
4-|阂,|4".,(-1)"阂),=-4周,-网一.,(-1严阂)『=0
(2)令#= (0,0….,0),构造〃阶矩阵。

=?),则不难知道C中第一行元素的代数余子式分别为：1AH 闺,…,(一1严|A』。

因为%|(/ = 1,2,…,〃)不全为零，所以c的伴脸矩阵。

.工0,即"。

")之1,因此r(C)之〃一1,又因为显然「(。

)4〃一1,所以r(C) = 〃-l, 所以r(A) = 〃一1,从而齐次线性方程组At=0的基础解系中含〃一r(A) = l个解向量。

再由(1)及4 (/ = 1,2,...,〃)不全为零，此题得证。

69.若A为一个〃阶矩阵，且A1=A,证明
j・(A) + r(A-1) = 〃.
证明：显然，r(A-I) = r(I-A).
因为〃 =r(/) = r(A + 1 -A) < r(A) + r(/ -A) = r(A) + r(A-I)
所以r(A) + r(A-/) > n
因为A? =A,所以A(A — /) = 0,即A — /的每个列向量均为齐次线性方程组Ax=0的解,
因此r(A-/) < 〃-r(A) 9即r(A) + r(A-/)</?
综上,r(A) + r(A - /) = n
70.若A为一个〃阶矩阵，且A?=/,证明
r(A + /) + r(A-/) = /z
证明：显然，r(A-I) = r(I-A).
因为 〃 =r(2/) = r(A + 1 + 1 -A) < r(A + /) + r(I - A) = r(A + /) + r(A - I)
所以 r(A + /) + r(A-/)> n
因为A?=/,所以(A + /)G4 — 1) = O,即A — /的每个列向量均为齐次线性方程组
(A + /)x = O 的解，因此"A-/)〈〃一“A + /),即“A + /) + r(A — /)W 〃
综上，“A + /)+「(4 — /) = 〃
71 .设A8皆为〃阶方阵，证明：r(AB)>r(A) + r(B)-/7o 并问：若 A =(%晨“，8 =(与)“由，上述结论是否成立？
证明：给出一般情况的说明。

设A = (qj)j X 〃，8 = (%)〃由，r(A) = /，,
/ 一 如
坛 …b 、
U \m
(I, 0、 , b”
…"
周3。

“〃使得尸AQ=；八。

记Q"=
22 2m 「L
0 0
•
• •
-
Ai
<A>
所以r(AB) = r(PAB) = r
…b、
…b.
则PA8=(PAQ)(Q.8) =
। A
因此"3)= "。

-%)=〃7 «r(A8)+(〃— /), gp r(AB)>r(A) + r(B)-/2o
<Pn)
72,设向量组% = 1,2….M，证明:如果
同悔端，=1，2,…,〃则向量组4,%,・・・，。

线性无关。

证明：（反证法）设向量组“1,4,・・.,%线性相关，取A=（%4，・・・，%），则同=0。

所以齐次线性方程组Ax=0有非零解。

不妨设（西,々，…，相）/为其一个非零解，即它满足
Z%Xj=。

，（，= 1，2一.・,〃）
所以4内・=一2%勺，(i = l,2,..・,〃)
7=T
设k/ = max{M，H|…・，同}，因为（X1，*2，・・・3）‘为Ar = 0的一个非零解，所以瓦|工0。

=£%勺《士|为卜/《£卜小力=同冬同,
因此, E火Is I=加"=一Z
从而有跖区£同,
与已知条件矛盾，所以假设不成立，所以向量组生,々2，・・・，%线性无汴k
关。