《不等式》常见题型归纳和经典例题讲解

⎧ x + 1 ⎪⎩ 2 3
《不等式》常见题型归纳和经典例题讲解
1.常见题型分类(加粗体例题需要作答)
定义类
1.下列不等式中，是一元一次不等式的是（
）
A.
1
x
+1>2
B.x 2>9
C.2x +y ≤5
D.
1
2
(x －3)<0
2.若 (m - 2) x 2m +1 - 1 > 5 是关于 x 的一元一次不等式，则该不等式的解集为
.
用不等式表示
a 与 6 的和小于 5；
x 与 2 的差小于－1；
数轴题
1.a ,b 两个实数在数轴上的对应点如图所示：用“＜”或“＞”号填空：
a __________
b ; |a |__________|b |; a +b __________0 a －b __________0; a +b __________a －b ; ab __________a .
2.已知实数 a 、b 在数轴上对应的点如图所示，则下列式子正确的是（
）
A 、ab ＞0
B 、 a > b
C 、a －b ＞0
D 、a ＋b ＞0
同等变换
1.与 2x <6 不同解的不等式是（
）
A.2x +1<7
B.4x <12
C.－4x >－12
借助数轴解不等式(组):
(这类试题在中考中很多见)
⎪1 -
≥
0 1.（2010 湖北随州）解不等式组 ⎨ 3
⎪⎩3 - 4( x - 1) < 1
D.－2x <－6
2.（2010 福建宁德）解不等式 2 x - 1 - 5x + 1 3 2
⎧1 - 2( x -1) > 1, ⎪
3.（2006 年绵阳市） ⎨ x 1
- ≥ x.
含参不等式: 此类试题易错知识辨析
≤1，并把它的解集在数轴上表示出来．
x （ （
（1）解字母系数的不等式时要讨论字母系数的正、负情况.
如不等式 ax > b （或 ax < b ）（ a ≠ 0 ）的形式的解集：
当 a > 0 时， x > b b
（或 x < ）
a a
b b
当 a < 0 时， x < （或 x > ）
a a
b b
当 a < 0 时， x < （或 x > ）
a a
4 若不等式(a ＋1)x ＞a ＋1 的解集是 x ＜1，则 a 必满足( )．
(A)a ＜0 (B)a ＞－1 (C)a ＜－1
5 若 m ＞5，试用 m 表示出不等式(5－m )x ＞1－m 的解集______．
6.如果不等式(m －2)x >2－m 的解集是 x <－1,则有（ ）
A.m >2
B.m <2
C.m =2
(D)a ＜1
D.m ≠2
7.如果不等式(a －3)x ＜b 的解集是 x ＜ b a - 3
，那么 a 的取值范围是________.
限制条件的解
1.不等式 3(x －2)≤x +4 的非负整数解有几个.（
） A.4 B.5
C.6
D.无数个
2.不等式 4x － A.1
1 11
< x + 的最大的整数解为（ ） 4 4
B.0
C.－1
D.不存在
含绝对值不等式
1. 不等式|x |< 7 3
的整数解是________.不等式|x |<1 的解集是________.
分类讨论
1.已知 ax ＜2a (a ≠0)是关于 x 的不等式，那么它的解集是( )
A.x ＜2
B.x ＞－2
C.当 a ＞0 时，x ＜2
D.当 a ＞0 时，x ＜2;当 a ＜0 时，x ＞2
不等式的性质及应用
y
1. 若 x ＋y ＞x －y ，y －x ＞y ，那么（1） ＋y ＞0， 2）y －x ＜0， 3）xy ≤0,（4） ＜0 中，正确结论的序号为________。

x
2.（2010 四川乐山）下列不等式变形正确的是（
）
(A)由 a ＞ b ，得 a - 2 ＜ b - 2 (B)由 a ＞ b ，得 - 2a ＜ - 2b (C)由 a ＞ b ，得 a
＞ b
(D)由 a ＞ b ，得 a 2 ＞ b 2
依据题意列不等式
1.当 x_______时,代数式 2x －5 的值不大于 0.
2 －1＞x 与 ax －6＞5x 同解，试求 a 的值.
⎩ 4 x + 3 y = p - 1
1 已知关于 x 的不等式 2＜ (1 - a) x 的解集为 x ＜ 2
⎧
2.当 x ________时，代数式
x + 3 5x - 1
-
2 6
的值是非负数. 3.当代数式 x 2
－3x 的值大于 10 时，x 的取值范围是________.
1 1
4.已知 x 的 与 3 的差小于 x 的－ 与－6 的和，根据这个条件列出不等式.你能估计出它的解集吗？
2 2
已知解集求范围
1.关于 x 的方程 5－a(1－x)＝8x －(3－a)x 的解是负数，则 a 的取值范围是(
)
A 、a ＜－4
B 、a ＞5
C 、a ＞－5
D 、a ＜－5
2.已知－4 是不等式 ax ＞9 的解集中的一个值，试求 a 的取值范围.
3.已知不等式 x
4.如果关于 x 的不等式－k －x ＋6＞0 的正整数解为 1，2，3，正整数 k 应取怎样的值？
5.不等式 a (x －1)>x +1－2a 的解集是 x <－1,请确定 a 是怎样的值.
⎧3x + 2 y = p + 1, 6．已知关于 x ，y 的方程组 ⎨
的解满足 x ＞y ，求 p 的取值范围．
7.若关于 x 的方程 3x +2m =2 的解是正数，则 m 的取值范围是（
）
A.m >1
B.m <1
C.m ≥1
D.m ≤1
字母不等式
1 - a ，则 a 的取值范围是（
A ． a ＞0
B. a ＞1
C. a ＜0
D. a ＜1
）．
2（2010 山东泰安）若关于 x 的不等式 ⎨x - m < 0 ⎩7 - 2 x ≤ 1
的整数解共有 4 个，则 m 的取值范围是（
）
A ． 6 < m < 7
B ． 6 ≤ m < 7
C ． 6 ≤ m ≤ 7
D ． 6 < m ≤ 7
3 关于 x 的方程 kx - 1 = 2 x 的解为正实数，则 k 的取值范围是
．
⎩ x > k 6 等式组 ⎨
的解集是 x ＞2，则 m 的取值范围是( )．
x > m + 1
8 k 满足______时，方程组 ⎨⎧x + y = 2k , x -
y = 4 10 已知方程组 ⎨
x + 2 y = 1 - m ②
⎩ 2 x + y = -5
⎩ 2 x + y = 2k + 1
⎩ x - 2 > 0
5.关于 x 的不等式组 ⎨
的整数解共有 5 个，求 a 的取值范围． 3 - 2 x > -1
{
3 x + 2 y = p + 1
4 已知关于 x ，y 的方程组 4 x + 3 y = p -1 的解满足 x ＞y ，求 p 的取值．
⎧1 < x ≤ 2,
5 若不等式组 ⎨
(A)k ＜2
有解，则 k 的取值范围是( )．
(B)k ≥2 (C)k ＜1 (D)1≤k ＜2
⎧x + 9 < 5x + 1,
⎩
(A)m ≤2 (B)m ≥2 (C)m ≤1 (D)m ≥1 7 知(x －2)2＋｜2x －3y －a ｜＝0，y 是正数，则 a 的取值范围是______．
⎩ 中的 x 大于 1，y 小于 1．
9 若 m 、n 为有理数，解关于 x 的不等式(－m 2－1)x ＞n ．
强化练习题
⎧2 x + y = 1 + 3m , ① ⎩
的解满足 x ＋y ＜0，求 m 的取值范围．
1.当 2(k - 3) < 10 - k k ( x - 5)
时，求关于 x 的不等式 > x - k 的解集．
3 4
⎧3x - 5 y = k , 2.当 k 取何值时，方程组 ⎨
的解 x ，y 都是负数．
⎧x + 2 y = 4k , 3.已知 ⎨
中的 x ，y 满足 0＜y －x ＜1，求 k 的取值范围．
⎧3x - 4 ≥ a, 4.已知 a 是自然数，关于 x 的不等式组 ⎨
的解集是 x ＞2，求 a 的值．
⎧x - a ≥ 0,
⎩
7.已知关于 x ，y 的方程组 ⎨
的解为正数，求 m 的取值范围． x - y = 4m - 3
⎧ x + 15 8.若关于 x 的不等式组 ⎪⎪ ⎪ 2 x + 2 < x + a ⎩⎪ + a ≥
2
⎧ ⎩ x > m + 2 的解集是 x > -1 ，则 m =
⎧
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6.k 取哪些整数时，关于 x 的方程 5x ＋4＝16k －x 的根大于 2 且小于 10?
⎧x + y = 2m + 7,
⎩
⎨ ⎪
3
2 > x - 3, 只有 4 个整数解，求 a 的取值范围．
⎧ x 9.（2009 年山东烟台）如果不等式组 ⎨ 2
的解集是 0 ≤ x < 1 ，那么 a + b 的值为 ．
⎪⎩2 x - b < 3
10.（2009 年湖北恩施）如果一元一次不等式组 ⎨ x > 3
⎩ x > a
的解集为 x > 3 ．则 a 的取值范围是( )
A ． a > 3
B ． a ≥ 3
C ． a ≤ 3
D ． a < 3
⎧ x + a ≥0,
11.（2009 湖北荆门）若不等式组 ⎨
有解，则 a 的取值范围是（ ）
⎩1 - 2 x > x - 2
A ． a > -1
B ． a ≥ -1
C ． a ≤1
D ． a < 1
12.（2009 年湖北孝感）关于 x 的不等式组 ⎨ x > m - 1
．
13.（2009 年湖南长沙）已知关于 x 的不等式组 ⎨ x - a ≥
0，只有四个整数解，则实数 a 的取值范围是 ．
⎩5 - 2 x > 1。