2021高考数学人教版一轮复习课件：第六章 第2节 平面向量基本定理及坐标表示

→ MN
＝
－3a，则点N的坐标为( )
A．(2，0)
B．(－3，6)
C．(6，2)
D．(－2，0)
解析：设N(x，y)，则(x－5，y＋6)＝(－3，6)， 所以x＝2，y＝0. 答案：A
2．(2020·青岛调研)已知A(－2，4)，B(3，－1)，
C(－3，－4)．设
→ AB
＝a，
→ BC
＝b，
所以E→F＝E→D－A→D＋A→B＋B→F＝－13A→B－A→D＋A→B＋
12B→C＝23A→B－12A→D， 又因为E→F＝xA→B＋yA→D，所以x＝23，y＝－12，所以
x＋y＝16. 答案：C
6．(2017·山东卷)已知向量a＝(2，6)，b＝(－1， λ)．若a∥b，则λ＝________．
2．若a与b不共线，λa＋μb＝0，则λ＝μ＝0. 3．向量的坐标与表示向量的有向线段的起点、终 点的相对位置有关系．两个相等的向量，无论起点在什 么位置，它们的坐标都是相同的．
[概念思辨]
1．判断下列说法的正误(正确的打“√”，错误的
打“×”)．
(1)平面内的任何两个向量都可以作为一组基
底．( )
答案：2
1．建立坐标系，把向量用坐标表示． 2．再通过坐标运算把问题转化为函数最值或应用基 本不等式求最值．
1．(角度 1)已知 A(2，3)，B(4，－3)，点 P 在线段
AB 的延长线上，且|AP|＝32|BP|，则点 P 的坐标为______． 解析：设 P(x，y)，由点 P 在线段 AB 的延长线上， 则A→P＝32B→P，得(x－2，y－3)＝32(x－4，y＋3)，
1．巧借方程思想求坐标：若已知向量两端点的坐 标，则应先求出向量的坐标，解题过程中注意方程思想 的应用．
2．向量问题坐标化：向量的坐标运算，使得向量 的线性运算都可以用坐标来进行，实现了向量运算的代 数化，将数与形结合起来，使几何问题转化为数量运算 问题．
1．已知点M(5，－6)和向量a＝(1，－2)，若
所以O→P＝34O→B＝(3，3)， 所以点 P 的坐标为(3，3)． 法二 设点 P(x，y)，则O→P＝(x，y)，因为O→B＝(4， 4)，且O→P与O→B共线，所以x4＝4y，即 x＝y. 又A→P＝(x－4，y)，A→C＝(－2，6)，且A→P与A→C共线， 所以(x－4)×6－y×(－2)＝0，解得 x＝y＝3， 所以点 P 的坐标为(3，3)． 答案：(3，3)
[教材衍化]
2．(人A必修4·习题改编)设P是线段P1P2上的一点，
若P1(1，3)，P2(4，0)且P是线段P1P2的一个三等分点(靠
近点P1)，则点P的坐标为( )
A．(2，2)
B．(3，－1)
C．(2，2)或(3，－1) D．(2，2)或(3，1) 解析：由题意得P→1P＝13P→1P2且P→1P2＝(3，－3)，
设P(x，y)，则(x－1，y－3)＝(1，－1)，
所以x＝2，y＝2，则点P(2，2)． 答案：A
3．(人A必修4·习题改编)已知向量a＝(2，3)，b＝
(－1，2)，若ma＋nb与a－2b共线，则mn ＝( )
A．－12
1 B.2
C．－2
D．2
解析：由向量a＝(2，3)，b＝(－1，2)，
得ma＋nb＝(2m－n，3m＋2n)，a－2b＝(4，－1)．
2．用平面向量基本定理解决问题的一般思路是： 先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向 量的形式，再通过向量的运算来解决．
考点2 平面向量的坐标运算(讲练互动)
[典例1] 设A(0，1)，B(1，3)，C(－1，5)，D(0，
－1)，则A→B＋A→C等于( )
A．－2A→D B．2A→D C．－3A→D D．3A→D
(2)同一向量在不同基底下的表示是相同的．( )
(3)设a，b是平面内的一组基底，若实数λ1，μ1，
λ2，μ2满足λ1a＋μ1b＝λ2a＋μ2b，则λ1＝λ2，μ1＝μ2.( )
(4)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件
可以表示成xx12＝yy21.(
)
解析：(1)共线向量不可以作为基底． (2)同一向量在不同基底下的表示不相同． (4)若b＝(0，0)，则xx12＝yy21无意义． 答案：(1)× (2)× (3)√ (4)×
＝(－4，－3)－(3，1)＝(－7，－4)．
答案：A
5．(2020·菏泽模拟)在平行四边形
ABCD中，F是BC的中点，
→ CE
＝－
2D→E，若E→F＝xA→B＋yA→D，则x＋y＝( )
A．1
B．6
C.16
D.13
解析：因为四边形ABCD是平行四边形，
所以A→B＝D→C，A→D＝B→C，
因为C→E＝－2D→E，所以E→D＝－13D→C＝－13A→B，
解析：因为a∥b， 所以2λ＋6＝0，解得λ＝－3. 答案：－3
考点1 平面向量基本定理及其应用(自主演练) 1．如图，在三角形ABC中，BE是边AC的中线，O 是BE边的中点，若A→B＝a，A→C＝b，则A→O＝( )
A.12a＋12b C.14a＋12b
B.12a＋13b D.12a＋14b
解析：因为在三角形ABC中，BE是AC边上的中线， 所以A→E＝12A→C. 因为O是BE边的中点， 所以A→O＝12(A→B＋A→E)＝12A→B＋14A→C＝12a＋14b. 答案：D
＝
nA→M＋(1－n)A→C＝12na＋(1－n)b，
所以13mb＋(1－m)a＝12na＋(1－n)b，
因为a，b为基底，所以113－m＝m＝1－12nn，，解得mn＝＝4535.， 所以A→E＝25a＋15b. 答案：A
1．应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用 平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘 运算．
2．(2020·济南调研)在△ABC中，A→N＝14N→C，若P是
直线BN上的一点，且满足
→ AP
＝m
→ AB
＋
2 5
→ AC
，则实数m
的值为( )
A．－4
B．－1
C．1
D．4
解析：根据题意设
→ BP
＝n
→ BN
(n∈R)，则
→ AP
＝ A→B ＋
→ BP
＝
→ AB
＋n
→ BN
＝
A→B＋n(
→ AN
平面向量的基本定理如果e是同一平面内的两个不共线向量那么对于这一平面内的任意向量a有且只有一对实数叫做表示这一平面内所有向量的一组基底
第六章 平面向量与复数
第2节 平面向量基本定理及坐标表示
课程标准
考情索引
核心素养
1.了解平面向量的基本
定理及其意义．
2.掌握平面向量的正交
分解及其坐标表示． 3.会用坐标表示平面向 量的加法、减法与数乘
解析：以 O 为坐标原点，O→A所在的直线为 x(1，0)，B－12， 23. 设∠AOC＝αα∈0，23π，则 C(cos α，sin α)，
由O→C＝xO→A＋yO→B，得cos sin
α＝x－12y， α＝ 23y，
所以 x＝cos α＋ 33sin α，y＝233sin α， 所以 x＋y＝cos α＋ 3sin α＝2sinα＋π6， 又 α∈0，23π，所以当 α＝π3时，x＋y 取得最大值 2.
解析：由题意得
→ AB
＝(1，2)，
→ AC
＝(－1，4)，
→ AD
＝(0，－2)，
所以A→B＋A→C＝(0，6)＝－3(0，－2)＝－3A→D.
答案：C
[典例2] 向量a，b，c在正方形网格中的位置如图
所示，若c＝λa＋μb(λ，μ∈R)，则μλ＝(
)
A．1
B．2
C．3
D．4
解析：以向量a和b的交点为原点建立如图所示的平
由ma＋nb与a－2b共线，
得2m4－n＝3m－＋12n，所以mn ＝－12.
答案：A
[典题体验]
4．(2020·一中月考)已知点A(0，1)，B(3，2)，向量
A→C＝(－4，－3)，则向量B→C＝( )
A．(－7，－4)
B．(7，4)
C．(－1，4)
D．(1，4)
解析：根据题意得A→B＝(3，1)，所以B→C＝A→C－A→B
1．两平面向量共线的充要条件有两种形式：(1)若 a ＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 a∥b 的充要条件是 x1y2－x2y1 ＝0；(2)若 a∥b(b≠0)，则 a＝λb.
2．向量共线的坐标表示既可以判定两向量平行，也 可以通过平行来求参数．当两向量的坐标均非零时，也 可以利用坐标对应成比例来求解．
A.25a＋15b C.13a＋13b
B.15a＋25b D.25a＋45b
解析：由题意得A→N＝13A→C＝13b，A→M＝12A→B＝12a，
由N，E，B三点共线可知，存在实数m，满足
→ AE
＝
mA→N＋(1－m)·A→B＝13mb＋(1－m)a.
由C，E，M三点共线可知，存在实数n，满足
→ AE
角度 利用向量共线求参数 [典例 2] (2018·全国卷Ⅲ)已知向量 a＝(1，2)，b＝ (2，－2)，c＝(1，λ)．若 c∥(2a＋b)，则 λ＝________． 解析：由题意得 2a＋b＝(4，2)，因为 c＝(1，λ)，c ∥(2a＋b)，所以 4λ－2＝0，解得 λ＝12. 答案：12
②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则
→ AB
＝(x2－x1，y2－y1)，|
→ AB
|
＝ （x2－x1）2＋（y2－y1）2． 4．平面向量共线的坐标表示
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a∥b⇔x1y2－x2y1＝0．
1．若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)且a＝b，则x1＝x2且 y1＝y2.
→ CA
＝c，a＝mb＋
nc(m，n∈R)，则m＋n＝________．
解析：由已知得a＝(5，－5)，b＝(－6，－3)，c＝
(1，8)．
因为mb＋nc＝(－6m＋n，－3m＋8n)，
所以－－63mm＋＋n8n＝＝5，－5，解得mn＝＝－－11.，
所以m＋n＝－2. 答案：－2
考点 3 平面向量坐标运算的应用(多维探究) 角度 利用向量共线求向量或点的坐标 [典例 1] (一题多解)已知点 A(4，0)，B(4，4)，C(2， 6)，则 AC 与 OB 的交点 P 的坐标为________． 解析：法一 由 O，P，B 三点共线，可设O→P＝λO→B ＝(4λ，4λ)，则A→P＝O→P－O→A＝(4λ－4，4λ)． 又A→C＝O→C－O→A＝(－2，6)， 由A→P与A→C共线，得(4λ－4)×6－4λ×(－2)＝0， 解得 λ＝34，
面直角坐标系(设每个小正方形边长为1)，
则A(1，－1)，B(6，2)，C(5，－1)， 所以a＝ A→O ＝(－1，1)，b＝ O→B ＝(6，2)，c＝ B→C ＝ (－1，－3)， 因为c＝λa＋μb，所以(－1，－3)＝λ(－1，1)＋ μ(6，2)， 则－λ＋λ＋2μ6＝μ＝－－3，1，解得λ＝－2，μ＝－12， 所以μλ＝－－212＝4. 答案：D
－
→ AB
)＝
→ AB
＋n
15A→C－A→B
＝(1－n)A→B＋n5A→C，
又A→P＝mA→B＋25A→C， 由平面向量基本定理得n15－＝n25，＝m，解得nm＝＝2－，1. 答案：B
3．(2020·豫南九校联考)如图所示，在△ABC中， 点M是AB的中点，且A→N＝12N→C，BN与CM相交于点E， 设A→B＝a，A→C＝b，则A→E等于( )
1．如果已知两向量共线，求某些参数的值时，利用 “若 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 a∥b 的充要条件是 x1y2 ＝x2y1”．
2．在求与一个已知向量 a 共线的向量时，可设所求 向量为 λa(λ∈R)．
角度 利用向量坐标表示求最值 [典例 3] 给定两个长度为 1 的平面向量O→A和O→B， 它们的夹角为23π.如图所示，点 C 在以 O 为圆心的A︵B上 运动．若O→C＝xO→A＋yO→B，其中 x，y∈R，则 x＋y 的最 大值是________．
2018·全国卷Ⅲ，T13 2016·全国卷Ⅱ，T3
1.数学运算 2.逻辑推理
运算．
4.理解用坐标表示的平
面向量共线的条件.
1．平面向量的基本定理
如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么
对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1， λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2．
其中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所
有向量的一组基底． 2．平面向量的正交分解 把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向
量正交分解．
3．平面向量的坐标运算 (1)向量加法、减法、数乘向量及向量的模． 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则： a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)， λa＝(λx1，λy1)，|a|＝ x12＋y12． (2)向量坐标的求法． ①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标为向量的坐标．