2022-2023学年湖北省武汉市华中师范大学第一附属中学高二上学期期末考试数学试卷含详解

华中师大一附中2022-2023学年度上学期高二期末检测数学试卷
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个诜项中，只有一项是特合题目要求的.
1.抛物线2
2y x =的焦点坐标为
A.(1,0)
B.1
(,0)
2
C.1(0,4
D.1(0,)
8
2.直线()12:10,:210l ax y l a x ay +-=--+=，则“2a =-”是“12//l l ”的（）条件
A .
必要不充分
B.充分不必要
C.充要
D.既不充分也不必要
3.设正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若32127S a a =+，则公比q 为（）A.2或3
- B.3
C.2
D.3-4.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1472,22a a a =+=，则19S =（）A.380
B.200
C.190
D.100
5.若双曲线()222210,0y x a b a b -=>>的渐近线方程为2
y x =±，且过点()
，则双曲线的标准方程为
（）
A.22
1
68y x -= B.22
1
86y x -=C.221
34
y x -= D.221
43
y x -=6.有一塔形几何体由若干个正方体构成，构成方式如图所示，
上层正方体下底面的四个顶点是下层正方体上底面各边的中点，已知最底层正方体的棱长为4，若该塔形几何体是由7个正方体构成，则该塔形的表面积（含最底层的正方体的底面面积）为（
）
A.127
B.
C.143
D.159
7.已知椭圆22
:182
x y C +=和点()2,1P -，直线l 与椭圆C 交于,A B 两点，若四边形OAPB 为平行四边形，则直
线l 的方程为（）
A.5202
x y --
= B.3202
x y +-
=C.220x y --= D.220
x y +-=8.已知双曲线()22
2
2:10,0x y C a b a b
-=>>，直线l 过坐标原点并与双曲线交于,P Q 两点（P 在第一象限），过点P 作l 的垂线与双曲线交于另一个点A ，直线QA 交x 轴于点B ，若点B 的横坐标为点Q 横坐标的两倍，则双曲线的离心率为（）
A
.
1
B.
22
C.
D.
二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若10a >，公差0d ≠，且59S S =，则下列命题正确的有（）
A.7S 是数列{}n S 中的最大项
B.7a 是数列{}n a 中的最大项
C.140
S = D.满足0n S >的n 的最大值为13
10.设圆2
2:(1)(1)3C x y -+-=，直线:3430,l x y P ++=为l 上的动点，过点P 作圆C 的两条切线
PA PB ､，切点为,A B M N ､､为圆上任意两点，则下列说法中正确的有（
）
A.PA 的取值范围为[
)1,+∞B.四边形PACB
C.满足60APB ∠=o 的点P 有两个
D.CAB △的面积最大值为
33
4
11.数列{}n a 满足21n n n a Aa Ba ++=+（*N ,,n A B ∈为非零常数），则下列说法正确的有（）
A.若1,1A B ==-，则数列{}n a 是周期为6的数列
B.对任意的非零常数,A B ，数列{}n a 不可能为等差数列
C.若3,2A B ==-，则数列{}1n n a a +-是等比数列
D.若正数,A B 满足121,0,A B a a B +===，则数列{}2n a 为递增数列
12.已知抛物线2:2E y x =的焦点为F ，直线,AB CD 过焦点F 分别交抛物线E 于点
()()()()11223344,,,,,,,A x y B x y C x y D x y ，其中,A C 位于x 轴上方，且直线BC 经过点1,04⎛⎫
⎪⎝⎭
，记,BC AD 的
斜率分别为,BC AD k k ，则下列正确的有（）
A.121
y y =- B.
2
4
2y y =C.142
y y =- D.
2BC
AD
k k =三､填空题：本题共4小题，每小题分，共20分.
13.已知圆22
1:210C x y kx y +-++=与圆2
2
2:210C x y ky ++-=的公共弦所在直线恒过点P ，则点P 的坐标
为__________.
14.已知抛物线2:4E y x =，直线():21l y x =-与E 相交于,A B 两点，若E 的准线上一点M 满足90AMB ∠= ，则M 的坐标为__________.
15.已知双曲线22
22:1(0,0)x y C a b a b
-=>>的右焦点为F ，离心率为e ，过原点的直线与C 的左右两支分别交于
,M N 两点，若4,60MF NF MFN ︒=∠=，则2
2
4
a e +的最小值为__________.
16.已知数列{}n a 满足111,n a na ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭为公差为1的等差数列，
若不等式210n
λ⎛⎫-≥⎪⎪⎭
对任意的*N n ∈都成立，则实数λ的取值范围是__________.
四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17.已知圆C 的圆心坐标为()1,2，且圆C 与直线:270l x y --=相切，过点()3,0A 的动直线m 与圆C 相交于
,M N 两点，点P 为MN 的中点.
（1）求圆C 的标准方程；
（2）求OP
的最大值.
18.已知数列{}n a 是等差数列，n S 是等比数列{}n b 的前n 项和，41238,a b a b ===，36S =.（1）求数列{}{},n n a b 的通项公式；（2）求n S 的最大值和最小值.
19.如图，四边形ABCD 是边长为1的正方形，ED ⊥平面,ABCD FB ⊥平面ABCD ，且1ED FB ==.
（1）求证：EC ⊥平面ADF
（2）在线段EC 上是否存在点G （不含端点），使得平面GBD 与平面ADF 的夹角为45 ，若存在，指出G 点的位置；若不存在，请说明理由.
20.记n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知11a =，3221n n a S n -=-.（1）求证：数列{}1n a +为等比数列；（2）若1
1
n n n n a b a a ++=
，则求数列{}n b 的前n 项和n T .21.已知抛物线C 的顶点为坐标原点O ，焦点F 在x 轴的正半轴，点(),2Q m 抛物线上，且Q 到抛物线的准线的距离为2.
（1）求抛物线C 的方程；
（2）动点P 在抛物线的准线上，过点P 作拋物线C 的两条切线分别交y 轴于,A B 两点，当PAB 2时，求点P 的坐标.
22.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为3
2
，过椭圆的一个焦点作垂直于x 轴的直线与椭圆交于,M N
两点，1MN =.（1）求椭圆C 的方程；
（2）过椭圆C 外一点()2,2P 任作一条直线与椭圆交于不同的两点,A B ，在线段AB 上取一点Q ，满足
2PA PB PQ PA PQ PB =+，证明：点Q 必在某条定直线上.
华中师大一附中2022-2023学年度上学期高二期末检测数学试卷
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个诜项中，只有一项是特合题目要求的.
1.抛物线2
2y x =的焦点坐标为
A.(1,0)
B.1
(,0)
2
C.1(0,4
D.1(0,)
8
【答案】D
【分析】根据抛物线标准方程，可求得p ，进而求得焦点坐标．【详解】将抛物线方程化为标准方程为2
12
x y =，可知14p =
所以焦点坐标为10,8⎛
⎫ ⎪⎝
⎭
所以选D
【点睛】本题考查了抛物线的基本性质，属于基础题．
2.直线()12:10,:210l ax y l a x ay +-=--+=，则“2a =-”是“12//l l ”的（）条件
A.必要不充分
B.充分不必要
C.充要
D.既不充分也不必要
【答案】C
【分析】根据直线平行求得a ，结合充分、必要条件的知识求得正确答案.【详解】若12//l l ，则()()212,20a a a a a ⨯-=⨯-+-=，
解得1a =或2a =-，
当1a =时，1l 和2l 的方程都是10x y +-=，两直线重合，不符合题意.经验证可知，2a =-符合.
所以“2a =-”是“12//l l ”的充要条件.故选：C
3.设正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若32127S a a =+，则公比q 为（）A.2或3- B.3
C.2
D.3
-【答案】B
【分析】根据已知条件列方程求得q .【详解】依题意32127S a a =+，
即1232132127,6a a a a a a a a ++=+=+，
21116a q a q a =+，依题意10a >，
所以260q q --=，由于0q >，故解得3q =.故选：B
4.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1472,22a a a =+=，则19S =（）A.380 B.200
C.190
D.100
【答案】A
【分析】求得等差数列{}n a 的公差，进而求得19S 【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，则1294922,2a d d d +=+==，所以191918
19223802
S ⨯=⨯+⨯=.故选：A
5.若双曲线()222210,0y x a b a b -=>>的渐近线方程为3
2
y x =±，且过点()
，则双曲线的标准方程为
（）
A.22
1
68y x -= B.22
1
86y x -=C.221
34
y x -= D.221
43
y x -=【答案】C
【分析】由双曲线渐近线方程可得2
a b =
，将()
代入双曲线方程可求得22
,b a ，由此可得结果.【详解】由双曲线方程可得其渐近线方程为：a y x b =±
，32
a b ∴=，即32a =，
则双曲线方程可化为：22
22413y x b b
-=，由双曲线过点()
，
2236813b b ∴-=，解得：2
4b =，23a ∴=，∴双曲线方程为：22
134
y x -=.故选：C.
6.有一塔形几何体由若干个正方体构成，构成方式如图所示，
上层正方体下底面的四个顶点是下层正方体上底面各边的中点，已知最底层正方体的棱长为4，若该塔形几何体是由7个正方体构成，则该塔形的表面积（含最底层的
正方体的底面面积）为（
）
A.127
B. C.143 D.159
【答案】D
【分析】分析各层正方体的边长，利用等比数列的前n 项和公式即可求解．【详解】不妨设由下到上各层正方形的边长为n a ，由题意知，{}n a 是首项为4，公比为2
2的等比数列，所以1242n n a -=⨯，
各层正方形的面积为2
1
511
16()
=()2
2
n n n a --=⨯，所以该塔形几何体的表面积为2322464(222)159S -=⨯++++= ，故选：D ．
7.已知椭圆22
:182
x y C +=和点()2,1P -，直线l 与椭圆C 交于,A B 两点，若四边形OAPB 为平行四边形，则直
线l 的方程为（）
A.5202
x y --
= B.3202
x y +-
=C.220x y --= D.220
x y +-=【答案】C
【分析】先求得直线l 所过点，然后利用点差法求得直线l 的斜率，进而求得正确答案.
【详解】由于()2
2
12182
-+=，所以P 在椭圆C 上，设OP 的中点为D ，则11,2D ⎛
⎫
-
⎪⎝
⎭
，则直线AB 过点D ，且D 是AB 的中点，设()()1122,,,A x y B x y ，则：2222
1122
1,18282
x y x y +=+=，
两式相减并化简得121212122184
y y y y x x x x +-⋅=-=-+-，
所以
12121212111,242
y y y y x x x x ---⋅=-=--，即直线AB 的斜率为12，
所以直线AB 也即直线l 的方程为()11
1,22022
y x x y +=---=.故选：C
8.已知双曲线()22
2
2:10,0x y C a b a b
-=>>，直线l 过坐标原点并与双曲线交于,P Q 两点（P 在第一象限），过点P 作l 的垂线与双曲线交于另一个点A ，直线QA 交x 轴于点B ，若点B 的横坐标为点Q 横坐标的两倍，则双曲线的离心率为（）
A.1
B.
22
C.
D.
【答案】C
【分析】设():0PQ y kx k =≠，(),P t kt ，根据垂直关系及,B Q 坐标可得直线,AP AQ 的方程，联立可求得A 点
坐标，代入双曲线方程中，结合P 在双曲线上，可化简整理得到2
2
b a =
，由离心率e =可求得结果.
【详解】由题意知：直线PQ 斜率存在且不为零，则可设直线():0PQ y kx k =≠，设(),P t kt ，则(),Q t kt --，()2,0B t -，
AP PQ ⊥ ，1AP k k ∴=-
，则直线()1
:AP y kt x t k
-=--，又2AQ BQ
kt k k k t t ===--+，∴直线1:2AQ x y t k
=--，由()112y kt x t k x y t k ⎧
-=--⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩得：()
222
23131k t t x k kt k y k ⎧+=-⎪-⎪⎨+⎪=⎪-⎩
，即()()2222313,11t k kt k A k k ⎛⎫++ ⎪- ⎪--⎝⎭，A 在双曲线C 上，()
()
()
()
2
2
2
2
2222
2
2
2
2
2
313111t k k t k
a k
b k ++∴
-
=--，
又P 在双曲线C 上，即222221t k t a b -=，222
222
a b t b a k
∴=-，()
()()()
()()
22
2
2
2
222
2
2
2
2
2
2
2
2
2
313111b k a k k
k
b a k
k
b a k
++∴
-
=----，
即()
()()()2
22
2
222222222231
311b k a k k k b a k k +-+=---，
()()()()2222
222222231131b k k a k k k ⎡⎤⎡⎤∴+--=+--⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
，
()()2422228888b k k a k k +=+，又0k ≠，22b a ∴=，
∴双曲线离心率c e a ===故选：C.
【点睛】关键点点睛：本题考查双曲线离心率的求解问题；解题关键是能够通过两直线方程联立的方式，求得A 点坐标，从而根据A 点在双曲线上构造方程，化简整理得到,a b 之间的关系.
二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若10a >，公差0d ≠，且59S S =，则下列命题正确的有（）
A.7S 是数列{}n S 中的最大项
B.7a 是数列{}n a 中的最大项
C.140S =
D.满足0n S >的n 的最大值为13
【答案】ACD
【分析】由59S S =得出113
2
a d =-，代入n a 与n S ，对选项依次判断即可.【详解】∵59S S =，∴115498
5922a d a d ⨯⨯+=+，∴11302
a d =->，∴0d <，∴()()113151122n a a n d d n d n d ⎛⎫=+-=-
+-=- ⎪⎝⎭，()()()211113142
222
n n n n n d S na d dn n n --=+
=-
+=-，对于A ，()()2
21474922n d d S n n n ⎡⎤=
-=--⎣
⎦，∵0d <，∴当7n =时，n S 取最大值，∴7S 是数列{}n S 中的最大项，故选项A 正确；
对于B ，∵10a >，0d <，所以等差数列{}n a 是递减数列，数列{}n a 中的最大项为1a ，故选项B 错误；
对于C ，()21414141402
d
S =
-⨯=，故选项C 正确；对于D ，∵0d <，∴()()21414022
n d d
S n n n n =-=->，解得014n <<，
∵*n ∈N ，∴满足0n S >的n 的最大值为13，故选项D 正确.故选：ACD.
10.设圆2
2:(1)(1)3C x y -+-=，直线:3430,l x y P ++=为l 上的动点，过点P 作圆C 的两条切线
PA PB ､，切点为,A B M N ､､为圆上任意两点，则下列说法中正确的有（
）
A.PA 的取值范围为[
)1,+∞B.四边形PACB
C.满足60APB ∠=o 的点P 有两个
D.CAB △的面积最大值为334
【答案】AC
【分析】根据切线长公式即可求解A,B,C ，根据三角形的面积公式可求解D.【详解】圆心(1,1)C 到直线:3430l x y ++=
的距离2d ==，
所以2PC d ≥=
，因为圆的半径为r =，
根据切线长公式可得1PA =≥，
当PC l ⊥时取得等号，
所以PA 的取值范围为[
)1,+∞，A 正确；因为PA AC ⊥，
所以四边形PACB
的面积等于2PAC S PA AC ⨯=⨯=≥△，四边形PACB
B 错误；因为60APB ∠=o ，所以30AP
C ∠= ，在直角三角形APC 中，
1
sin 302
AC CP
==
，所以CP =设33(,4a P a +-
，因为CP =整理得225101270a a +-=，
则有100127000∆=+>，所以满足条件的点P 有两个，C 正确；因为13
sin sin 22
CAB S CA CB ACB ACB =
∠=∠△所以当sin 1ACB ∠=，即90ACB ∠= ，面积有最大值为3
2
，此时四边形PACB 为
正方形，则2PC ==>，满足要求，
故D 错误，故选:AC.
11.数列{}n a 满足21n n n a Aa Ba ++=+（*N ,,n A B ∈为非零常数），则下列说法正确的有（）
A.若1,1A B ==-，则数列{}n a 是周期为6的数列
B.对任意的非零常数,A B ，数列{}n a 不可能为等差数列
C.若3,2A B ==-，则数列{}1n n a a +-是等比数列
D.若正数,A B 满足121,0,A B a a B +===，则数列{}2n a 为递增数列【答案】AD
【分析】对于A ，由题意可得3n n a a +=-，进而可得6n n a a +=，即可判断；对于B ，举反例2,1A B ==-，此时{}n a 为等差数列，即可判断；
对于C ，由题意可得2112()n n n n a a a a +++-=-，*N n ∈，只有当10n n a a +-≠时，数列{}1n n a a +-才是以2为公比的等比数列，即可判断；
对于D ，由题意可得211()n n n n a a B a a ++++=+，求得22211n n
B S B B -=⋅-，进而可得222
(1)
1n n B B a B
-=-，只需判断2(1)n a +-20n a >是否成立即可判断.
【详解】解：对于A ，因为1,1A B ==-，所以21n n n a a a ++=-，*N n ∈，所以32111n n n n n n n a a a a a a a +++++=-=--=-，*N n ∈，所以6(3)33n n n n a a a a ++++==-=，*N n ∈所以数列{}n a 是周期为6的数列，故正确；
对于B ，当2,1A B ==-时，则有212n n n a a a ++=-，*N n ∈，即有212
n n
n a a a +++=
，*N n ∈，由等差中项的性质可知{}n a 为等差数列，故错误；
对于C ，当3,2A B ==-时，2132n n n a a a ++=-，*N n ∈，即有2112()n n n n a a a a +++-=-，*N n ∈，
当10n n a a +-≠时，数列{}1n n a a +-是以2为公比的等比数列，故错误；对于D ，因为正数,A B 满足121,0,A B a a B +===，所以101
A B B =->⇔>所以211(1)n n n n n a Aa Ba B a Ba +++=+=-+，*N n ∈，
所以211()n n n n a a B a a ++++=+，*N n ∈，设数列前n 项和为n S ，
则有2
4
2(1)
2123421212()()()()[1]n n n n S a a a a a a a a B B B
--=++++++=+++++L L =22
11n
B B B
-⋅-，*
N n ∈所以2122122
111n n
n B B B S B B B
----=⋅=--，*N n ∈，所以2212222122
(1)
11n n n n n n B B B B a S S B B
+---=-==--，*N n ∈，所以2(1)2(1)
2
(1)
1n n B B a B
++-=-，*N n ∈，所以()21n a +-2n a =()()212
11n B B B
+---22(1)1n B B B --=2222(1)(1)(1)01n n B B B B B B -⋅-=->-，*
N n ∈，所以数列{}2n a 为递增数列，故正确.故选：AD.
12.已知抛物线2:2E y x =的焦点为F ，直线,AB CD 过焦点F 分别交抛物线E 于点
()()()()11223344,,,,,,,A x y B x y C x y D x y ，其中,A C 位于x 轴上方，且直线BC 经过点1,04⎛⎫
⎪⎝⎭
，记,BC AD 的
斜率分别为,BC AD k k ，则下列正确的有（）
A.121
y y =- B.2
4
2y y =C.142y y =- D.
2BC
AD
k k =【答案】ACD
【分析】利用抛物线的性质，可得1(,0)2
F ，设直线AB 的方程为1
2
x ty =+，联立方程可得121y y =-，可判断A ；同理可得341y y =-，再利用直线BC 经过点1(,0)4，可得231
2
y y =-
，进而得出142y y =-，可判断C ，B ；利用两点确定斜率可得2BC
AD
k k =，可判断D .【详解】由抛物线2:2E y x =可得：1(,0)2F ，设直线AB 的方程为12
x ty =+
，
由2122x ty y x
⎧
=+⎪⎨⎪=⎩，整理可得：2210y ty --=，
所以121y y =-，故选项A 正确；同理可得：341y y =-，由直线BC 经过点1
(,0)4
，设1
(,0)4
N ，则//NC NB ，
331(,)4NC x y =- ，221(,)4NB x y =- ，所以233211
()()44
x y x y -=-，
则2232321
1()()2424
y y y y -=-，整理可得：2323231()()024y y y y y y -+-=，
也即23231()(
)024y y y y -+=，因为23y y ≠，所以231
2
y y =-，又121y y =-，341y y =-，所以142y y =-，故选项C 正确；
则
2124141
2
y y y y y y ==，故选项B 错误；因为
3232223232322
2
BC y y y y k y y x x y y --=
==--+，同理14
2AD k y y =+，则1414
2141224243232432342424
112222221BC AD k y y y y y y y y y y y y y k y y y y y y y y y y y y y ++++-+==⨯⨯=⨯⨯=⨯=⨯=++++-+.故选项正确，故选：A CD .
三､填空题：本题共4小题，每小题分，共20分.
13.已知圆22
1:210C x y kx y +-++=与圆2
2
2:210C x y ky ++-=的公共弦所在直线恒过点P ，则点P 的坐标
为__________.【答案】(2,1)
-【分析】两圆的方程相减得出两圆的公共弦所在直线方程，然后根据直线方程求出定点即可.【详解】由圆22
1:210C x y kx y +-++=与圆2
2
2:210C x y ky ++-=，
两式相减得公共弦所在直线方程为：2220kx ky y +--=，
即(2)(22)0k x y y +-+=，令20220x y y +=⎧⎨
+=⎩，解得：2
1x y =⎧⎨=-⎩
，
所以圆2
2
1:210C x y kx y +-++=与圆2
2
2:210C x y ky ++-=的公共弦所在直线恒过点(2,1)P -.故答案为：()2,1-.
14.已知抛物线2:4E y x =，直线():21l y x =-与E 相交于,A B 两点，若E 的准线上一点M 满足90AMB ∠= ，
则M 的坐标为__________.【答案】(1,1)
-【分析】令(1,)M y -，由0MA MB ⋅= 及数量积的坐标公式得2
1()0A B A B A B A B x x x x y y y y y y ++++-++=，
联立抛物线与直线方程，应用韦达定理求,A B 横纵坐标的和积代入上式求M 的纵坐标即可.
【详解】令(1,)M y -，则(1,),(1,)A A B B MA x y y MB x y y =+-=+-
，由90AMB ∠=
，则(1)(1)()()0A B A B MA MB x x y y y y ⋅=+++--=
，
所以2
1()0
A B A B A B A B x x x x y y y y y y ++++-++=联立242(1)
y x y x ⎧=⎨=-⎩，消去y 整理得2310x x -+=，则3,1A B A B x x x x +==，
所以2(2)2A B A B y y x x +=+-=，4(1)4A B A A B B x x x y x y =--+=-，
综上，2210y y -+=，则1y =，故(1,1)M -.故答案为：(1,1)
-15.已知双曲线22
22:1(0,0)x y C a b a b
-=>>的右焦点为F ，离心率为e ，过原点的直线与C 的左右两支分别交于
,M N 两点，若4,60MF NF MFN ︒=∠=，则2
2
4
a e +的最小值为__________.
【答案】11
+【分析】先由抛物线的对称性与定义得到MF ，1MF NF =关于,m a 的表达式，从而利用题设条件与余弦定理得到,a c 关于m 的表达式，再利用基本不等式即可得解.【详解】依题意，记双曲线C 的左焦点为1F ，连结1NF ，如图，由抛物线的对称性易得
=OM ON ，又12OF OF =，
所以四边形1MF NF 是平行四边形，则1NF MF =，
因为双曲线22
22:1(0,0)x y C a b a b
-=>>，所以由双曲线的定义可得12MF MF a -=，则2MF NF a -=，
记()0MF m m =>，则12MF NF m a ==-，又4MF NF =，所以()24m m a -=，即42a m m =-，42m a m -=，则22
21648a m m
=+-，因为60MFN ∠=︒，所以1120F MF ∠︒=，在1F MF △中，2
22
1112cos120F F
MF MF MF MF =+-︒，即
()2
2222216
4244412c m a m m a m
=-++=
++=+，
所以2222222
22
244123111444444a c a a a a e a a a ++=+=+=++≥++，
当且仅当2
234
a a =，即2a =时，等号成立，
此时由于2216880m m +
-≥=，当且仅当2216m m =，即2m =时，等号成立，注意当2m =时，2
2
216480a m m =+-=，不满足题意，故2
21680m m
+->，
所以当2a =时，2
2
16
8m m +
-=有解，且由()240m m a -=>得20m a ->，满足题意，
所以2
2
4
a e +的最小值为1+
故答案为：1+
.
16.已知数列{}n a 满足111,
n a na ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭为公差为1的等差数列，若不等式210n
λ⎛⎫-≥⎪⎪⎭
对任意的*N n ∈都成立，则实数λ的取值范围是__________.【答案】4
7
λ≤
【分析】因为1n na ⎧⎫
⎨
⎬⎩⎭
为等差数列，已知首项与公差即可求出通项公式，即可求出数列{}n a 的通项公式，代入不等
式，则不等式恒成立问题转化为最值问题求解即可.
【详解】因为数列{}n a 满足111,n a na ⎧⎫
=⎨⎬⎩⎭为公差为1的等差数列，设1n
n b na =，则11b =，1(1)=+-=n b b n d n ，即
1n n na =，所以21n a n =，*N n ∈，
所以不等式210n
λ⎛⎫-≥⎪⎪⎭，
即210n λ⎛⎫
⎪⎪-≥⎪⎪⎭对任意的*N n ∈都成立，即min 241n n λ⎛⎫≤ ⎪
-⎝⎭，2()41n
f n n =-，248(1),(2),(3)3711f f f ===，(1)(2),(3)(2)f f f f >>，因为2()41
n
f n n =-中分子的增长速度远大于分母，所以min
4()(2)7f n f ==，所以47λ≤，则实数λ的取值范围是4
7
λ≤
.故答案为：47
λ≤
四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17.已知圆C 的圆心坐标为()1,2，且圆C 与直线:270l x y --=相切，过点()3,0A 的动直线m 与圆C 相交于
,M N 两点，点P 为MN 的中点.
（1）求圆C 的标准方程；
（2）求OP
的最大值.
【答案】（1）22(1)(2)20x y -+-=（2
+
【分析】（1）运用点到直线距离公式求出圆C 的半径；
（2）求出点P 的运动轨迹，再确定OP
的最大值.
【小问1详解】
由题意知点C 到直线l 的距离为
r =
=，也是圆C 的半径，
∴
圆C 的半径为则圆C 的标准方程为22(1)(2)20x y -+-=；【小问2详解】
依题意作上图，P 为弦MN 的中点，由垂径定理知：CP MN ⊥，又MN 过定点A ，
∴点P 的轨迹为以CA 为直径的圆，圆心为A ，C 的中点()2,1，半径为
()()
22
13102222
CA
=-+-，
22max ||21252OP ∴=+=
；
综上，圆C 的标准方程为2
2
(1)(2)20x y -+-=，OP
的最大值为52+.
18.已知数列{}n a 是等差数列，n S 是等比数列{}n b 的前n 项和，41238,a b a b ===，36S =.（1）求数列{}{},n n a b 的通项公式；（2）求n S 的最大值和最小值.
【答案】（1）34n a n =-，1
182n n b -⎛⎫=⨯- ⎪⎝⎭
（2）n S 的最大值为8，最小值为4.
【分析】(1)根据给定的条件，求出等差数列{}n a 的首项及公差，等比数列{}n b 的公比即可求解作答；(2)由（1）可得161
[1()]32
n n S =⨯--，再分n 为奇数和偶数时，结合n S 的单调性求解即可.【小问1详解】
设{}n a 的公差为{},n d b 的公比为q ，
313S b ≠ ，所以1q ≠，由(
)3
13161b q S q
-==-，解得：12
q =-，
1
182n n b -⎛⎫
∴=⨯- ⎪
⎝⎭
，
又42
234,2,82
a a d a
b a -=
=== ，所以3d =，()2234n a a n d n ∴=+-=-；
【小问2详解】
由（1）和等比数列的前n 项和公式可知：
11616181,21,23321611132161611,2,2332n n
n
n n
n k k S n k k ⎡⎤⎧⎛⎫⎛⎫⨯--⎢⎥+⨯=+∈ ⎪⎪ ⎪⎡⎤⎝⎭⎢⎥⎪⎝⎭
⎛⎫⎣⎦==⨯--=⎢⎥⎨ ⎪⎛⎫⎝⎭⎢⎥⎛⎫
⎪⎣⎦-- ⎪-⨯=∈ ⎪⎪⎝⎭
⎝⎭⎩
Z Z ，显然，当n 为奇数时，16
,3
n n S S >单调递减；当n 为偶数时，16
,3
n n S S <
单调递增，1n ∴=时，n S 有最大值为8，2n =时，n S 有最小值为4.
19.如图，四边形ABCD 是边长为1的正方形，ED ⊥平面,ABCD FB ⊥平面ABCD ，且1ED FB ==
.
（1）求证：EC ⊥平面ADF
（2）在线段EC 上是否存在点G （不含端点），使得平面GBD 与平面ADF 的夹角为45 ，若存在，指出G 点的位置；若不存在，请说明理由.【答案】（1）证明见解析
（2）存在，G 为线段EC 上靠近E 的三等分点
【分析】（1）建立空间直角坐标系，得到0EC DF EC DA ⋅=⋅=
故EC ⊥DF ，EC ⊥DA ，从而证明出线面垂直；
（2）设(01)EG EC λλ=<<
，得到G 的坐标为()0,,1λλ-，求出平面的法向量，列出方程，求出1
3
λ=
，得到G 为线段EC 上靠近E 的三等分点.
【小问1详解】
以点D 为原点，以,,DA DC DE 所在的直线为x 轴，y 轴，z
轴建立空间直角坐标系，
则()()()()()()0,0,0,1,0,0,1,1,0,0,1,0,0,0,1,1,1,1D A B C E F ，
()()()0,1,1,1,0,0,1,1,1EC DA DF ∴=-==
，0
110
EC DA EC DF ⎧⋅=⎪⎨⋅=-=⎪⎩
，故EC ⊥DF ，EC ⊥DA ，∵DA DF D = ，,DA DF ⊂平面ADF ，
EC ∴⊥平面ADF ；
【小问2详解】
设(01)EG EC λλ=<<
，则G 的坐标为()()0,,1,0,,1DG λλλλ-=- ，
设平面GBD 的法向量为(),,n m n t =
，
则由()10
n DG n t n DB m n λλ⎧⋅=+-=⎪⎨⋅=+=⎪⎩
，令1n λ=-，则1,m t λλ=-=-，则法向量()1,1,n λλλ=---
，
平面GBD 与平面ADF 的夹角为45
，且平面ADF 的法向量为()0,1,1EC =-
，
cos45n EC n EC ⋅∴==
01λ<<Q ，
∴解得13
λ=
，G ∴为线段EC 上靠近E 的三等分点.
20.记n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知11a =，3221n n a S n -=-.（1）求证：数列{}1n a +为等比数列；（2）若1
1
n n n n a b a a ++=
，则求数列{}n b 的前n 项和n T .【答案】（1）证明见解析
（2）31231
n n n T -=
⋅-【分析】（1）由n a 与n S 的关系，结合等比数列的定义进行证明；（2）将n a 代入1
1
n n n n a b a a ++=，使用裂项相消法进行求和.【小问1详解】
∵3221n n a S n -=-，①
∴当2n ≥时，()1132211n n a S n ---=--，②
①-②，得()113322n n n n a a S S -----=，即12332n n n a a a ---=，∴化简整理得()1131n n a a -+=+（2n ≥），又∵11112a +=+=，
∴数列{}1n a +中各项均不为0，且
11
31
n n a a -+=+（2n ≥），
∴数列{}1n a +是首项112a +=，公比为3的等比数列.【小问2详解】
由第（1）问，1
123
n n a -+=⋅，∴1
23
1n n a -=⋅-，
∴()()()()()()1
11111231231123111122231231231231231231n n n n n n n n n n n
n n a b a a -----+⋅--⋅-+⋅⎛⎫
===⋅=⋅- ⎪⋅-⋅-⋅-⋅-⋅-⋅-⎝⎭
，∴12n n
T b b b =+++ 1111111125517231231n n -⎛⎫=⋅-+-++- ⎪⋅-⋅-⎝⎭ 1112231n ⎛⎫=⋅- ⎪⋅-⎝⎭31
231
n n
-=⋅-.∴数列{}n b 的前n 项和31
231
n n n
T -=⋅-.21.已知抛物线C 的顶点为坐标原点O ，焦点F 在x 轴的正半轴，点(),2Q m 抛物线上，且Q 到抛物线的准线的距离为2.
（1）求抛物线C 的方程；
（2）动点P 在抛物线的准线上，过点P 作拋物线C 的两条切线分别交y 轴于,A B 两点，当PAB
时，求点P 的坐标.【答案】（1）24y x =（2）()
1,2-或()
1,2--【分析】（1）利用抛物线的焦半径公式与标准方程得到关于,p m 的方程组，解之即可；
（2）先由PAB 面积得到()1228k k -=，再联立切线与抛物线方程，结合韦达定理得到1212,k k k k +，从而求得2t =±，由此得解.
【小问1详解】
依题意，设抛物线的方程为22(0)y px p =>，
因为点(),2Q m 在抛物线上，所以42pm =，则2pm =，
因为Q 到抛物线准线的距离为2，所以22
p m +=，联立222pm p m =⎧⎪⎨+=⎪⎩
，解得2,1p m ==，所以抛物线的方程为24y x =.
【小问2详解】
设动点P 的坐标为()1,t -，设直线,PA PB 的斜率为12,k k ，
则直线PA 的方程为()11y k x t =++，直线PB 的方程为()21y k x t =++，
令两个方程中的0x =，则可得()()120,,0,A k t B k t ++，此时1211122PAB S AB k k =
⨯⨯=- ，
因为PAB S =
，所以12k k -=，则()122
8k k -=，设过点P 的抛物线的切线方程为()1y k x t =++，
联立方程()241y x y k x t
⎧=⎪⎨=++⎪⎩，消去x ，得24440t y y k k -++=，因为直线与抛物线相切，所以2
44Δ440t k k ⎛⎫⎛⎫=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，整理得210k tk +-=，由题知直线,PA PB 为抛物线的两条切线，则12,k k 为方程的两根，
所以1212,1k k t k k +=-=-，
由()1228k k -=得()221212448k k k k t +-=+=，解得2t =±，此时，对于210k tk +-=，有240t ∆=+>，满足题意，
所以点P 的坐标为()
1,2-或()1,2--.
.
22.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为32
，过椭圆的一个焦点作垂直于x 轴的直线与椭圆交于,M N 两点，1MN =.
（1）求椭圆C 的方程；
（2）过椭圆C 外一点()2,2P 任作一条直线与椭圆交于不同的两点,A B ，在线段AB 上取一点Q ，满足2PA PB PQ PA PQ PB =+，证明：点Q 必在某条定直线上.
【答案】（1）2
214
x y +=（2）证明见解析
【分析】（1）依题意可得32
c a =、221b MN a ==，即可求出a 、b 、c ，从而求出椭圆方程；（2）法一：设直线方程为()22y k x =-+，()11,A x y ，()22,B x y ，(),Q x y ，由2PA PB PQ PA PQ PB =+，
可得()121212224x x x x x x x -+=+-，联立直线与椭圆方程，消元、列出韦达定理，代入即可得到8641k x k -=+，241y k =+，消去参数k ，即可得解；法二：依题意可得PA PB
QA QB =，设PA AQ λ= ，则PB BQ λ=- ，设()11,A x y ，()22,B x y ，(),Q x y ，根据向
量共线的坐标表示用x 、y 表示1x 、1y 、2x 、2y ，再消去参数即可得解.
【小问1详解】解：由题知32
c a =①，221b MN a ==②，又222a b c =+③，联立①②③解得213
a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，所以椭圆C 的方程为2
214x y +=；
【小问2详解】
解法一：由题知直线的斜率存在，设直线的斜率为k ，则直线方程为()22y k x =-+，设()11,A x y ，()22,B x y ，(),Q x y ，2PA PB PQ PA PQ PB =+ ，
12122222222x x x x x x ∴--=-⋅-+-⋅-，122,2,2x x x <<< ，∴上式可化简为()121212224
x x x x x x x -+=+-，联立()222214y k x x y ⎧=-+⎪⎨+=⎪⎩消去y 化简可得()()
2222148221632120k x k k x k k ++-++-+=，则2122161614k k x x k -+=+，212216321214k k x x k
-+=+，()1212122286441
x x x x k x x x k -+-∴==+-+，代入直线方程()22y k x =-+，即862241k y k k -⎛⎫=-+
⎪+⎝⎭，解得241y k =+，由8641241k x k y k -⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩
消去k 可得420x y +-=，则点Q 必在定直线420x y +-=；法二：2PA PB PQ PA PQ PB =+ ，()()PA PB PQ PB PQ PA ∴-=-，即PA QB PB QA =，PA
PB
QA QB ∴=，
设PA AQ λ= ，则PB BQ λ=-
，设()11,A x y ，()22,B x y ，(),Q x y ，由PA AQ λ= 可得112121x x y y λλλλ+⎧=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩，由PB BQ λ=- ，可得222121x x y y λλλλ-⎧=⎪⎪-⎨-⎪=⎪-⎩
，A 、B 在椭圆2214
x y +=上，
2
222221*********x y x y λλλλλλλλ⎧+⎛⎫⎪ ⎪++⎛⎫⎝⎭⎪+= ⎪⎪+⎝⎭∴⎨-⎛⎫⎪ ⎪⎪--⎛⎫⎝⎭+=⎪ ⎪-⎝⎭⎩
，化简可得()()2222222245(1)445(1)4x y x y x y x y λλλλλλ⎧⎛⎫++++=+⎪ ⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪+-++=- ⎪⎪⎝
⎭⎩，两式相减得到42x y +=，∴点Q 必在定直线420x y +-=上.。