2012年1月份管理类MBA综合考试数学真题及其详细答案解析

2012年1月份管理类MBA 综合考试数学真题及详细答案解析
一、问题求解：第1～15小题，每小题3分，共45分。

下列每题给出的A 、B 、C 、D 、E 五个选项中，只有一项是符合试题要求的。

请在答题卡上将所选的字母涂黑。

1. 某商品的定价为200元，受金融危机的影响，连续两次降价20%以后的售价是
（A ）114元 （B ）120元 （C ）128元 （D ）144元 （E ）160元
解析（C ）2000.80.8128⨯⨯=
2. 在一次捐赠活动中，某市将捐赠的物品打包成件，其中帐篷和食品共320件，帐篷比食品多80件，则帐篷的件数是
（A ）180 （B ）200 （C ）230 （D ）240 （E ）260
解析（B ）设帐篷的件数为x ，则由题意知：
80320200x x x +-=⇒=
3. 如右图，一个储蓄罐的下半部分的底面直径与高均是20米的圆柱
形，上面部分（顶部）是半球形，已知底面与顶部的造价是400元
2/m ，侧面的造价是300元2/m ，该储蓄罐的造价是（ 3.14π=）
（A ）56.52万元（B ）62.8万元（C ）75.36万元（D ）87.92万元
（E ）100.48万元
解析（C ）由已知，底面半径与球半径r 相等，10r =米，圆柱体高
20h =米，从而总造价为：
()222214400230010210400210103002=753600()75.36r r rh ππππππ⎛⎫+⨯⨯+⨯=⨯+⨯⨯+⨯⨯⨯ ⎪⎝⎭
=元（万元）
4. 在一次商品促销活动中，主持人出示一个9位数，让顾客猜测商品的价格，商品的价格 是该9位数中从左到右相邻的3个数字组成的3位数，若主持人出示的是513535319，则顾客一次猜中价格的概率是
（A ）17 （B ）16
（C ）15 （D ）27 （E ）13 解析（B ）从左到右相邻的3个数字组成的3位数有：513,135,353,535,353,531,319，注意其
中353出现了两次，因此所有可能只有6种。

即所求概率为
16
5. 某商店经营15种商品，每次在橱窗内陈列5种，若每两次陈列的商品不完全相同，则最多可陈列
（A ）3000次 （B ）3003次 （C ）4000次 （D ）4003次 （E ）4300次 解析（B ）最多可陈列51515!300310!5!
C ==次 注：由组合数所算出的选法，每种选法选出的情况恰好都不完全相同。

6. 甲，乙，丙三个地区的公务员参加一次测评，其人数和考分情况如下表:
三个地区按平均分由高到低的排名顺序为
（A ）乙，丙，甲 （B ）乙，甲，丙 （C ）甲，乙，丙 （D ）丙，甲，乙
（E ）丙，乙，甲
解析（E ）甲地区的平均分为6107108109107.540
⨯+⨯+⨯+⨯= 乙地的平均成绩为
1561571082097.5860⨯+⨯+⨯+⨯= 丙的区的平均成绩为1061071581597.750
⨯+⨯+⨯+⨯=，所以选（E ） 7. 经统计，某机场的一个安检口每天中午办理安检手续的乘客人数及相应的概率如下表： 该安检口2天中至少有1天中午办理安检手续的乘客人数超过15人的概率是
（A ）0.2 （B ）0.25 （C ）0.4 （D ）0.5 （E ）0.75
解析（E ）每天中午办理安检手续的乘客数超过15人的概率为0.250.20.050.5p =++=，
安检口2天中至少有1天中午办理安检手续的乘客人数超过15人的概率有以下两种
解法：反面考虑：221(1)10.50.75P p =--=-=
正面考虑：122222(1)20.50.50.50.75P C p p C p =-+=⨯⨯+=
8. 某人在保险柜中存放了M 元现金，第一天取出它的
23，以后每天取出前一天所取的13，共取了7天，保险柜中剩余的现金为
（A ）73M 元（B ）63M 元（C ）623M 元（D ）7213M ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦元（E ）72173M ⎡⎤⎛⎫-⨯⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦元 解析（A ）依题意第一天取出23M ，第二天取出22112333M M ⎛⎫⨯= ⎪⎝⎭，第三天取出3211123333M M ⎛⎫⨯⨯= ⎪⎝⎭，，可以看出取出的量是以23
M 为首项，13为公比的等比数列。

七天取出的总量为7721133111313
M M ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎛⎫⎝⎭=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-。

所剩的钱为： 771133M M M ⎛⎫⎛⎫--= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
元 9. 在直角坐标系中，若平面区域D 中所有点的坐标(,)x y 均满足06x ≤≤，06y ≤≤，
223,9y x x y -≤+≥，则D 的面积是
（A ）9(14)4π+ （B ）944π⎛⎫- ⎪⎝⎭ （C ）934π⎛⎫- ⎪⎝⎭
（D ）9(2)4π+ （E ）9(1)4π+ 解析（C ）D 是在正方形06x ≤≤，06y ≤≤中去掉左上角和右下角两个边长为3的等腰
直角三角形及左下角以原点为圆心，3为半径的直角扇形之后剩下的图形（下图阴影部分）。

21
1936233327244
D S ππ=-⨯⨯⨯-⨯=-
10. 某单位春季植树100棵，前2天安排乙组植树，其余任务有甲、乙两组用3天完成，已
知甲组每天比乙组多植树4棵，则甲组每天植树
（A ）11棵 （B ）12棵 （C ）13棵 （D ）15棵 （E ）17棵
解析（D ）设甲组每天植树x 棵，乙组每天植树4x -棵，则由题意知：
2(4)3(24)10015x x x -+-=⇒=
11. 在两队进行的羽毛球对抗赛中，每队派出3男2女共5名运动员进行5局单打比赛，
如果女子比赛安排在第二和第四局进行，则每队队员的不同出场顺序有
（A ）12种 （B ）10种 （C ）8种 （D ）6种 （E ）4种
解析（A ）先排两名女运动员有22P 种排序，再排三名男运动员，有33P 种排序，所以不同出
场顺序有：232312P P =种排序方法。

12. 若32x x ax b +++能被232x x -+整除。

则
（A ）4,4a b == （B ）4,4a b =-=- （C ）10,8a b ==- （D ）10,8a b =-= （E ）2,0a b ==
解析（D ）因为232(1)(2)x x x x -+=--，所以1,2x x --也为32x x ax b +++的因式，
由因式定理知：(1)11010(2)84208f a b a f a b b =+++==-⎧⎧⇒⎨
⎨=+++==⎩⎩ 13. 某公司计划运送180台电视机和110台洗衣机下乡，现有两种货车，甲种货车每辆最多
可载40台电视机和10台洗衣机，乙种货车每辆最多可载20台电视机和20台洗衣机。

已知甲、乙两种货车的租金分别是每400元和360元，则最少的运费是
（A ）2560元 （B ）2600元 （C ）2640元 （D ）2680元 （E ）2720元
解析（B ）设使用甲种货车x 辆，乙种货车y 辆，需要满足的条件为：
40201802910201102110,00,0x y x y x y x y x y x y +≥+≥⎧⎧⎪⎪+≥⇒+≥⎨⎨⎪⎪≥≥≥≥⎩⎩
，运费40036040(109)z x y x y =+=+
由线性规划可知（如下图，阴影部分为可行域，绿色虚线为目标函数），当
2,5x y ==时，min 2600z =
注：上述解法为解决线性规划问题的标准过程，但计算比较繁琐，不推荐在MBA 考试中
使用，以下给出另外一种解题思路：一般最优解都在边界点处取到，先解出
29211
x y x y +=⎧⎨+=⎩的交点713,33⎛⎫ ⎪⎝⎭，不是整数点，需要取其附近的整数点，由于7233
<<，所以取2,3x =，由可行域的条件可算出此时5,4y =，将这两个整数点(2,5),(3,4)带入目标函数比较可知当2,5x y ==时，min 2600z =
14. 如下图，三个边长为1的正方形所组成区域（实线区域）的面积
（A ）3 （B ）3 （C ）3 （D ）3 （E ）3
解析（E ）如下图所示，32()33S x y z a b c d =++++++=正方形，所以实线所围区域的面
积为3()23344x y z a b c d a b c d ++++++=-++-=--=（其中
a b c d ++=，21d ==）
注：本题解法的核心思想：容斥定理。

另外也可以把各个部分的面积单独计算出来。

区域
,,a b c 为顶角为0120，底边为1的等腰三角形，区域d 为边长是1的等边三角形。

然后再用正方形面积减去,,a c d ，算出x 的面积。

读者不妨尝试一下。

15. 如下图，ABC ∆是直角三角形，123,,S S S 为正方形，已知,,a b c 分别是123,,S S S 的边长，
则
（A ）a b c =+ （B ）222a b c =+
（C ）22222a b c =+（D ）333a b c =+
（E ）33322a b c =+
解析（A ）由阴影部分的两个三角形相似可得：
c a c a b c a b b
-=⇒=+-
二、条件充分性判断：第16~25小题，每小题3分，共30分。

要求判断每题给出的条件
（1）和条件（2）能否充分支持题干所陈述的结论。

A 、B 、C 、D 、E 五个选项为判断结果，请选择一项符合试题要求的判断，在答题卡上将所选项的字母涂黑。

（A ）条件（1）充分，但条件（2）不充分.
（B ）条件（2）充分，但条件（1）不充分.
（C ）条件（1）和（2）单独都不充分，但条件（1）和条件（2）联合起来充分.
（D ）条件（1）充分，条件（2）也充分.
（E ）条件（1）和（2）单独都不充分，条件（1）和条件（2）联合起来也不充分.
16. 一元二次方程210x bx ++=有两个不同实根。

（1）2b <- （2）2b >
解析（D ）方程有两个不同实根的充要条件为0∆>，即2402b b ->⇒>或2b <-
所以条件（1）和（2）都充分
17. 数列{}{},n n a b 分别为等比数列与等差数列，1
11a b ==，则22b a ≥ （1）20a > （2）1010a b =
解析（C ）条件（1）：20a >，反例：1231,2,4,
a a a ===；121n
b b b ==== 条件（2）：99101101,9a a q q b b d ===+，即919d q +=，反例：5132,9q d =-=-
，此时225135042199
a b =->=-=-，不充分。

联合（1）（2），由（2）知991199
q d q d -+=⇒=，由（1）知210a q q =⨯=>，所
以9999221811111999q q q b d q a -+++++=+=+==≥==
在本题的解题过程中用到了重要的均值不等式，算术平均数大于等于几何平均数，但是缺少0q >的条件是不行的(一正，二定，三相等)。

所以必须（1）（2）联合才可以推出。

注：本题解法中的均值不等式虽然比较漂亮，但是考试时不容易想到，笔者推荐使用数形结
合法，等比数列通项公式为指数函数，等差数列通项公式为一次函数，在满足题干和条件（1）（2）的前提下，其图像如下，显然无论01,,1q or q <<>，都有2
2b a ≥
18. 直线y ax b =+过第二象限。

（1）1,1a b =-= （2）1,1a b ==-
解析（A ）直接画图或由直线的斜截式的几何意义，知条件（1）表示的直线过1,2,4象限，
条件（2）表示的直线过1,3,4象限。

19．某产品由两道独立工序加工完成，则该产品是合格品的概率大于0.8
（1）每道工序的合格率为0.81 （2）每道工序的合格率为0.9 解析（B ）产品合格要求第一道工序和第二道工序都合格，由于独立，可以使用概率的乘法
公式，条件（1）：该产品是合格品的概率为0.810.810.8⨯<
条件（2）：该产品是合格品的概率为0.90.90.810.8⨯=>
所以条件（1）不充分，条件（2）充分
20. 已知,m n 是正整数，则m 是偶数
（1）32m n +是偶数 （2）2232m n +是偶数
解析（D ）由条件（1）322()m n m n m +=++是偶数，则m 是偶数，即条件（1）充分
由条件（2）22222322()m n m n m +=++是偶数，则2m 是偶数，所以m 是偶数，即条件（2）也是充分的
21. 已知,a b 是实数，则a b >
（1）22a b > （2）2a b >
解析（E ）取1,0a b =-=，可见他满足条件（1）和（2），但是a b <，所以条件（1）和
（2）单独都不充分。

当条件（1）和（2）联合时，1,0a b =-=也是反例。

22. 在某次考试中，3道题中答对2道题即为及格，假设某人答对各题的概率相同，则此人及格的概率是2027。

（1） 答对各题的概率为
23 （2）3道题全部答错的概率为127 解析（D ）由独立重复试验的概率公式：
条件（1）2323332122033327C C ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，所以条件(1)充分。

条件（2） 3道题全部答对的概率为127，设P 为答对各题的概率，则()31127P -=，即23
P =，与条件（1）等价，所以也充分 23．已知三种水果的平均价格为10元/千克，则每种水果的价格均不超过18元/千克
（1） 三种水果中价格最低的为6元/千克
（2） 购买重量分别为1千克、1千克和2千克的三种水果共用46元。

解析（D ）设三种水果的单价分别为,,x y z ，则30x y z ++=
条件（1）：6x =，则24y z +=，显然,y z 的价格均不超过18元/千克，否则与最低价格为6元/千克矛盾。

所以条件（1）充分
条件（2）：246x y z ++=，联立30x y z ++=。

推出16z =14x y ⇒+=。

所以每种水果的价格均不超过18元/千克，条件（2）充分。

24. 某用户要建一个长方形的羊栏，则羊栏的面积大于5002m
（1）羊栏的周长为120米 （2）羊栏对角线的长不超过50米
解析（C ）羊栏的长与宽分别为,a b ，题干要推出500ab >
条件（1
）6060900
a b ab
+=⇒≤⇒≤，反例：1,59
a b
==，所以不充分
条件（2
22
2500
502500
2
a b ab
≤⇒+≤⇒≤，反例：1,1
a b
==，所以
条件（2）不充分。

联合条件（1）（2）：
222
22
222
60602
60250550
50
50
a b a b ab
ab ab
a b
+=
⎧⎧+=-
⇒⇒-≤⇒≥
⎨
+≤
≤⎩
，充分。

25. 直线y x b
=+是抛物线2
y x a
=+的切线
（1）y x b
=+与2
y x a
=+有且仅有一个交点。

（2）2()
y x x b a x R
=-≥-∈
解析（A）条件（1）：如下图（左），y x b
=+与2
y x a
=+有且仅有一个交点，且该直线的斜率为1，不可能平行于y轴，所以该直线必为抛物线的切线，即条件（1）充分。

条件（2）：22
()()
x x b a x R x a x b x R
-≥-∈⇔+≥+∈，即抛物线位于直线的上方或者与直线有交点（下图右），此时直线与抛物线可能相切也可能相离。

所以无法保证直线与抛物线一定相切，不充分。