高一数学教案《4.10 正切函数的图象和性质》

教学设计（主备人：闫定芳） 教研组长审查签名： 高中课程标准∙数学必修第一册（下） 教案执行时间：
4.10 正切函数的图象和性质教学设计
一、内容及其解
1、内容:本节主要学习利用正切线画正切函数的图象及正切函数的图象和性质.
2、解析:通过本节的学习能理解并掌握作正切函数的图象的方法,能用正切函数的图象解决有关问题.
二、目标及其解析 1、目标:
①使学生会利用正切线画出正切函数的图象,并通过图象了解正切函数的性质. ②培养学生应用类比的方法进行学习. ③会求与正切函数相关的简单函数的定义域,值域
2、解析:正切函数是区别于正弦函数的又一三角函数.它与正弦函数的最大区别是定义域的不连续性.为了更好研究其性质,首先讨论y=tanx 的作用.
三、教学问题诊断分析
本节的重点是正切函数的图象和性质.难点是利用正切线画正切函数y=tanx,x ∈(-
2
π,
2
π
)的图象.
四、教学支撑条件分析
为了加强学生对正切函数的图象和性质的理解,用类比的方法利用几何眼画板动态的研究图象,体会数行结合的优点.
五、教学过程设计 (一)教学基本流程
复习正弦曲线的作法→作厂作出正切函数的图象→对比正、余弦函数的性质得到正切函数的性质→小结.
(二)教学情景 1、问题及例题:
问题1：回忆正弦曲线的作图法,由此法能否作出正切函数y=tanx,x ∈(-2
π,
2
π
)的图
象.
设计意图:帮助学生回顾旧知识、同时获得新知识. 问题2: y=tanx (x ∈R,且x ≠
2
π
+k π,k ∈Z)的周期为什么是π.利用这一性质如何作
出此函数的完整图象？对比正、余弦函数的性质得到正切函数的哪些性质？
设计意图:让学生知道正切函数的周期并在最小周期内进行分析. 问题3:对于无数条互相平行的直线x=K π+
2
π
,(k ∈Z)在正切函数的图象中有何特点？
设计意图:让学生知道无数条互相平行的直线x=K π+2
π
,(k ∈Z)与y=tanx 的图象无交
点,且任意两条平行线间的图象均相同.
问题5:回忆y=Asin(ωx+ϕ)的周期,类似地考虑: y=Atan(ωx+ϕ)是周期函数吗？若是如何求？
设计意图:让学生对比分析,易于得出正切函数T=
π
ω
问题6:如何判断函数的单调性？正切函数有减区间吗？若没有,能否说正切函数在整个定义域内是增函数？式说明理由.
设计意图:让学生利用定义法判断函数的单调性正切函数无减区间, 因为正切函数具有周期性,只能在每一个区间内谈单调性.
问题7:如何判断函数的奇偶性,其图象有何特点？
设计意图:让学生回忆奇偶性的定义,即f(-x)=-f(x)则为奇函数,图象关于原点对称. 例1 求函数y=tan(x+
4
π
)的定义域.
解:令Z=x+4
π
、那么y=tanz 的定义域是｛Z ∣Z ≠K π+
2
π
,(k ∈Z.)｝由Z=x+
4
π
、
Z=x+
4
π
可得X= K π+
2
π-
4
π=
4
π
+ K π. 所以函数y=tan(x+
4
π
)的定义域是｛X ∣X ≠K π+
4
π
(k ∈Z.)｝
例2: 求函数y=tan(2x+3
π
)的周期.
解:T=
πω=2
π
例3:判断下列函数的奇偶性 ①y=tanx-sinx. ②y=lg
1tan 1tan x
x
-+
解: ①令f(x)= tanx-sinx,则f(-x)=tan(-x)-sin(-x)=-tanx+sinx=-f(x) 所以f(x)=tanx-sinx 为奇函数, ① 令f(x)=lg
1tan 1tan x x -+ .则f(-x)= lg 1tan()1tan()
x x --+- =lg 1tan 1tan x x +- = - lg 1tan 1tan x
x -+=-f(x)
所以y=lg 1tan 1tan x
x
-+是奇函数.
例4:求函数F(x)=44tan (3)1tan (3)1
x x ππ
---+的周期与单调区间. 解: f(x)=44tan (3)1tan (3)1x x ππ---+=tan(4x ππ-)=tan 4x π.周期T= πω= 4
ππ=4, K π-2
π<
4
x π
.< K π+
2
π
,4k-2<x<4k+2,所以函数F(x)的单调区间是(4k-2,4k+2)(k ∈
Z). 目标检测 第一课时
(1) 求下列函数的定义域: ①
②
(2) 求下列函数的单调区间及周期 ①y=tan x ;
②y=3tanx(
6π
-
4
x )
(3) 判断下列函数的奇偶性; ①y=tanx(-4
π
≤x ≤
3
π
); ②y=tanx+
1
tan 2x
小结:本节主要用到数形结合的思想,即把数量关系转化为图形性问,或把图形性问题转化为数量关系的问题来研究.
配餐作业 A 组:
教材P79 页第1、2、3、4题
设计意图:让学生对正切函数性质灵活运用. B 组:
教材P79页5、6题
设计意图:加强知识的综合性应用. C 组:
教材P80页第6题
设计意图:此题是综合性比较强的题目,让学生自己选择. 目标检测 第二课时
(1)、求下列函数的定义域:
①-tanx), ②
(2)求y=-tanx ²+10tanx-1的值域.
(3)已知 f(x)=tan ²x+tanx(x+3∏/2).求:①f(x)的周期. ②f(x)的单调区间.
设计意图:掌握正切函数的图象和性质,并能正确运用它的性质去解决一些实际问题. 小结:本节主要用到数行结合的思想.既把数量关系问题转化为图象性质问题,或把图形性问题转化为数量关系问题来研究,借助单位圆或正切函数的图象对问题直观、迅速作出判断.
配餐作业 A 组:
1、要得到y=tan(2x-3
π
)的图象,只需将函数y=tan2x 的图象 ( D )
A 、向左平移3
π
个单位 B 、向右平移
3
π
个单位 C 、向左平移
6
π
个单位 D 、 向右
平移
6
π
个单位.
2、当-π/2＜x ＜
2
π
时,函数y=tan ∣x ∣的图象是 ( C )
A 、关于园点对称.
B 、关于x 轴对称.
C 、关于y 轴对称.
D 、不是对称图象. 设计意图:让学生对正切函数性质加深认识并灵活运用。

B 组:
3、已知f(x)=atan 2
π
-bsinx+4(其中a 、b 为常数ab ≠0),如果f(3)=5.则 f(2004π-3)
的值为( C)
A 、-3
B 、-5
C 、3 .
D 、5. 4、函数y=tan(x+5
π
),(x ∈R 且x ≠k π+
310
π
)( k ∈Z.)的单调区间是( ) C 组:
5.求函数y=tan(2x-
3
π
)的定义域、值域、并指出它的周全、奇偶性和单调性.
设计意图:此题是综合性比较强的题目,让学生自己选择. 第三课时 目标检测
1. 比较下列各组数的大小: ①tan1, tqn2, tan3. ②cot(-137π), cot(98
π
)
2. 解不等式tanx ≤-1.
3. 根据正切函数的图象、写出下列不等式的解集. ①tanx ≥-1.
②tan2x ≤-1.
配餐作业 A 组:
1.若x ∈R.则函数y=cos(x+
2
π
) ( A )
A 、是奇函数
B 、是偶函数
C 、既不是奇函数,也不是偶函数
D 、不能确定
2.函数y=tan(
4
π
-x)的定义域是____________________________________.
设计意图:通过练习让学生性质进一步巩固和认识.
B组:
1.比较下列各组数的大小.
tan(6
5
π
) tan(
13
5
π
) cot(-
6
7
π
) cot(-
15
8
π
).
设计意图:让学生掌握用正切函数的单调性来比较正切函数的大小.
C组:
解不等式tanx.
设计意图:用数行结合法去研究简单的正切三角不等式解的一般方法.
教学反思:
教学设计（主备人：闫定芳）教研组长审查签名：
高中课程标准∙数学必修第一册（下）教案执行时间：
4．11 已知三角函数值求角教学设计
一、内容及其解析
1.内容
本节主要学习反正弦、反余弦、反正切的概念;由已知角的正弦值、余弦值或正切值,求出[0,2∏]内的角; 用反正弦、反余弦、反正切的符号表示角.
2.解析
通过本节的学习,能由已知三角函数值求角;会用反三角函数的符号表示角.
二.目标及其解析
1.目标
①会利用函数的单调性判断给定区间上适合已知三角函数值的个数.
②掌握已知正、余弦值的方法与步骤.
2.解析
必须熟练由已知三角函数值求角的解题步骤,在特定区间内, 反正弦、反余弦、反正切表示一个角,应注意其基本区间,并正确的应用诱导公式.
三、教学问题整断分析
本节的重点是已知三角函数值求角.难点是对反三角函数的符号的认识与应用.
四.教学支持条件分析 五.教学过程设计 (一)教学基本流程
复习正弦、余弦、正切三种重要的三角函数→利用诱导公式可以求出任意角的三角函数值→利用诱导公式求出[0,2π]中与之对应的角→小结.
(二)教学情景 1.问题及例题
问题1:回忆正、余弦函数在x ∈R 上的单调性. 正弦函数在x ∈R 上的单调性:[-
2
π
+2n π,
2
π
+2n π]上为增函数;在
2
π
+2n π,
32π+2n π]上为减函数; 余弦函数在x ∈R 上的单调性:[ 2n π, 2
π
+2n π]上为减函数; [-π+2n π, 2n π]上为增函数;(以上N ∈Z).
问题2;回忆任意角的三角函数符号 设计意图:回顾旧知识获得新知识.
问题3:书中在定义反三角函数的概念时为何确定一个基本的范围？这个范围有什么优点？可以放大或缩小吗？可以另选吗？
设计意图:让学生知道为了使符合条件的函数值只有一个,确定一个基本的范围. 问题4:指出arcsinx,arctanx 的含义. Arcsinx 表示在[-2
π,
2
π
]上正弦值为x 的角, arctanx 表示在[-
2
π,
2
π
]上正切值为x
的角.
设计意图:让学生加深对三角函数值和角之间的转换关系.
问题5:回忆正切函数的周期性与单调性,如何定义反正切及为何选定([-2
π,
2
π
]作为
基本范围？
设计意图:让学生通过思考掌握由一般到特殊再由特殊到一般的思维过程.
例1: (1)已知,且x ∈[-2π,2
π
],求x;
(2)已知,且x ∈[0,2π],求x 的取值集合.
解：(1)由正弦函数在闭区间[-2
π,
2
π
] 上是增函数和sin
4
π
,可知符合条件的角有且只有一个,既
4
π
, 于是x=
4
π
.
(2)因为>0,所以x 是第一或第二象限角.由正弦函数的单调性和
sin(x-4
π
)= sin
4π
, 可知符合条件的角有且只有一个,既第一象限角4
π
或第二象限角π-
4
π
即
34π.于是所求的x 的集合是(4π,34
π}. 根据图象的性质,为了使符合条件sinx=a(-1≤a ≤1)的角x 有且只有一个,我们选择闭区间[-
2
π,
2
π
]作为基本的范围.在这个闭区间上, 符合条件sinx=a(-1≤a ≤1)的角x,叫
做实数a 的反正弦,记做arcsina,即x=arcsina,其中x ∈[-
2
π,
2
π
],且a=sinx .
例如:
4
π
, 34
π=π,
那么(2)小题的答案可以写成π}.
例2：(1)已知cosx=-0.7660,且x ∈[0, π],求x; (2) 已知cosx=-0.7660,且x ∈[0,2π],求x 的取值集合.
解：(1)由余弦函数在闭区间[0, π]上是减函数和cosx=-0.7660, 可知符合条件的角有且只有一个,这个角为钝角.利用计数器并由cos(π-x)=-cosx=0.7660,
可得π-x=
29π (=40°),所以x=π-29π=79
π.
(2)因为cosx=-0.7660<0,所以x 是第二或第三象限角, 由余弦函数的单调性和
Cos(π+
29π)=cos(π+29π)= cos(79
π), 可知符合条件的角有且只有一个,既第二象限角79π或第三象限角π+29π=119π. 于是所求的x 的集合是{9π,119
π}.根据余弦函数
的图象的性质,为了使符合条件cosx=a(-1≤a ≤1)的角x 有且只有一个,我们选择闭区间[0, π]作为基本的范围.在这个闭区间上, 符合条件cosx=a(-1≤a ≤1)的角x,叫做实数a 的反余弦,记做arccosa,即x=arccosa,其中x ∈[0, π],且a=cosx .
例如:
79π=arcos(-0.7660), 119
π
=2π-arcos(-0.7660),那么例2 第(2)小题的答案可以写成
{arcos(-0.7660), 2π-arcos(-0.7660)}. 例3：(1)已知sinx=-0.3322,且x ∈[-2
π,
2
π
],求x(用弧度来表示);
(2) 已知sinx=-0.3322,且x ∈[-2
π,
2
π
],求x 的取值集合.
解：(1)利用计数器并由
Sin(-x)=-sinx=0.3322,可得-x=19°24′, 所以x=-19°24′(或-
97900
π
),也可写成 X=arcsin(-0.3322). (2)由正弦函数的单调性和
Sin(180°+19°24′)=-sin19°24′=sin(-19°24′). sin(360°-19°24′)=-sin19°24′)=sin(-19°24′),
可知180°+19°24′角, 360°-19°24′角的正弦值也是-0.3322.所以所求的x 的集合是
{199°24′,340°36′}, 或{
997900π,1703900
π
}. 实际上就是{2π+ arcsin(-0.3322)}, π-arcos(-0.3322)
例4：(1)已知tanx=13,且x ∈(-2π,2
π
),求x(精确到0.1π); (2)已知tanx=
1
3
,且x ∈[0,2π], 求x 的取值集合. 解(1) 由正切函数在开区间(-
2
π,
2
π
)上是增函数和tanx=
13
,
可知符合条件的角有且只有一个, 利用计数器可得x=18°26(10
π
).
(2) 由正切函数的周期性,可知当 X=10
π
+π时,
Tanx=
13.所以所求的x 的集合是{10π, 1110
π}. 根据正切函数的图象的性质,为了使符合条件tanx=a(a 为任意实数)的角x 有且只有一个,我们选择开区间(-
2
π,
2
π
)作为基本的范围.在这个开区间上, 符合条件tanx=a(a 为任
意实数)的角x,叫做实数a 的反正切,记做arctana,即x=arctana,其中x ∈(-2
π,
2
π
),且
a=tanx . 那么例4 第(2)小题的答案可以写成{arctan
13, π+ arctan 1
3
}.
例5:已知函数y=Asin(ωx+ ϕ),x ∈R(其中A>0, ω>0)在同一周期内,当x=6
π
时取得
最大值y=4,当x=
76
π
时取得最小值y=-4,求函数解析式. 解:由题意T=2(76π-6
π
)=2π,所以ω=1,又A=4,所以函数解析式可化为
y=4sin(x+ϕ),j 将(
6
π
,4)代入,得ϕ可取
3
π
,故函数的解析式为y=4sin(x+
3
π
).
目标检测 第一课时
(1) 用反三角函数表示下列各式中的x.
①sinx=-13 (-2π<X<2π); ②sinx=25 (2π<X<π); ③cosx=13 (-2
π
<X<0);④tanx=-15(-2
π
<X<0);
2. 已知. (1)x ∈[-2π,2
π
],求x;(2) x ∈[0,2π],求x 的集合;(3) x ∈R 时, x 的集合;
3. 求值cosx[arcsin(-
45)-arccos(-3
5
);
设计意图:让学生通过计算注意到反三角函数表示一个角,因此可以设它为某一个角,根据反三角函数的定义,将问题转化为某三角函数值求值域求角的问题.
小结:反三角函数的概念是中学数学较难理解的概念之一,它之所以难理解是由于三角函数在其整个定义域内并不存在反函数,只有在某一特定区间才存在反函数,因此,反三角函数的值域也就是被陷限制在某一区间内,这个区间常称为反三角函数的主值区间.
配餐作业
A 组:
1.若cosx=-
23
, x ∈[0, π],则x 的值为 ( B ) A.arccos(23) B. π-aeccos(23).C-aeccos(23).D. π+aeccos(23) 2.sin(2arccos 14
)等于 ( A )
设计意图:加强学生对知识的熟练程度.
B 组:
1. 函数y=cosx(x ∈[π,2π])的反函数是_____________________________。

2. 函数f(x)=sinx, x ∈[2π,32π
]的反函数等于 ( D )
A. –aecsinx, x ∈[-1,1]
B. -π–aecsinx, x ∈[-1,1]
C. π+aecsinx, x ∈[-1,1]
D. π–aecsinx, x ∈[-1,1] 设计意图:在掌握反三角函数概念的基础上能够灵活地应用.
C 组:
1、“”是“X=K π+512
π”的什么条件 ( A ) A.必要而不充分 B.充分而不必要 C.充要 D.既不充分也不必要
2、已知sinx=-12
,若满足
(1) x ∈[-2π,2π
]; (2) x ∈[0, 2π]; (3)x 为第三象限角;(4) x ∈R.分别求x.
设计意图:加强优生的综合应用能力既有选择性.
第二课时
目标检测
1.(1)已知sin(x-
3π)=-14,求x;
(2)已知cosx=-
13,①x ∈[0, π]时求角x;② 当x ∈R.求角x;③已知,求角x.
2、(1)已知sinx=a (-1≤a ≤1),分别在下列范围内用反正弦的形式表示角x.
① -2π<X<2π
); ⑵2π<X<32π ;③32π<X<52
π. (2) 已知tan(x-
6π)=5(53π<X<83
π).用反正切表示x. 配餐作业
A 组： 1、函数y=arcsin(x ²+x+1)的定义域为M,值域N,则M ∩N 为（
B ）
A 、[-
2π,1] B 、￠C 、[-1,0]D 、[-2π,2π]
2、函数y=cosx=1(-π≤x ≤0)的反函数是（ A ）
A 、y=-arccos(x-1)（0≤x ≤2）
B 、y=π-arccos(x-1)（0≤x ≤2）
C y=arccos(x-1)（0≤x ≤2）、
D 、y=π+arccos(x-1)（0≤x ≤2）
设计意图:在掌握反三角函数概念的基础上能够灵活地应
B 组:
1.根据下列条件,求△ABC 的内角;
（45°,150°）
2.若tanx=8, x ∈（0,2π）,则x=arctan8或=π+arccostan8
3.若1+√3tanx=0, x ∈[0,2π], 则6或6.
4.若tanx=
13,且0<X<π,则x ∈6,6
} C 组: 1. 已知arctan
121x x --> tan 4
π,求实数X 的取值范围. 答案:取正切值,tan(arctan 121x x -- >tan(4π)→121x x ---1>0→21
x x -<0→x(2x-1)<0→0<x<12. 设计意图:加强优生的综合应用能力既有选择性.
第三课时
目标检测
1. 已知函数y= Asin(ωx+ϕ).x=R （其中A ＞0, ω＞0）在同一周期内,当X=6π时取得最大值Y=4,当X=
76π时取得最小值Y=-4,求函数解析式.
2. 已知函数y=12
cos ²x+ sinxcosx+1, x ∈R, (1) 当函数y 取得最大值时,求自变量X 的集合;
(2) 该函数的图象可由y=sinx (X ∈R)的图象经过怎样的变换得到？
3. 已知cosx(π-2x)=-
13, x ∈[0,2],求X. 配餐作业
A 组: 1.函数y=2sin(3x-
4π)的图象两条相邻对称轴之间的距离是( A ). A 、
3π B 、23π C 、π D 、43
π
2.方程6πsinx=x 的解是( Ｃ )．
Ａ、９个 Ｂ、１０个 Ｃ、１１个 Ｄ、１２个
3.函数y=12
+sinx+cosx 的最大值是( B ).
A -1
B +1
C 、
D 、 4.函数y=2lg 12
(-2sin ²x+5sinx-2)的值域是 （ D ） A 、R B 、R ﹢ G 、R ﹣ D 、C ∪R
设计意图:加强对本单元的知识的综合应用.
B 组：
5.函数y=tan(
x ax +b)的最小正周期是______________________________.
6.函数y=sin ωx(ω≠0)的最小正周期为T.且T ∈(
2π,52π),则ω的取值范围是___________.
4.设函数f(x)=A+Bsinx.若B<0时,f(x)的最大值是
32,最小值是-12,则A=__________,B=_______.
设计意图:巩固知识的训练.
C 组:
7.已知f(x)= 6sin x + 6cos x ,求f(x)的最小正周期,并求X 为何值时,f(x)有最大值.
设计意图:提高综合能力的训练.
第四课时
目标检测:
1. 求值cos[arcsin(-
45)-arccos(-35
)]
配餐作业
A 组 :
1. 已知sin(x-π)=-
12,且-2π<x ≤0,则x=___________________.
2. 已知, π<x<2 π,则x 的值为__________________.
3.若α ,β均为锐角,且2sin α=sin(α+β),则α与β的大小关系为( )
A 、α<β
B 、α>β
C 、α≤β
D 、不确定 设计意图: 根据反三角函数的定义,将问题转化为某三角函数值求角的问题.
B 组:
1.设方程sin2x=a+1在[0,
2π]上有两个不同的实数解,则a 的取值范围是
( ).
A 、[-3,1]
B 、[-π,1]
C 、[0,1]
D 、[0,1]
2.已知sin α>sin β,那么下列命题成立的是 ( )
A 、若α,β是第一象限的角,则cos α>cos β
B 、若α,β是第二象限的角,则tan α>tan β
C 若α,β是第三象限的角,则cos α>cos β
D 、若α,β是第四象限的角,则tan α>tan β
设计意图:在掌握反三角函数概念的基础上能够灵活地应.
C 组:
1.已知,x ∈[-6π,2π
],求函数y=(sinx+1)(cosx+1)的最大值和最小值.
设计意图:提高综合能力的训练.
教学反思:。