信 号 与 线 性 系 统-第5章 1-4

t
1 常用 te (t ) ( s ) 2 ， Re[] ， p （2 重）；
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三、 (t ) 及其导数
(t Biblioteka Baidu 1

(n)
在 s 平面上皆收敛，
n
(t ) s
极点在 s 处。
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讨论： 1） 对有始信号 如： f ( t ) e 由： F ( s )
t
(t )
1 Re[ s ] Re[ ] 。 ，得收敛区 s
i t
再如：
f (t ) e (t )
i
1 由： F ( s ) s ，得收敛区 Re[ s ] max(Re[ i ]) 。 i i
0 0 0 ，不存在双边 LT
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4）双边变换一定要标收敛区，否则原信号不能判断。
1 例： ( t ) s
， ROC : Re[ s ] 0 ， ROC : Re[ s ] 0
1 (t ) s
一、 指数类
1 1． e (t ) ， s
t
Re[] ， p1
1 (t ) ， 0 ， s
2． cos c t (t )
p1 0
0 ， p1, 2 j c
s 2 2 ， s c
c sin c t (t ) 2 2 ， 0， s c
其中， F d ( s )



f ( t ) e st dt ,

称为 双边正变换 或 象函数， 称为：收敛区(ROC：Region Of Convergence)。 而
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对有始信号 f (t ) f (t )(t ) ， 变换对： 有： F ( s )
f (t ) F ( s )



0
f (t ) e
st
dt ， s ROC
1 j st f (t ) F ( s ) e ds t 0 ， j 2j
， Re( ) ，
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二、t 的正幂函数类 1． t ( t ) s
n
n!
n 1
， 0 ， p 0 （n+1 阶）；
常用
n t
1 t (t ) 2 ， 0， s
p 0 （2 阶）；
n! ； 2． t e (t ) ( s ) n 1 ， Re[] ，p （ n+1 重）
5）收敛区内不存在极点。 6）工程上的信号一般是指数阶的有始信号 (时间起点可 t0 <0 )， 故: 取足够大时，LT 总存在，故：此时一般 不标出收敛区。
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7）对有始信号： ① 若 0 0 ，收敛区包括虚轴，则 F( j) F(s) js ， 经典傅里叶变换 F ( j ) 存在； ② 若 0 0 ，则 F ( s ) 存在，但收敛区不包括虚轴，
第 5 章 连续时间系统的复频域分析
§5-1 引言 拉普拉斯变换（ LT : Laplace Transform ） 分析法是常用的分析技术。 本章重点：（1）正反LT及其性质（含双边）； （2）用LT求响应； （3）系统函数H(s) -> 框图（流图）
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§5-2 拉普拉斯变换 由傅里叶变换到拉普拉斯变换 1． 正反拉氏变换的定义 傅里叶变换的不足： i） 指数级以上增长型信号不存在变换； ii）反变换不易求。
单边拉氏正、反变换
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2．LT 的含义： 分解成无穷多个 复指数分量 的迭加。 3． 复频率 s j 与单元信号 e （见书 P219 页图 5-2） 注：（1） 决定信号幅度的变化快慢， 决定信号振荡的频率；
1 f (t ) 2j

j
j
F d ( s ) e ds
st
称为 双边反变换 或 原函数。
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注意：上述变换对中， S 取值要在其收敛区（ROC）中， 若收敛区不包含虚轴，则信号 x(t)的 LT 存 在，而 FT 不存在。
最左边极点决定，收敛区在收敛轴左边。
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3）双边信号，若存在收敛区，一般是带状区域。
σ0+
σ0-
若 0 0 ，双边 LT 不存在。 如 f (t ) cos c t ，

t
st
的关系。
（2）一对共轭分量构成一个变幅（正弦）振荡。
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§ 5-3 拉普拉斯变换的收敛区 若 f (t ) 在任意一段区间上只含有有限个（取值为有限） 的极值点，且 t 时， f (t ) 是 0 指数阶的, 即
t lim f ( t ) e 0 ， ( 0 ) ； ① 对有始信号，若 t
t
1 2
( j ) t



Fd ( s )e
j t
d
1 f ( t ) ∴ 2



Fd ( s)e
1 j st d Fd ( s)e ds 2j j

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由上有：
f (t ) Fd ( s )
t
， Re[] ， p1, 2 jc ；
e t e t s 2 4． ch t(t ) 2 s 2 ，
Re( ) ，
p1, 2 ； p1, 2 ；
et e t sht(t ) 2 2 s 2

有始信号收敛区的收敛轴由最右边极点决定，收敛区在收
敛轴右边；
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2）同理，对左边信号，结论相反。 如： f ( t )
e
j
jt
(t )
j
1 sj
收敛区： Re[ s ] min(Re[ j ]) 。
左边信号收敛区的收敛轴由
p1, 2 jc
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s e t t cos ( ) c 3． ( s )2 c2 ， Re[] ， p1, 2 jc ；
t
c e sinct (t ) ( s )2 c2
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t t f ( t ) e ( t ) e (t) ( 0 ) 如
f1(t)=f(t)e-σt
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令
f 1 (t ) f (t ) e t
( )
则 f 1 ( t ) 可积，即其傅里叶变换存在。 记 即 令 则
F ( j ) 不存在；
③ 若 0 0 ，经典 F ( j) 不存在，但广义 F ( j ) 存在， 此时注意：广义 F( j) F(s) s j 如
1 (t ) ， s
1 (t ) () j
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§ 5-4 常用函数的(单边)拉普拉斯变换
f1 (t ) F1 ( j )
F1( j) f1(t)e
jt
dt f (t)e


( j )t
dt
s j
f ( t ) e dt F ( j ) = = Fd ( s ) 1
st

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由： f 1 (t ) f (t ) e
t lim f ( t ) e 0 ， ( 0 ) ； ② 对左边信号，若 t
t lim f ( t ) e 0 ， (0 0 ) ③ 对双边信号， t
则其拉氏变换在以上区域（收敛区 ROC）中收敛， 称 s 0 为收敛轴（边界），注意：收敛区不包含边界。