2018湖南永州市中考数学试卷及答案解析

2018年湖南省永州市初中毕业、升学考试
数学学科
（满分150分，考试时间120分钟）
一、选择题：本大题共10个小题,每小题4分,共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（2018湖南省永州市，1，4）-2018的相反数是 （ ） A ．2018
B ．-2018
C ．
1
2018
D ．1
2018
-
【答案】A 2．（2018湖南省永州市，2，4）誉为全国第三大露天碑林的“浯溪碑林”，摩崖上铭刻着500多方古今名家碑文，其中悬针篆文具有较高的历史意义和研究价值，下面四个悬针篆文文字明显不是．．
轴对称图形的是 （ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】C
3．（2018湖南省永州市，3，4）函数1
3
y x =
-中自变量x 的取值范围是 （ ）
A ．3x ≥
B ．3x <
C ．3x ≠
D ．3x =
【答案】C 4．（2018湖南省永州市，4，4）下图几何体的主视图是
（ ）
A ．
B ． C. D ．
【答案】B 5．（2018湖南省永州市，5，4）下列运算正确的是 （ ） A ．m 2+2m 3=3m 5 B ．m 2·m 3=m 6 C.(-m)3=-m 3 D ．(mn)3=mn 3 【答案】C 6．（2018湖南省永州市，6，4）已知一组数据45，51，54，52，45，44，则这组数据的众数、中位数分别为（ ）A ．45，48 B ．44，45 C.45，51 D ．52，53 【答案】A 7．（2018湖南省永州市，7，4）下列命题是真命题的是 （ ） A ．对角线相等的四边形是矩形 B ．对角线互相垂直的四边形是菱形 C. 任意多边形的内角和为360°
D ．三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半 【答案】D
【解析】对角线相等的平行四边形是矩形，则选项A 不正确；对角线互相垂直平分的四边形是菱形，则选项B 不正确；任意多边形的内角和为180°(n-2)，则选项C 不正确；三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三
边的一半，则选项D 正确. 因此，本题选D ． 8．（2018湖南省永州市，8，4）如图，在△ABC 中，点D 是边AB 上的一点，∠ADC=∠ACB ，AD=2，BD=6，则边AC 的长为 （ ）
A B
C
D
A ．2
B ．4 C.6 D ．8 【答案】B
【解析】∵∠A=∠A ，∠ADC=∠ACB ，∴△ADC ∽△ACB ，∴AC ：AB=AD ：AC ，∴AC 2=AD •AB=2×8=16，∵AC ＞0，∴AC=4. 因此，本题选B ．
9．（2018湖南省永州市，9，4）在同一平面直角坐标系中，反比例函数()0b
y b x
=≠与二次函数y=ax 2+bx(a ≠0)的图象大致是
（ ）
x
y
O
x
y
O
x
y
O
x
y
O
A ．
B ． C. D ．
【答案】D
【解析】A 、抛物线y=ax2+bx 开口方向向上，则a ＞0，对称轴位于y 轴的右侧，则a 、b 异号，即b ＜0．所以反
比例函数()0b
y b x
=
≠的图象位于第二、四象限，故本选项错误；B 、抛物线y=ax2+bx 开口方向向上，则a ＞0，对称轴位于y 轴的左侧，则a 、b 同号，即b ＞0．所以反比例函数()0b
y b x
=≠的图象位于第一、三象限，故本
选项错误；C 、抛物线y=ax2+bx 开口方向向下，则a ＜0，对称轴位于y 轴的右侧，则a 、b 异号，即b ＞0．所以
反比例函数()0b
y b x
=
≠的图象位于第一、三象限，故本选项错误；D 、抛物线y=ax2+bx 开口方向向下，则a ＜0，对称轴位于y 轴的右侧，则a 、b 异号，即b ＞0．所以反比例函数()0b
y b x
=≠的图象位于第一、三象限，
故本选项正确．因此，本题选D ． 10．（2018湖南省永州市，10，4）甲从商贩A 处购买了若干斤西瓜，又从商贩B 处购买了若干斤西瓜，A 、B 两处所购买的西瓜重量之比为3:2，然后将买回的西瓜以从A 、B 两处购买单价的平均数为单价全部卖给了乙，结果发现他赔钱了，这是因为 （ ） A ．商贩A 的单价大于商贩B 的单价 B ．商贩A 的单价等于商贩B 的单价 C. 商贩A 的单价小于商贩B 的单价 D ．赔钱与商贩A 、商贩B 的单价无关 【答案】A
【解析】利润=总售价-总成本=a+b
2
×5-（3a+2b ）=0.5b-0.5a ，赔钱了说明利润＜0，∴0.5b-0.5a ＜0，∴a ＞b. 因此，本题选A ．
二、填空题：每题4分，满分32分. 11．（2018湖南省永州市，11，4）截止2017年年底，我国60岁以上老龄人口达2.4亿，占总人口比重达17.3%，将2.4亿用科学记数法表示为 ． 【答案】2.4×108 12．（2018湖南省永州市，12，4）因式分解：x 2-1= ． 【答案】(x-1)( x+1)
13．（2018湖南省永州市，13，4）一副透明的三角板，如图叠放，直角三角板的斜边AB 、CE 相交于点D ，则∠BDC= ．
E
A
B
C
D
F
E
D
C
B
A
【答案】75°
14．（2018湖南省永州市，14，4）化简：22
11121
x x x x x +⎛
⎫+÷= ⎪--+⎝⎭ ． 【答案】
-1
1
x x + 【解析】根据分式的运算法则，先把括号里面通分，再将括号外面的除法变为乘法，把能分解因式的分解因式，
然后约分化简．原式=2-11(x 1)1(x 1)x x x +-⨯-+=-11x x +.因此，本题填：-1
1
x x +． 15．（2018湖南省永州市，15，4）在一个不透明的盒子中装有n 个球，它们除了颜色之外其它都没有区别，其
中含有3个红球，每次摸球前，将盒中所有的球摇匀，然后随机摸出一个球，记下颜色后再放回盒中.通过大量重复试验，发现摸到红球的频率稳定在0.03，那么可以推算出n 的值大约是 ． 【答案】100
【解析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，因此，可以从比例关系入手，列出方程求解．即：
3
n
=0.03，解得，n=100．故估计n 大约是100．因此，本题填：100． 16．（2018湖南省永州市，16，4）如图，在平面直角坐标系中，已知点A(1，1)，以点O 为旋转中心，将点A 逆时针旋转到点B 的位置，则弧AB 的长为 ．
x
y
A
B
O
2π
【解析】由点A （1，1），可得
，点A 在第一象限的角平分线上，那么∠AOB=45°，再根据弧
长公式计算，弧AB
的长为
45180
π=4
π．因此，本题填：4
． 17．（2018湖南省永州市，17，4）对于任意大于0的实数x 、y ，满足：log 2(x ·y )= log 2x+ log 2y ，若log 22=1，则
log 216= ． 【答案】4
【解析】根据条件中的新定义，可将log 216化为log 2(2×2×2×2)=log 22+ log 22+ log 22+ log 22=1+1+1+1=4．因此，
本题填：4． 18．（2018湖南省永州市，18，4）现有A 、B 两个大型储油罐，它们相距2km ，计划修建一条笔直的输油管道，
使得A 、B 两个储油罐到输油管道所在直线的距离都为0.5km ，输油管道所在直线符合上述要求的设计方案有 种. 【答案】4
【解析】点A 、B 可以在输油管道所在直线的同侧或异侧两种情形讨论即可．当点A 、B 位于输油管道所在直线
的同侧时，这条直线平行线于直线AB ，且到AB 的距离为0.5km 的两条直线，如图l 1、l 2；当点A 、B 位于输油管道所在直线的两侧时，由于到输油管道所在直线的距离都为0.5km ，则这条直线必过线段AB 的中点C ，且AD=0.5km ，AC=1km ，则∠ACD=30°，如图l 3、l 4.所以，输油管道所在直线符合上述要求的设计方案有4种.因此，本题填：4．
D
l 4
l l 1
l 2
三、解答题（本大题共8小题，共78分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
） 19．（2018湖南省永州市，
19，8）计算：1
2601-+
.
解：原式
=
122+1-3=12-3
2
+2=1
20．（2018湖南省永州市，20，8）解不等式组()2112,
112x x x -+<+⎧⎪
⎨->-⎪⎩，并把解集在数轴上表示出来.
解：()()()21121,1122
x x x -+<+⎧⎪⎨->-⎪⎩
由(1)得：2x-2+1＜x+2， 解得： x ＜3， 由(2)得： x-1＞-2， 解得： x ＞-1，
即3,
1x x <⎧⎨
>-⎩
所以，原不等式组的解集为-1＜x ＜3， 原不等式组的解集在数轴上表示为：
21．（2018湖南省永州市，21，8）永州植物园“清风园”共设11个主题展区.为推进校园文化建设，某较九年级（1）班组织部分学生到“清风园”参观后，开展“我最喜欢的主题展区”投票调查，要求学生从“和文化”、“孝文化”、“德文化”、“理学文化”、“瑶文化”五个展区中选择一项，根据调查结果绘制出了两幅不完整的条形统计图和扇形统计图，结合图中信息，回答下列问题. （1）参观的学生总人数为 人；
（2）在扇形统计图中最喜欢“瑶文化”的学生占参观总学生数的百分比为 ； （3）补全条形统计图；
（4）从最喜欢“德文化”的学生中随机选两人参加知识抢答赛，最喜欢“德文化”的学生甲被选中的概率为 .
主题展区
人数（人）
E
D C
B A 2
4681012O
解：（1）参观的学生总人数为12÷30%=40（人）； （2）喜欢“瑶文化”的学生占参观总学生数的百分比为
6
40
×100%=15%； （3）“德文化”的学生数为40﹣12﹣8﹣10﹣6=4，条形统计图如下：
（4）设最喜欢“德文化”的4个学生分别为甲乙丙丁，画树状图得：
由树状图可知：共有12种等可能的结果，甲同学被选中的有6种情况，
∴ 甲同学被选中的概率是：
612=12
． 因此，本题答案为：40；15%；1
2
．
22．（2018湖南省永州市，22，10）如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，∠CAB=30°，以线段AB 为边向外作等边△ABD ，点E 是线段AB 的中点，连接CE 并延长交线段AD 于点F. （1）求证：四边形BCFD 为平行四边形； （2）若AB=6，求平行四边形BCFD 的面积.
F
E
D
C
B
A
解：（1）证明：在△ABC 中，∠ACB=90°，∠CAB=30°，∴ ∠ABC=60°．
在等边△ABD 中，∠ABD=∠BAD=60°，∴∠BAD=∠ABC ，∴AD ∥BC ．
∵ E 为AB 的中点，∴ CE=
1
2
AB=BE ， ∵ ∠ABC=60°，∴ △BCE 是等边三角形，∴ ∠BE C=60°， ∴ ∠ABD=∠BEC ，∴BD ∥CF ，即：AD ∥BC ，BD ∥CF ， ∴ 四边形BCFD 是平行四边形．
（2）解：在Rt △ABC 中，∵∠BAC=30°，AB=6，sin ∠CAB=
BC AB ，co s ∠CAB=AC
AB
， ∴ BC= sin ∠CAB ·AB=
1
2
AB=3，AC=co s ∠CAB ·AB=32AB=33，
∴S 平行四边形BCFD =3×33=93．
23．（2018湖南省永州市，23，10）在永州在青少年禁毒教育活动中，某班男生小明与班上同学一起到禁毒教育
基地参观，以下是小明和妈妈的对话，请根据对话内容，求小明班上参观禁毒教育基地的男生和女生的人数.
妈妈，我们班共有55人参观
了禁毒教育基地。

大家集合
时，我看到男同学人数是女
同学人数的1.5倍还多4人。

小明，你们班这次参观禁毒教育基地的男、女同学各有多少人？
解：设女同学人数为x 人，则男同学人数为(1.5x+4+1)人，根据题意，得：
x+(1.5x+4+1)=55，解得x=20，则1.5x+4+1=35
答：小明班上参观禁毒教育基地的男生有35人、女生有为20人.
24．（2018湖南省永州市，24，10）如图，线段AB 为⊙O 的直径，点C 、E 在⊙O 上，弧BC =弧CE ，CD ⊥AB ，垂足为点D ，连接BE ，弦BE 与线段CD 相交于点F . （1）求证：CF =BF ； （2）若cos ∠ABE =
4
5
，在AB 的延长线上取一点M ，使BM =4，⊙O 的半径为6，求证：直线CM 是⊙O 的切线. M
O
B
C E
F
D
H
G
M
O
B
C
E
F D
解：（1）延长CD 交⊙O 于G ，
∵ CD ⊥AB ，∴弧BC=弧BG ，
∵ 弧BC=弧CE ，∴弧CE=弧BG ， ∴ ∠CBE=∠GCB ，∴ CF=BF ； （2）连接OE 、OC ，OC 交BE 于H ， ∵ 弧BC=弧CE ，∴∠EOC=∠BOC ， ∵ OE=OB ，∴ OC ⊥BE ， 在Rt △OBH 中，cos ∠OBH=
BH OB =45，∴BH=4
5
×6=245，
∴2
2246(
)5-18
5
， ∵ OH OC =18
56=35，OB OM =664+=35，∴OH OC =OB
OM
，而∠HOB=∠COM ，
∴ △OHB ∽△OCM ，∴ ∠OCM=∠OHB=90°，即：OC ⊥CM ， ∴ 直线CM 是⊙O 的切线．
25．（2018湖南省永州市，25，12）如图1，抛物线的顶点A 的坐标为(1，4)，抛物线与x 轴相交于B 、C 两点，与y 轴交于点E (0，3).
（1）求抛物线的表达式；
（2）已知点F (0，-3)，在抛物线的对称轴上是否存在一点G ，使得EG +FG 最小，如果存在，求出点G 的坐标；如果不存在，请说明理由.
（3）如图2，连接AB ，若点P 是线段OE 上的一动点，过点P 作线段AB 的垂线，分别与线段AB 、抛物线相交于点M 、N （点M 、N 都在抛物线对称轴的右侧），当MN 最大时，求△PON 的面积.
图1
y A
O
x B F C E
x
y 图2
y
x A
O
B F C
E
M
N
P
解：(1) 设所求二次函数的表达式为y=a(x-1)2+4，
∵ 抛物线与y 轴交于点E (0，3)，∴a(0-1)2+4=3，解得a=-1， ∴ 所求二次函数的表达式为y=-(x-1)2+4，即y=-x 2+2x+3； (2) 存在一点G ，使得EG +FG 最小.
∵ 抛物线的顶点A 的坐标为(1，4)，
∴ 点E (0，3)关于抛物线对称轴成轴对称的点为E ′(2，3)， ∵ 设直线E ′F 的函数表达式为y=kx+b ，
∴ 23
3
k b b +=⎧⎨
=-⎩，解得33k b =⎧⎨=-⎩，即y =3x -3，
当x=1时，y =0，即点G (1，0)，使得EG +FG 最小.
G E ′
图1
y A
O
B
F C E
x
y T S 图2
y
x A O
B
F C
E
M
N
P
(3) 连接AN 、BN ，过点N 作NT ∥y 轴交AB 、x 轴分别于点S 、T.
y=-x 2+2x+3，当y=0时，x 1=-1，x 2=3，则B(3，0)； ∵ A(1，4)，B(3，0)，∴5； 设直线AB 的函数表达式为y=mx+n ，
∴ 430m n m n +=⎧⎨
+=⎩，解得2
6m n =-⎧⎨=⎩
，即y =-2x+6，
设N(n ，-n 2+2n+3)，则S(n ，-2n+6)，∴ NS=-n 2+4n-3 ∵ S △ABN =S △ANS +S △BNS ，∴
12AB ·MN=1
2
NS ·(3-1)， ∴ MN=
55(-n 2+4n-3)=-55(n 2-4n+3)=-55(n-2)2+5
5
，
即n=2时，N(2，3)，线段MN 最大，为
5
5
； ∵ PN ⊥AB ，则直线PN 的函数表达式为：y =12x+c ，且N(2，3)，∴c=2，则y =1
2
x+2， ∴ 点P(0，2)，∴S △OPN =
12OP ·x N =1
2
×2×2=2. 26．（2018湖南省永州市，26，12）如图1，在△ABC 中，矩形EFGH 的一边EF 在AB 上，顶点G 、H 分别在BC 、AC 上，CD 是边AB 上的高，CD 交GH 于点I ，若CI =4，HI =3，AD =
9
2
，矩形DFGI 恰好为正方形. （1）求正方形DFGI 的边长；
（2）如图2，延长AB 至P ，使得AC =CP ，将矩形EFGH 沿BP 的方向向右平移，当点G 刚好落在CP 上时，试判断移动后的矩形与△CBP 重叠部分的形状是三角形还是四边形，为什么？ （3）如图3，连接DG ，将正方形DFGI 绕点D 顺时针旋转一定的角度得到正方形DF ′G ′I ′.正方形DF ′G ′I ′分别与线段DG 、DB 相交于点M ，N ，求△MNG ′的周长.
H
I
G
D
B C
A
E
F 图1
P
G
I
H D F A E
B C
图2
G′F′
I′
G I H
D
A E
M
B
C
N
F 图3
解：（1）∵ HI ∥AD ，∴
HI AD =CI
CD ， ∴ 392
=4CD ，∴ CD=6，
∴ ID=CD ﹣CI=2，
∴ 正方形的边长为2．
（2）如图2中，设等G 落在PC 时对应的点为G′，点F 的对应的点为F′．
∵ CA=CP ，CD ⊥PA ，∴ ∠ACD=∠PCD ，∠A=∠P ， ∵ HG′∥PA ，∴ ∠CHG′=∠A ，∠CG′H=∠P ， ∴ ∠CHG′=∠CG′H，∴ CH=CG′，
∴IH=IG′=DF′=3，
∵ IG∥DB，∴GI
BD
=
CI
CD
，
∴
2
DB
=
4
6
，∴DB=3，
∴DB=DF′=3，
∴点B与点F′重合，
∴移动后的矩形与△CBP重叠部分是△BGG′，
∴移动后的矩形与△CBP重叠部分的形状是三角形．
（3）如图3中，如图将△DMI′绕点D逆时针旋转90°得到△DF′R，此时N、F′、R共线．
∵∠MDN=∠NDF+∠MDI′=∠NDF′+∠DF′R=∠NDR=45°，
∵ DN=DN，DM=DR，
∴△NDM≌△NDR，
∴MN=NR=NF′+RF′=NF′+MI′，
∴△MNG′的周长=MN+MG′+NG′=MG′+MI′+NG′+F′R=2I′G′=4．。