2017年全国卷3文科数学试题及参考答案

2017年全国卷3⽂科数学试题及参考答案
绝密★启封并使⽤完毕前
试题类型：新课标Ⅲ
2017年普通⾼等学校招⽣全国统⼀考试
⽂科数学
本试卷分第I 卷(选择题)和第II 卷(⾮选择题)两部分，共24题，共150分，共4页。

考试结束后，将本试卷和答题卡⼀并交回。

注意事项：
1.答题前，考⽣先将⾃⼰的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2.选择题必须使⽤2B 铅笔填涂；⾮选择题必须使⽤0.5毫⽶⿊字迹的签字笔书写，字体⼯整，笔迹清楚。

3.请按照题号顺序在各题⽬的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案⽆效；在草稿纸、试题卷上答题⽆效。

4.作图可先⽤铅笔画出，确定后必须⽤⿊⾊字迹的签字笔描⿊。

5.保持卡⾯清洁，不要折叠、不要弄破，不准使⽤涂改液、修正液、刮纸⼑。

第I 卷
⼀、单选题 (本⼤题共12⼩题，每⼩题5分，共60分。

)
1. 已知集合{}{}1,2,3,4,2,4,6,8A B ==，则A B 中的元素的个数为( )
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
2. 复平⾯内表⽰复数()2z i i =-+的点位于( )
A. 第⼀象限
B. 第⼆象限
C. 第三象限
D. 第四象限
3．某城市为了解游客⼈数的变化规律，提⾼旅游服务质量，收集并整理了2014年1⽉⾄2016年12⽉期间⽉接待游客量(单位：万⼈)的数据，绘制了下⾯的折线图．
根据该折线图，下列结论错误的是( )
A. ⽉接待游客量逐⽉增加
B. 年接待游客量逐年增加
C. 各年的⽉接待游客量⾼峰期⼤致在7，8⽉
D. 各年1⽉⾄6⽉的⽉接待游客量相对于7⽉⾄12⽉，波动性更⼩，变化⽐较平稳 4．已知4sin cos 3
αα-=，则sin 2α=( ) A. 79- B. 29- C. 29 D. 79
5. 设,x y 满⾜约束条件326000x y x y +-≤??≥??≥?
则z x y =-的取值范围是( )
B. []3,2-
C. []0,2
D. []0,3
6. 函数()1sin cos 536f x x x ππ=++- ?
的最⼤值为( ) A. 65 B. 1 C. 35 D. 15
7. 函数2sin 1x y x x =++
的部分图像⼤致为
( )
8．执⾏右⾯的程序框图，为使输出S 的值⼩于91，则输⼊的正整数N 的最⼩值为( )
A. 5
B. 4
C. 3
D. 2
9. 已知圆柱的⾼为1，它的两个底⾯的圆周在直径为2的同⼀个球的球⾯上，则该圆柱的体积为( )
A. π
B. 34π
C.2π
D. 4
π 10. 在正⽅体1111ABCD A B C D -中，E 为棱CD 的中点，则( )
A.11A E DC ⊥
B. 1A E BD ⊥
C. 11A E BC ⊥
D. 1A E AC ⊥
11. 已知椭圆()22
22:10x y C a b a b
+=>>的左、右顶点分别为A 1，A 2，且以线段A 1A 2为直径的圆与直线20bx ay ab -+=相切，则C 的离⼼率为( )
A . 63
B . 33
C . 23
D . 13 12. 已知函数()()2112x x f x x x a e e --+=-++有唯⼀零点，则a =( )
A . 12-
B . 13
D . 1 第II 卷
本卷包括必考题和选考题两部分.第(13)题~第(21)题为必考题，每个试题考⽣都必须作答.第
(22)题、第(23)题为选考题，考⽣根据要求作答.
⼆、填空题 (本⼤题共4⼩题，每⼩题5分，共20分)
13. 已知向量()2,3a =- ，()3,b m = ，且a b ⊥，则m =____。

14. 双曲线()22
2109
x y a a -=>的⼀条渐近线⽅程为35y x =，则a =____。

15. ABC ?内⾓,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知60,6,3C b c === ，则__.A =
16. 设函数()1,02,0
x x x f x x +≤?=?>?则满⾜()112f x f x ??+-> 的x 的取值范围是_______。

三、简答题(本⼤题共6⼩题，共70分。

)
17. 设数列{}n a 满⾜()123...212n a a n a n +++-=
(1)求数列{}n a 的通项公式；
(2)求数列21n a n +??
的前n 项和； 18. 某超市计划按⽉订购⼀种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完。

根据往年销售经验，每天需求量与当天最⾼⽓温(单位：C )有关。

如果最⾼⽓温不低于25，需求量为500瓶；如果最⾼⽓温位于区间[)20,25，需求量为300瓶；如果最⾼⽓温低于20，需求量为200瓶。

为了确定六⽉份的订购计划，统计了前三年六⽉份各天的最⾼⽓温数据，得下⾯的频率分布表：
以最⾼⽓温位于各区间的频率代替最⾼⽓温位于该区间的概率。

(1)估计六⽉份这种酸奶⼀天的需求量不超过300瓶的概率；
(2)设六⽉份⼀天销售这种酸奶的利润为Y (单位：元)。

当六⽉份这种酸奶⼀天的进货量为450瓶时，写出Y 的所有可能值并估计Y ⼤于0的概率？
19. 如图，四⾯体ABCD 中，ABC ?是正三⾓形，AD CD =
(1)证明：AC BD ⊥
(2)已知ACD ?是直⾓三⾓形，AB BD =,若E 为棱BD 上与D 不重合的点，且AE EC ⊥，求四⾯体ABCE 与四⾯体ACDE 的体积⽐
20. 在直⾓坐标系xOy 中，曲线22y x mx =+-与x 轴交于,A B 两点，点C 的坐标为(0,1)。

当m 变化时，解答下列问题：
(1)能否出现AC BC ⊥的情况？说明理由；
(2)证明过,,A B C 三点的圆在y 轴上截得的弦长为定值。

21. 设函数()()2ln 21f x x ax a x =+++.
(1)讨论()f x 的单调性；
(2)当0a <时，证明()324f x a
<--. 22. 选考题：共10分。

请考⽣在第22、23题中任选⼀题作答，如果多做，则按所做的第⼀题计分。

在直⾓坐标系xOy 中，直线1l 与参数⽅程为2,,x t y kt =+??=?
(t 为参数)，直线2l 的参数⽅程为2x m m y k =-+=??
(m 为参数)，设1l 与2l 的交点为P ,当k 变化时，P 的轨迹为曲线C . (1) 写出C 的普通⽅程；
(2) 以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建⽴极坐标系，设()3:cos sin 20l ρθθ+-=，M 为l 3与C 的交点，求M 的极径.
23.选考题：共10分。

请考⽣在第22、23题中任选⼀题作答，如果多做，则按所做的第⼀题计分。

已知函数f (x )=│x +1│–│x –2│.
(1)求不等式f (x )≥1的解集；
(2)若不等式f (x )≥x 2–x +m 的解集⾮空，求m 的取值范围.
参考答案
单选题
1. B
2. C
3. A
4. A
5. B
6. A
7. D
8. D
9. B 10. C
11. A 12. C
单选题详解
1. 集合和集合有共同元素2，4，则所以元素个数为
2.
2. 化解得，所以复数位于第三象限。

3. 由折线图可知，每年⽉接待游客量从8⽉份后存在下降趋势，故选A ．
4.
由题意易知，()216sin cos 9αα-=，1612sin cos 9
αα∴-=，167sin 22sin cos 199
ααα∴==-=- 5.
由题意，画出可⾏域，端点坐标 ,,.
在端点处分别取的最⼩值与最⼤值. 所以最⼤值为，最⼩值为
. 故选
6． ()111331sin cos sin cos cos sin 53652222f x x x x x x x ππ=++-=+++ ? ? ? ?
()
3333sin 3cos sin 3cos 2sin 55553x x x x x π??=+=+=?+ ??
故最⼤值为65
7．
注意到四个答案的差别，可以取⼀个较⼩的⾃变量值，⽐如0.01x =，
则()()2sin 0.010.0110.01 1.0100.01f =++>>，故排除,A C
注意,B D 的差别，可取特别⼤的⾃变量，此时2
sin x x 可忽略不计此时1y x ≈+，故排除B
8. 当输⼊的正整数时，
否，输出
9. 如图所⽰，易知
11,2OA OB ==，32AB ∴=，233124S ππ??∴=?= ? ???，选B
10. 平⾯
,⼜,
平⾯
,⼜
平⾯. 11.
易知圆⼼为原点，半径为a ，故圆⼼到直线20bx ay ab -+=的距离为半径
即222ab a a b
=+ 2224b a b ∴=+
()222233a b a c ∴==- 2263
c c e a a ∴=== 12. ()()()21111x x f x x a e e --+=--++
令()()21g x x =-，则()g x 在(),1-∞上单调递减，在()1,+∞上单调递增；
令()()11x x h x e e --+=+，则由均值不等式得，()h x 在(),1-∞上单调递减，在()1,+∞上单调递增；故当0a >时，()f x 在(),1-∞上单调递减，在()1,+∞上单调递增；
()1120f a ∴=-+=
102
a ∴=>满⾜题意，结合选项知选C B O A
填空题
13. 2
14. 5
15. 75 16.
填空题详解
13.
因为得，。

14. 令双曲线右边的1为0，可得22209
x y a -=，故双曲线的渐近线⽅程为3y x a =±
5a ∴= 15. 有正弦定理知：sin sin B C b c
=，3622sin 32B ?∴==，45B ∴= ，故75A = 16. 画出()f x 及12f x ??- 的图像知()f x 及12f x ??- ??
都是R 上的单调递增函数，故()12f x f x ??+- 也是R 上的单调递增函数，从图像上易判断()112f x f x ??+-= 的解在直线部分，故令1112x x +++=，解得14x =-，故()112f x f x ??+-> ??
的解集为1,4??-+∞
简答题
17.
(1)当时， (1分) 当时，由① (2分
)
② (3分)
① -②得 (4分) 即验证符合上式 x
y f (x -12)-11f (x )
所以 (6分) (2) (8分)
(
12分) 18.
216363
905
P ++== (4分) 当温度⼤于等于时，需求量为，
元 (6分)
当温度在时，需求量为
， (8分)
元当温度低于时，需求量为，
元 (10分) 当温度⼤于等于时，，3625744905P +++==。

(12分) 19.
(1)取中点，连接，且是中点。

同理：
(2分)
在平⾯中，⼜⾯， (4分)
(2)由题意，令，即 (6分) 为中点， (8分)
在直⾓中，，
中有
⼜为中点 (10分) 点,B D到平⾯ACE的距离相等
(12分)
20.
(1)令，，⼜
，为的根
(2分)
假设成⽴，
，
不能出现的情况 (4分)
(2)
⽅法⼀：
令圆与轴的交点为，
令圆的⽅程为 (6分)
令得的根为，
令得……. ① (8分)
点在①上，
解得或 (10分)
在轴上的弦长为3，为定值 (12分)
⽅法⼆：
易知圆⼼O 点的横坐标为1222
x x m +=- 故可设圆⼼O 点的坐标为,2m n ??-
∴圆在y 轴上的弦长()21CD n =-，且半径满⾜：()2
2222212124m m r CO n n n ??==-+-=+-+ ①由(1)得 ()2221121248AB x x x x x x m =-= +-=+
在等腰三⾓形OAB 中，由垂径定理可知2
2212AB n r ??+= 即：22284
m n r ++=②由①②可得12
n =- ()213CD n ∴=-=
∴圆在y 轴上的弦长定值3
21.
(1)由
有
(2分) ①当时，单增②当时，令，即解得 (4分)
ⅰ.当时，开⼝向上，, ∴当0x >时,即，单增
ⅱ.当时，开⼝向下，，此时，在10,2a ??- ??
上，，即，单增在1,2a ??-+∞ 上，，即，单减
综上当0a ≥时，()f x 在()0,+∞单调递增
当0a <时，()f x 在10,2a ??- 上单调递增，在1,2a ??-+∞
单调递减 (6分)
(2)由(1)可得：故要证即证 (8分) 即证即证 (10分)
令则令，得
(12分)
故原命题得证.
22.
(1)由已知得，
，， (3
分) 即，即. (5
分) (2)将代⼊(1)中，所以()22240x x --+-=，解得， (8分) 所以在直⾓坐标系下的坐标为由得：. 所以的极径为 (10分) 23.
(1)当1x ≤-时，10,20x x +≤-≤
()()()123f x x x ∴=-++-=-
当12x -<≤，()()()1221f x x x x =++-=- 当2x >时，()()123f x x x =+--=
()3,121,123,2x f x x x x -≤-??∴=--<≤??>?
令211x -≥可得1x ≥
综上易知，()1f x ≥的解集为[)1,-+∞
(2)设()2223,131,123,2
x x x g x x x x x x x ?-+-≤-?=-+--<≤??-++>?
由()2f x x x m ≥-+有解可得()g x m ≥有解故()max 54
m f x ≤= ∴m 的取值范围是5,
4?
-∞。