《管理运筹学》第4版课后习题解析(韩伯棠)

10 x1 2 x2 s1 20 3x1 3x2 s2 18 4 x1 9 x2 s3 36 x1 , x2 , s1 , s2 , s3 ≥ 0
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《管理运筹学》第四版课后习题解析
韩伯棠
剩余变量（0, 0, 13） 最优解为 x1=1，x2=5。 6．解： （1）最优解为 x1=3，x2=7。 （2） 1 c1 3 。 （3） 2 c2 6 。 （4）
x1 6。 x2 4。
（5）最优解为 x1=8，x2=0。 （6）不变化。因为当斜率 1 ≤
c1 1 ≤ ，最优解不变，变化后斜率为 1，所以最优解不变。 c2 3
7.解： 设 x，y 分别为甲、乙两种柜的日产量， 目标函数 z=200x＋240y， 线性约束条件： 6 x 12 y 120 8 x 4 y 64 x 0 y 0 x 2 y 20 2 x y 16 x 0 y 0
作直线 960x＋360y=0． 即 8x＋3y=0，向上平移至过点 B(10，8)时，z=960x ＋360y 取到最小值． z 最小=960×10＋360×8=12480 答：大卡车租 10 辆，农用车租 8 辆时运费最低，最低运费为 12480 元． 11．解： 设圆桌和衣柜的生产件数分别为 x、y，所获利润为 z，则 z=6x＋10y． 0.18 x 0.09 y 72 2 x y 800 0.08 x 0.28 y 56 2 x 7 y 1400 即 x 0 x 0 y 0 y 0
． 但 E 不是可行域内的整点，在可行域的整点中，点 ( 4,8) 使 z 取得最小值。 答：应截第一种钢板 4 张，第二种钢板 8 张，能得所需三种规格的钢板，且使所 用钢板的面积最小． 9．解： 设用甲种规格原料 x 张，乙种规格原料 y 张，所用原料的总面积是 zm2，目标函 x 2 y 2 2 x y 3 数 z=3x＋2y，线性约束条件 作出可行域．作一组平等直线 3x＋ x 0 y 0 x 2 y 2 2y=t． 解 得 C ( 4 / 3,1 / 3) 2 x y 3
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（10）不发生变化，因为允许增加的百分比与允许减少的百分比之和 （11）不发生变化，因为允许增加的百分比与允许减少的百分比之和 最大利润为 103 000+50×50−60×200=93 500 元。
25 50 ≤ 100% 100 100
50 60 ≤ 100% ，其 140 140
3x1 x2 s1 6 x1 2 x2 s2 10 7 x1 6 x2 4 x1 , x2 , s1 , s2 ≥ 0
（3）标准形式
2 x2 2 x2 0 s1 0 s2 min f x1
5 x2 s1 70 3x1 5 x2 5 x2 5 x2 50 2 x1 2 x2 2 x2 s2 30 3x1 , x2 , x2 , s1 , s2 ≥ 0 x1
4．解： 标准形式
max z 10 x1 5 x2 0 s1 0 s2
3x1 4 x2 s1 9 5 x1 2 x2 s2 8 x1 , x2 , s1 , s2 ≥ 0
松弛变量（0，0） 最优解为 x1 =1，x2=3/2。 5．解： 标准形式
min f 11x1 8 x2 0 s1 0 s2 0 s3
12．解： 模型 max z 500 x1 400 x2
2 x1 ≤ 300 3x2 ≤ 540 2 x1 2 x1 ≤ 440 1.2 x1 1.5 x2 ≤ 300 x1 , x2 ≥ 0
（1） x1 150 ， x2 70 ，即目标函数最优值是 103 000。 （2）2，4 有剩余，分别是 330，15，均为松弛变量。 （3）50，0，200，0。 （4）在 0,500 变化，最优解不变；在 400 到正无穷变化，最优解不变。 （5）因为
0 x 10 线性约束条件是 0 y 20 作出可行域，并作直线 960x＋360y=0． 即 8 x 2.5 y 100
8x＋3y=0，向上平移
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由
x 10 得最佳点为 8,10 8 x 2.5 y 100
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C 不是整点，C 不是最优解．在可行域内的整点中，点 B(1，1)使 z 取得最小 值． z 最小=3×1＋2×1=5， 答：用甲种规格的原料 1 张，乙种原料的原料 1 张，可使所用原料的总面积最 小为 5m2． 10．解： 设租用大卡车 x 辆， 农用车 y 辆， 最低运费为 z 元． 目标函数为 z=960x＋360y．
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第 2 章 线性规划的图解法
1．解： （1）可行域为 OABC。 （2）等值线为图中虚线部分。 （3）由图 2-1 可知，最优解为 B 点，最优解 x1 =
12 15 69 ， x2 ；最优目标函数值 。 7 7 7
图 2-1 2．解： （1）如图 2-2 所示，由图解法可知有唯一解
c1 450 ≤ 1 ，所以原来的最优产品组合不变。 c2 430
13．解： （1）模型 min f 8 xA 3 xB
50 xA 100 xB ≤ 1 200 000 5 xA 4 xB ≥ 60 000 100 xB ≥ 300 000 xA , xB ≥ 0
基金 A，B 分别为 4 000 元，10 000 元，回报额为 62000 元。
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max f 3 x1 2 x2 0 s1 0 s2 0 s3
9 x1 2 x2 s1 30 3x1 2 x2 s2 13 2 x1 2 x2 s3 9 x1 , x2 , s1 , s2 , s3 ≥ 0
（2）标准形式
min f 4 x1 6 x2 0 s1 0 s2
作出可行域．平移 6x＋10y=0 ，如图
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2 x y 800 x 350 得 即 C(350，100)．当直线 6x＋10y=0 即 3x＋5y=0 平 2 x 7 y 1400 y 100 移到经过点 C(350，100)时，z=6x＋10y 最大
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第 3 章 线性规划问题的计算机求解
1．解： ⑴甲、乙两种柜的日产量是分别是 4 和 8，这时最大利润是 2720 ⑵每多生产一件乙柜，可以使总利润提高 13.333 元 ⑶常数项的上下限是指常数项在指定的范围内变化时， 与其对应的约束条件的对偶价格不变。 比如油漆时间变为 100，因为 100 在 40 和 160 之间，所以其对偶价格不变仍为 13.333 ⑷不变，因为还在 120 和 480 之间。 2．解： ⑴不是，因为上面得到的最优解不为整数解，而本题需要的是整数解 ⑵最优解为 (4，8) 3 ．解： ⑴农用车有 12 辆剩余 ⑵大于 300 ⑶每增加一辆大卡车，总运费降低 192 元 4．解： 计算机得出的解不为整数解，平移取点得整数最优解为(10，8) 5．解： 圆桌和衣柜的生产件数分别是 350 和 100 件，这时最大利润是 3100 元 相差值为 0 代表，不需要对相应的目标系数进行改进就可以生产该产品。 最优解不变，因为 C1 允许增加量 20-6=14；C2 允许减少量为 10-3=7，所有允许增加百分比 和允许减少百分比之和（7.5-6）/14+（10-9）/7〈100%，所以最优解不变。 6．解： （1） x1 150 ， x2 70 ；目标函数最优值 103 000。 （2）1、3 车间的加工工时数已使用完；2、4 车间的加工工时数没用完；没用完的加工工时 数为 2 车间 330 小时，4 车间 15 小时。 （3）50，0，200，0。 含义：1 车间每增加 1 工时，总利润增加 50 元；3 车间每增加 1 工时，总利润增加 200 元； 2 车间与 4 车间每增加一个工时，总利润不增加。 （4）3 车间，因为增加的利润最大。 （5）在 400 到正无穷的范围内变化，最优产品的组合不变。 （6）不变，因为在 0,500 的范围内。 （7）所谓的上限和下限值指当约束条件的右边值在给定范围内变化时，约束条件 1 的右边 值在 200,440 变化，对偶价格仍为 50（同理解释其他约束条件） 。 （8）总利润增加了 100×50=5 000，最优产品组合不变。 （9）不能，因为对偶价格发生变化。
即
作
出
可
行
域． x 2 y 20 解 得 Q ( 4,8) 2 x y 16
z最大 200 4 240 8 2720
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Hale Waihona Puke 答：该公司安排甲、乙两种柜的日产量分别为 4 台和 8 台，可获最大利润 2720 元．
8．解：
设需截第一种钢板 x 张，第二种钢板 y 张，所用钢板面积 zm2． 目标函数 z=x＋2y， 线性约束条件： x y 12 2 x y 15 x 3 y 27 x 0 y 0 x 3 y 27 作出可行域，并做一组一组平行直线 x＋2y=t．解 得 E ( 9 / 2,15 / 2) x y 12
x1 0.2 ，函数值为 3.6。 x2 0.6
图 2-2 （2）无可行解。 （3）无界解。 （4）无可行解。 （5）无穷多解。
20 x1 92 3 （6）有唯一解 ，函数值为 。 8 3 x 2 3
3．解： （1）标准形式
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7．解： （1）4 000，10 000，62 000。 （2）约束条件 1：总投资额增加 1 个单位，风险系数则降低 0.057； 约束条件 2：年回报额增加 1 个单位，风险系数升高 2.167； 约束条件 3：基金 B 的投资额增加 1 个单位，风险系数不变。 （3）约束条件 1 的松弛变量是 0，表示投资额正好为 1 200 000；约束条件 2 的剩余变量是 0，表示投资回报额正好是 60 000；约束条件 3 的松弛变量为 700 000，表示投资 B 基金的 投资额为 370 000。 （4）当 c2 不变时， c1 在 3.75 到正无穷的范围内变化，最优解不变； 当 c1 不变时， c2 在负无穷到 6.4 的范围内变化，最优解不变。 （5）约束条件 1 的右边值在 780 000,1 500 000 变化，对偶价格仍为 0.057（其他同理） 。 （6）不能，因为允许减少的百分比与允许增加的百分比之和 分之一百法则。 8．解： （1）18 000，3 000，102 000，153 000。 （2）总投资额的松弛变量为 0，表示投资额正好为 1 200 000；基金 B 的投资额的剩余变量 为 0，表示投资 B 基金的投资额正好为 300 000； （3）总投资额每增加 1 个单位，回报额增加 0.1； 基金 B 的投资额每增加 1 个单位，回报额下降 0.06。 （4） c1 不变时， c2 在负无穷到 10 的范围内变化，其最优解不变；
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韩伯棠
（2）模型变为 max z 5 xA 4 xB
50 xA 100 xB ≤ 1 200 000 100 xB ≥ 300 000 xA , xB ≥ 0
推导出 x1 18 000 ， x2 3 000 ，故基金 A 投资 90 万元，基金 B 投资 30 万元。