【走向高考】2013高三数学一轮总复习 6-5数列的综合应用同步练习 北师大版

6-5数列的综合应用
基 础 巩 固
一、选择题
1．一套共7册的书计划每两年出一册，若出完全部各册书公元年代之和为14 028，则出齐这套书的年份是( )
A ．2004
B ．2006
C ．2008
D ．2010 [答案] D
[解析] 设出齐这套书的年份数是x ， 则有7x －7×62
×2＝14 028.解得x ＝2010.
2．一个三角形的三内角成等差数列，对应的三边成等比数列，则三内角所成等数列的公差等于( )
A ．0 B.π
12
C.π6
D.π4
[答案] A
[解析] 因A ，B ，C 成等差数列，a ，b ，c 成等比数列， 则B ＝π3
，b 2
＝ac ，
∴cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝1
2
，可推得a ＝c ＝b .
∴A ＝B ＝C ，即公差为0.
3．设函数f (x )＝x m
＋ax 的导函数f ′(x )＝2x ＋1，则数列{1
f n
}(n ∈N ＋)的前n 项
和是( )
A.n
n ＋1B.n ＋2n ＋1 C.
n
n －1D.n ＋1n [答案] A [解析]f ′(x )＝mx m －1
＋a ＝2x ＋1，∴a ＝1，m ＝2， ∴f (x )＝x (x ＋1)，
1
f n ＝
1n
n ＋1＝1n －1
n ＋1
，
∴S n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪
⎫1
n －1n ＋1＝n n ＋1
. 4．(2013·某某某某一中12月月考)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 2＝4，S 10＝110，则
S n ＋64
a n
的最小值为( ) A ．7 B ．8 C.152D.172
[答案] D
[解析] 由题意知⎩⎪⎨
⎪⎧
a 1＋d ＝4，
10a 1＋45d ＝110.
∴⎩⎪⎨
⎪⎧
a 1＝2，d ＝2.
∴S n ＝n 2
＋n ，a n ＝2n .
∴S n ＋64a n ＝n 2＋n ＋642n ＝n 2＋12＋32n ≥1
2
＋2
n 2·32n ＝172.等号成立时，n 2＝32
n
，∴n ＝8，故选D.
5．某种细胞开始时有2个，1h 后分裂成4个并死去1个，2h 后分裂成6个并死去1个，3h 后分裂成10个并死去1个，…，按照此规律，6h 后细胞存活数是( )
A ．33
B ．64
C ．65
D ．127 [答案] B
[解析] 每一小时后细胞变为前一小时细胞数的2倍减1,4小时后为17个，5小时后为33个，6小时后为65个．
6．小正方形按照如图的规律排列：
每个图中的小正方形的个数就构成一个数列{a n }，有以下结论： ①a 5＝15；
②数列{a n }是一个等差数列； ③数列{a n }是一个等比数列；
④数列的递推公式为：a n ＋1＝a n ＋n ＋1(n ∈N ＋)． 其中正确的命题序号为( )
A ．①②
B ．①③
C ．①④
D ．① [答案] C
[解析] 当n ＝1时，a 1＝1；当n ＝2时，a 2＝3；当n ＝3时，a 3＝6；当n ＝4时，a 4＝10，…，观察图中规律，有a n ＋1＝a n ＋n ＋1，a 5＝15.故①④正确．
二、填空题
7．已知m 、n 、m ＋n 成等差数列，m 、n 、mn 成等比数列，则椭圆x 2m ＋y 2
n
＝1的离心率为
________．
[答案]
22
[解析] 由2n ＝2m ＋n 和n 2
＝m 2
n 可得m ＝2，n ＝4， ∴e ＝
n －m n
＝2
2. 8．已知α∈(0，π2)∪(π
2，π)，且sin α，sin2α，sin4α成等比数列，则α的值
为________．
[答案]2π
3
[解析] 由题意，sin 2
2α＝sin α·sin 4α， ∴sin 2
2α＝2sin α·sin2α·cos2α， 即sin2α＝2sin α·cos2α，
∴2sin αcos α＝2sin α·cos2α，即cos α＝cos2α， ∴2cos 2α－1＝cos α，∴(2cos α＋1)(cos α－1)＝0. 解得cos α＝1(舍去)或cos α＝－12，∴α＝2π
3.
三、解答题
9．(2012·某某文，20)某公司一下属企业从事某种高科技产品的生产．该企业第一年年初有资金2000万元，将其投入生产，到当年年底资金增长了50%.预计以后每年资金年增长率与第一年的相同．公司要求企业从第一年开始，每年年底上缴资金d 万元，并将剩余资金全部投入下一年生产．设第n 年年底企业上缴资金后的剩余资金为a n 万元．
(1)用d 表示a 1，a 2，并写出a n ＋1与a n 的关系式；
(2)若公司希望经过m (m ≥3)年使企业的剩余资金为4000万元，试确定企业每年上缴资金d 的值(用m 表示)．
[解析] (1)由题意得a 1＝2000(1＋50%)－d ＝3000－d ，
a 2＝a 1(1＋50%)－d ＝32a 1－d ＝4500－52
d . a n ＋1＝a n (1＋50%)－d ＝32
a n －d .
(2)由(1)得a n ＝32a n －1－d ＝32(3
2a n －2－d )－d
＝(32)2a n －2－3
2
d －d ＝… ＝(32)n －1a 1－d [1＋32＋(32)2＋…＋(32)n －2
]． 整理得a n ＝(32)n －1(3 000－d )－2d [(32)n －1
－1]
＝(32
)n －1
(3 000－3d )＋2d . 令a m ＝4 000得(32)m －1
(3 000－3d )＋2d ＝4 000.
解之得d ＝1 0003m
－2
m ＋1
3m －2
m
.
所以该企业每年上缴资金d 的值为1 0003m
－2
m ＋1
3m －2m
时，经过m (m ≥3)年企业的剩余资
金为4 000万元.
能 力 提 升
一、选择题
1．(文)一个凸多边形，它的各内角度数成等差数列，最小角为60°，公差为20°，则这个多边形的边数是( )
A ．3
B ．4
C ．5或9
D ．4或9 [答案] B
[解析] 设边数为n ，则60°n ＋
n n －1
2
·20°＝(n －2)·180°，解得n ＝4或9.
当n ＝9时，最大内角度数为60°＋(9－1)×20°＝220°>180°，故舍去． (理)下表给出一个“直角三角形数阵” 14 12，14 34，38，316
……
满足每一列成等差数列，从第三行起，每一行的数成等比数列，且诸行的公比都相等，记第i 行，第j 列的数列为a ij (i ≥j ，i ，j ∈N )，则a 83等于( )
A.18
B.14
C.1
2D ．1 [答案] C
[解析] 由已知在第一列构成的等差数列中，首项为14，公差为14，∴a 81＝14＋(8－1)·
1
4＝2，
在每行构成的等比数列中公比q ＝1
2，
∴a 83＝2·(12)2＝1
2
.
2．(2012·理，8)某棵果树前n 年的总产量S n 与n 之间的关系如图所示，从目前记录的结果看，前m 年的年平均产量最高，m 值为( )
A ．5
B ．7
C ．9
D ．11 [答案] C
[解析] 本题考查了读图、识图的能力及分析问题、解决问题的能力．
由于目的是使平均产量最高，就需要随着n 增大，变化超过平均值的加入，随着n 的增大，变化不足值就舍去．由图可知6、7、8、9这几年增长最快，超出平均值，所以应该加入，故选C.
二、填空题
3．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a m －1＋a m ＋1－a 2
m ＝0，S 2m －1＝38，则m ＝________. [答案] 10
[解析] 由等差数列的性质可知2a m ＝a m ＋1＋a m －1， 又∵a m －1＋a m ＋1－a 2
m ＝0，
∴a 2
m ＝2a m ，∴a m ＝2(a m ＝0不合题意，舍去)， 又S 2m －1＝2m －1
2(a 1＋a 2m －1)
＝
2m －1
2
×2a m ＝(2m －1)·a m ＝38，∴2m －1＝19. ∴m ＝10.
4．设f (x )是定义域为R 且恒不为0的函数，对任意x ，y ∈R ，都有f (x )f (y )＝f (x ＋
y )，若a 1＝12
，a n ＝f (n )(n 为常数)，则数列{a n }的前n 项和S n 的取值X 围是________．
[答案] [1
2
，1)
[解析] 因a n ＋1＝f (n ＋1)＝f (n )·f (1)＝1
2a n ，
故S n ＝
12[1－12
n
]
1－12
＝1－(12
)n
，
∵n ≥1，n ∈N ，∴S n ∈[1
2，1)．
三、解答题
5．已知数列{a n }中，a 1＝3，点(a n ，a n ＋1)在直线y ＝x ＋2上． (1)求数列{a n }的通项公式；
(2)若b n ＝a n ·3n
，求数列{a n }的前n 项和T n . [解析] (1)∵点(a n ，a n ＋1)在直线y ＝x ＋2上， ∴a n ＋1＝a n ＋2，即a n ＋1－a n ＝2.
∴数列{a n }是以3为首项，2为公差的等差数列， ∴a n ＝3＋2(n －1)＝2n ＋1.
(2)∵b n ＝a n ·3n ，∴b n ＝(2n ＋1)·3n
. ∴T n ＝3×3＋5×32
＋7×33
＋…＋(2n －1)·3
n －1
＋(2n ＋1)·3n
，①
∴3T n ＝3×32
＋5×33＋…＋(2n －1)·3n
＋(2n ＋1)·3
n ＋1
.②
①－②得－2T n ＝3×3＋2(32
＋33
＋ (3)
)－(2n ＋1)·3n ＋1
＝9＋2×
9
1－3n －1
1－3
－(2n
＋1)·3
n ＋1
＝－2n ·3
n ＋1
∴T n ＝n ·3
n ＋1
.
6．(文)数列{a n }中，a 1＝13.前n 项和S n 满足S n ＋1－S n ＝(13)n ＋1
(n ∈N ＋)．
(1)求数列{a n }的通项公式a n 以及前n 项和S n ；
(2)若S 1，t (S 1＋S 2)，3(S 2＋S 3)成等差数列，某某数t 的值．
[解析] 本小题主要考查数列，等差数列，等比数列等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，化归与转化思想．
(1)由S n ＋1－S n ＝(13)n ＋1得a n ＋1＝(13)n ＋1
(n ∈N ＋)
又a 1＝13，故a n ＝(13)n
(n ∈N ＋)
从而S n ＝
13×[1－13
n
]1－13
＝12[1－(13
)n
](n ∈N ＋) (2)由(1)可得S 1＝13，S 2＝49，S 3＝13
27
，
从而由S 1，t (S 1＋S 2)，3(S 2＋S 3)成等差数列可得 13＋3×(49＋1327)＝2×(13＋4
9
)t ，解得t ＝2. (理)已知数列{a n }是公差d ≠0的等差数列，记S n 为其前n 项和． (1)若a 2、a 3、a 6依次成等比数列，求其公比q .
(2)若a 1＝1，证明点P 1⎝ ⎛
⎭⎪⎫
1，S 11，P 2⎝ ⎛
⎭⎪⎫
2，S 22，…，P n ⎝ ⎛
⎭⎪⎫
n ，S n n (n ∈N ＋)在同一条直线上，并
写出此直线方程．
[解析] (1)∵a 2、a 3、a 6依次成等比数列， ∴q ＝a 3a 2＝a 6a 3＝
a 6－a 3a 3－a 2＝3d
d
＝3，即公比q ＝3.
(2)证明：∵S n ＝na 1＋n n －1
2d ，
∴S n n
＝a 1＋
n －12
d ＝1＋n －1
2
d .
∴点P n ⎝
⎛
⎭
⎪⎫n ，S n n 在直线y ＝1＋
x －1
2
d 上．
∴点P 1，P 2，…，P n (n ∈N ＋)都在过点(1,1)且斜率为d
2的直线上．
此直线方程为y －1＝d
2
(x －1)．
7．某企业在第1年初购买一台价值为120万元的设备M ，M 的价值在使用过程中逐年减少．从第2年到第6年，每年初M 的价值比上年初减少10万元；从第7年开始，每年初M 的价值为上年初的75%.
(1)求第n 年初M 的价值a n 的表达式； (2)设A n ＝
a 1＋a 2＋…＋a n
n
，若A n 大于80万元，则M 继续使用，否则须在第n 年初对M
更新．证明：须在第9年初对M 更新．
[解析] (1)当n ≤6时，数列{a n }是首项为120，公差为－10的等差数列，
a n ＝120－10(n －1)＝130－10n ；
当n ≥6时，数列{a n }是以a 6为首项，公比为34的等比数列，又a 6＝70，所以a n ＝70×(34
)
n
－6
.
因此，第n 年初，M 的价值a n 的表达式为 a n ＝⎩
⎪⎨⎪
⎧
130－10n ，n ≤6，70×34n －6
，n ≥7.
(2)设S n 表示数列{a n }的前n 项和，由等差及等比数列的求和公式得 当1≤n ≤6时，S n ＝120n －5n (n －1)，A n ＝120－5(n －1)＝125－5n ； 当n ≥7时，由于S 6＝570，故
S n ＝S 6＋(a 7＋a 8＋…＋a n )＝570＋70×34×4×[1－(34)n －6]＝780－210×(34
)n －6.
A n ＝
780－210×
34
n －6
n
因为{a n }是递减数列，所以{A n }是递减数列．又 A 8＝
780－210×
3
4
2
8＝8247
64
>80，
A 9＝
780－210×
3
4
3
9
＝7679
96
<80，
所以须在第9年初对M 更新．。