人教A版高中数学必修一课件 《函数的零点与方程的解》指数函数与对数函数

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解析:(1)令f(x)=log3x+x-3,则f(1)=log31+1-3=-
2<0,f(2)=log32+2-3=log3<0,f(3)=log33+3-3=1>0,f(4)=log34+43=log312>0,则函数f(x)的零点所在的区间为(2,3),所以方程 log3x+x=3的实数解所在的区间为(2,3).
(2)记f(x)=ex-x-2,则该函数的零点就是方程ex-x-2=0的实数解. 由题表可知f(-1)=0.37-1<0,f(0)=1-2<0,f(1)=2.72-3<0,f(2)=7.394>0,f(3)=20.09-5>0.由零点存在定理可得f(1)f(2)<0,故函数的零点 所在的区间为(1,2).所以k=1.
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变式训练本例已知条件不变,求a为何值时: (1)方程有唯一实数解; (2)方程的一个解大于1,一个解小于1.
解:(1)令f(x)=ax2-2(a+1)x+a-1.
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例3 (1)方程log3x+x=3的解所在的区间为 ( )
A.(0,2)
B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4)
(2)根据表格中的数据,可以判定方程ex-x-2=0的一个实数解所在
的区间为(k,k+1)(k∈N),则k的值为
.
分析:(1)构造函数f(x)=log3x+x-3,转化为确定函数f(x)的零点所 在的区间;(2)构造与方程对应的函数,然后根据表格判断函数值的 符号,从而确定零点所在的区间,再求k值.
①方程x2-2x-3=0与函数y=x2-2x-3; ②方程x2-2x+1=0与函数y=x2-2x+1; ③方程x2-2x+3=0与函数y=x2-2x+3.
(1)你能够画出关于上述方程的根,函数图象与x轴的交点及函数 的零点的表格吗?
一二三
提示:
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一二三
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(2)从你所列的表格中,你能得出什么结论? 提示:方程f(x)=0有实数根⇔函数y=f(x)的图象与x轴有交点⇔函数 y=f(x)有零点.
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反思感悟判断函数零点个数的常用方法 1.解方程f(x)=0,方程f(x)=0解的个数就是函数f(x)零点的个数. 2.直接作出函数f(x)的图象,图象与x轴公共点的个数就是函数f(x) 零点的个数. 3.f(x)=g(x)-h(x)=0,得g(x)=h(x),在同一平面直角坐标系中作出 y1=g(x)和y2=h(x)的图象,则两个图象公共点的个数就是函数y=f(x) 零点的个数. 4.若证明一个函数的零点唯一,也可先由零点存在定理判断出函 数有零点,再证明该函数在定义域内单调.
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解:令f(x)=ax2-2(a+1)x+a-1.
(1)当方程有一个正解和一个负解时,f(x)对应的草图可能如图①, ②所示.
解得0<a<1. 所以当0<a<1时,方程有一个正解和一个负解.
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(2)当方程的两个解都大于1时,f(x)对应的草图可能如图③,④所
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(2)解:(方法一)令f(x)=x-3+lnx=0,则lnx=3-x.
在同一平面直角坐标系中分别画出函数y=lnx与y=-x+3的图象,
如图所示.
由图可知函数y=lnx与y=-x+3的图象只有一个公共点,即函数 f(x)=x-3+lnx只有一个零点.
间(0,2)内必定存在实数根.
又f(x)=2x+lg(x+1)-2在区间(-1,+∞)上为增函数,故f(x)有且只有
一个零点.
(方法二)令h(x)=2-2x,g(x)=lg(x+1),在同一平面直角坐标系中作
出h(x)与g(x)的图象如图所示.
由图象知g(x)=lg(x+1)和h(x)=2-2x的图象有且只有一个公共点, 即f(x)=2x+lg(x+1)-2有且只有一个零点.
答案:(1)C (2)1
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反思感悟1.依据函数零点存在定理判断函数y=f(x)在区间(a,b)内 是否有零点,关键看两点:一是曲线是否连续不断;二是f(a)与f(b)是 否异号,就是说这种方法只能判断变号零点(即在零点左右两侧附 近函数值的符号发生改变的零点).
示.
解得a∈⌀. 所以不存在实数a,使方程的两个解都大于1.
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方法点睛解决有关解的分布问题应注意以下几点: (1)首先画出符合题意的草图,转化为函数问题. (2)结合草图考虑四个方面:①开口方向;②Δ与0的大小关系;③对 称轴与所给端点值的关系;④端点的函数值与零的关系. (3)写出由题意得到的不等式(组). (4)由得到的不等式(组)的解去验证图象是否符合题意. 这类问题充分体现了函数与方程的思想,也体现了方程的解就是 函数的零点.在写不等式(组)时要注意条件的完备性.
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三、函数零点存在性定理 1.观察二次函数f(x)=x2-2x-3的图象,发现这个二次函数在区间[2,1]上有零点x=-1,而f(-2)>0,f(1)<0,即f(-2)·f(1)<0.二次函数在区间 [2,4]上有零点x=3,而f(2)<0,f(4)>0,即f(2)·f(4)<0.由以上两步探索, 你可以得出什么样的结论? 提示:如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲 线,并且有f(a)·f(b)<0,那么函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点. 2.填空: 函数零点存在性定理:如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连 续不断的一条曲线,并且有f(a)·f(b)<0,那么,函数y=f(x)在区间(a,b) 内有零点,即存在c∈(a,b),使得f(c)=0,这个c也就是方程f(x)=0的根.
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2.填空: 函数的零点 (1)定义:对于函数y=f(x),我们把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x) 的零点. (2)几何意义:函数y=f(x)的图象与x轴交点的横坐标就是函数 y=f(x)的零点. 3.函数y=f(x)的零点是点吗?为什么? 提示:不是.函数的零点的本质是方程f(x)=0的实数根,因此,函数 的零点不是点,而是一个实数,当函数的自变量取这个实数时,函数 值为零. 4.你能说出函数①y=lgx;②y=lg(x+1);③y=2x;④y=2x-2的零点吗? 提示:①y=lgx的零点是x=1;②y=lg (x+1)的零点是x=0;③y=2x没 有零点;④y=2x-2的零点是x=1.
(方法二)因为f(3)=ln3>0,f(2)=-1+ln2=ln<0,所以f(3)f(2)<0,说明函 数f(x)=x-3+lnx在区间(2,3)内有零点.又f(x)=x-3+lnx在区间(0,+∞)上 是增函数,所以原函数只有一个零点.
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判断函数的零点所在的大致区间
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5.判断正误: 函数y=f(x)的图象是在闭区间[a,b]上连续的曲线,若f(a)·f(b)>0, 则f(x)在区间(a,b)内没有零点. ( ) 答案:× 6.做一做: 函数f(x)=x3+2x+1的零点一定位于下列哪个区间上( )
A.[-2,-1] B.[-1,0]
C.[0,1]
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变式训练2(1)若abc≠0,且b2=ac,则函数f(x)=ax2+bx+c的零点的个 数是( )
A.0 B.1 C.2 D.1或2 (2)判断函数f(x)=x-3+lnx的零点个数. (1)解析:∵b2=ac, ∴方程ax2+bx+c=0的判别式Δ=b2-4ac=b2-4b2=-3b2. ∵abc≠0,∴b≠0.因此Δ<0. 故函数f(x)=ax2+bx+c的零点个数为0. 答案:A
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变式训练1已知函数f(x)=x2+3(m+1)x+n的零点是1和2,求函数 y=logn(mx+1)的零点.
解:由题意知函数f(x)=x2+3(m+1)x+n的零点为1和2,则1和2是方 程x2+3(m+1)x+n=0的实根.
所以函数y=logn(mx+1)的解析式为y=log2(-2x+1). 令log2(-2x+1)=0,得x=0. 所以函数y=log2(-2x+1)的零点为0.
D.[1,2]
解析:因为f(-2)=-11<0,f(-1)=-2<0,f(0)=1>0,f(1)=4>0,f(2)=13>0,
所以f(-1)f(0)<0.
所以f(x)的零点在区间[-1,0]上.
答案:B
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求函数的零点 例1判断下列函数是否存在零点,如果存在,请求出零点. (1)f(x)=-8x2+7x+1; (2)f(x)=1+log3x; (3)f(x)=4x-16;
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5.做一做:
函数f(x)=x2-1的零点是( )
A.(±1,0) B.(1,0)
C.0
D.±1
解析:解方程f(x)=x2-1=0,得x=±1,因此函数f(x)=x2-1的零点是±1.
答案:D
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二、方程、函数、图象之间的关系
1.考察下列一元二次方程与对应的二次函数:
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答案:(1)B (2)A
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函数与方程思想在一元二次方程解的分布问题中的应用 典例关于x的方程ax2-2(a+1)x+a-1=0,求a为何值时: (1)方程有一个正解和一个负解; (2)方程的两个解都大于1. 【审题视角】题意→画草图→转换为数量关系→求解
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思(x)=2x+lg(x+1)-2的零点个数.
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解:(方法一)∵f(0)=1+0-2=-1<0,f(2)=4+lg3-2=2+lg3>0,∴f(x)在区
2.判断函数零点所在区间的三个步骤: (1)代.将区间端点代入函数求出函数的值. (2)判.把所得函数值相乘,并进行符号判断. (3)结.若符号为正且函数在该区间内是单调函数,则函数在该区 间内无零点,若符号为负且函数图象连续,则函数在该区间内至少 有一个零点.
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指数函数与对数函数
4.5.1函数的零点与方程的解
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一、函数的零点
1.已知函数f(x)=2x+6. (1)求方程f(x)=0的解; 提示:由2x+6=0,解得x=-3. (2)求函数f(x)的图象与x轴的交点坐标. 提示:交点坐标A(-3,0). (3)方程的解与函数图象与x轴的交点的横坐标之间是怎样的关 系? 提示:相等.
分析:可通过解方程f(x)=0求得函数的零点.
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(3)令4x-16=0,即4x=42,解得x=2. 所以函数的零点为2.
反思感悟因为函数f(x)的零点就是方程f(x)=0的实数解,也是函数 y=f(x)的图象与x轴公共点的横坐标,所以求函数的零点通常有两 种方法:一是代数法,令f(x)=0,通过求方程f(x)=0的解求得函数的零 点;二是几何法,画出函数y=f(x)的图象,图象与x轴公共点的横坐标 即为函数的零点.
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3.如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是间断的,上述定理成立吗? 提示:不一定成立,由下图可知.
4.反过来,如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条 曲线,函数y=f(x)在区间(a,b)上存在零点,f(a)·f(b)<0是否一定成立?
提示:不一定成立,由二次函数f(x)=x2-2x+1的图象可知.