(二)线段、射线和直线

（二）线段、射线和直线

知识强化

一、知识概述

1、线段

绷紧的琴弦，人行横道线都可以近似地看作线段，线段有三个特征：①线段是直的，②线段有两个端点，是有界的，有长短，③线段没有粗细．

线段用它的两个端点来表示．在几何中，通常用一个大写英文字母表示一个点，用A、B表示两个端点的线段表示为线段AB或线段BA，字母是无序的．

线段还可以用一个小写英文字母表示，如线段a．

如图所示的是线段，它有两个端点，记作线段AB(或线段BA)，或线段a．

2、射线

将线段向一个方向无限延伸就形成了射线．手电筒、探照灯所射出的光线可以近似地看作射线．射线只有一个端点，向一方无限延伸，是无界的．

射线用它的端点和射线上另一个任意点来表示，且端点在前，如以O表示射线的端点，M表示射线上的除O点外的任意一点，则这条射线就可表示为射线OM，字母是有序的．射线OM与射线MO是不同的射线．也可以用一个小写字母来表示，如射线l等．

3、直线

将线段向两个方向无限延伸就形成了直线．笔直的铁轨可以近似地看作直线，直线没有端点，向两方无限延伸，是无界的．

线段和射线也可以看作是直线的一部分．线段可以看作是直线上两点及这两点间的部分；射线可以看作是直线上一点及其一旁的部分．

直线用直线上任意两个点来表示，如A、B是直线上任意两点，则这条直线可表示为直线AB或直线BA，字母是无序的．

直线还可以用一个小写字母来表示，如直线l．

4、直线的性质

经过两点有且只有一条直线．

这条性质包含两层含义：一是说经过两点有一条直线，肯定有，不是没有，即存在性；二是说经过两点只有一条直线，不会多，即唯一性．

这个性质可简单叙述为：两点确定一条直线，通常称为直线公理.

二、典型例题讲解

例1、（1）如图所示的两条直线交于P点，用两种方法表示这两条直线是

__________．

（2）如图所示，在下列语句中，能正确表示出图形特点的有（）

①直线l经过点A、B；②点A和点B都在直线l上；③直线l是A、B两点所确定的直线；④l是一条直线，A、B是直线l上任意两点.

A．1句B．2句C．3句D．4句

（3）如图所表示的含义，下列说法正确的是（）

A．延长射线AB B．延长线段AB

C．反向延长线段BA D．反向延长线段AB

（4）如图，直线上有A、B、C三点，下列说法正确的有（）

①射线AB与射线BC是同一条射线；

②直线AB经过点C；

③射线AB与射线AC是同一条射线；

④直线AB与直线BC是同一条直线．

A．1个B．2个

C．3个D．4个

（5）如图，对于直线AB，线段CD，射线EF，其中能相交的是（）

答案：

（1）直线a，直线b，或直线AP，直线BP

（2）D

（3）D

（4）C

例2、已知平面内的四个点A、B、C、D，过其中两个点画直线，可以画出几条？分析：

因为条件中没有说四个点是否在同一直线上，所以应分情况讨论.

解：

（1）当A、B、C、 D 四个点在同一直线上时，只可以画出一条直线，如图（1）.

(1)(2)(3)

（2）当A、B、C、D 四个点中有三个点在同一直线上时，可以画出 4 条直线（如图（2））.

（3）当A、B、C、D 四个点中任意三个点都不在同一直线上时，因为过其中任何一个点都有三条直线经过，即4×3=12，而每条直线都重复算了一次，

所以实际可以画出的直线共×4×3=6条. （如图（3））

例3、如图中，能用字母表示的直线、射线、线段各有几条，分别是哪几条？

要注意直线、射线、线段的区别，直线可以向两端无限伸展，射线只能向一端无限伸展，线段是直线上两点间的部分.

解：

直线有 3 条，它们是直线AC，直线AE，直线BE；射线有12条，它们是射线AB，射线AC，射线CA，射线DA，射线AE，射线EA，射线BC，射线CB，射线CD，射线DC，射线DE，射线ED；线段有10条，它们是线段AB，线段AC，线段AD，线段AE，线段BC，线段BD，线段BE，线段CD，线段CE，线段DE.

例4、（1）如图，线段AB上有C，D两点，则图中共有线段（）

A．3条B．4条

C．5条D．6条

（2）乘火车从A站出发，沿途经过3个车站方可到达B站(如图)，那么A、B两站之间需要安排多少种不同的车票．

答案：

（1）D

提示：AC、AD、AB、CD、CB、DB共6条，即3＋2＋1=6.

（2）此题利用几何线段来解决实际问题，线段上有n个点(包括端点)时，共有线段条．如图，线段AB上有三点C、D、E，则线段的条数共有10条，而一条线段上有往返两种车票．所以共有20种车票．

例5、阅读以下材料并填空：平面上有n个点（n≥2）且任意三个点不在同一直线上，过这些点作直线，一共能作多少条不同的直线？

①分析：当仅有两个点时，可连成1条直线，当有3个点时，可连成3条直线；当有4个点时，可连成6条直线；当有5个点时，可连成10条直线…….

②归纳：考察点的个数n和可连成直线的条数S n发现如下规律：

③推理：平面上有n个点，两点确定一条直线，取第一个点A有n种取法，取第二个点B有(n－1)种取法，所以一共可连成n(n－1)条直线，但AB与BA是

同一条直线，故应除以2，即.

④结论：.

试探究以下问题：

平面上有n个点（n≥3），任意三个点不在同一直线上，过任意三点作三角形，一共能作出多少个不同的三角形？

①分析：当仅有3个点时，可作________个三角形；当有4个点时，可作________个三角形；当有5个点时，可作________个三角形……

②归纳：考察点的个数n和可作出三角形的个数S n发现：