常用统计分布

第八章 常用统计分布
第一节 超几何分布
超几何分布的数学形式·超几何分布的数学期望和方差·超几何分布的近似
第二节 泊松分布
泊松分布的数学形式·泊松分布的性质、数学期望和方差·泊松分布的近似
第三节 卡方分布(2χ分布)
2χ分布的数学形式·2χ分布的性质、数学期望和方差· 样本方差的抽样分布
第四节 F 分布
F 分布的数学形式·F 分布的性质、数学期望和方差·F 分布的近似
一、填空
1．对于超几何分布，随着群体的规模逐渐增大，一般当N
n ≤（ ）时，可采用二项分布来近似。

2．泊松分布只有一个参数（ ），只要知道了这个参数的值，泊松分布就确定了。

3．卡方分布是一种（ ）型随机变量的概率分布，它是由（ ）分布派生出来的。

4．如果第一自由度1k 或第二自由度2k 的F 分布没有列在表中，但邻近的第一自由度或第二自由度的F 分布已列在表中，对于F α(1k ，2k )的值可以用（ ）插值法得到。

5．（ ）分布具有一定程度的反对称性。

6．（ ）分布主要用于列联表的检验。

7．（ ）分布用于解决连续体中的孤立事件。

8．2
χ分布的图形随着自由度的增加而渐趋（ ）。

9．当群体规模逐渐增大，以致不回置抽样可以作为回置抽样来处理，这时（ ）可采用二项分布来近似。

10．（ ）事件是满足泊松分布的。

二、单项选择
1．已知离散性随机变量x 服从参数为λ=2的泊松分布，则概率P （3；λ）＝（ ）。

A 4/3e 2
B 3/3e 2
C 4/3e 3
D 3/3e 3
2．当群体的规模逐渐增大，以至于不回置抽样可以作为回置抽样来处理时，（ ）分布可以用二项分布来近似。

A t 分布
B F 分布
C 2
χ分布 D 超几何分布
3．研究连续体中的孤立事件发生次数的分布，如某时间段内电话机被呼叫的次数的概率分布，应选择（ ）。

A 二项分布
B 超几何分布
C 泊松分布
D F 分布
4．对于一个样本容量n 较大及成功事件概率p 较小的二项分布，都可以用（ ）来近似。

A 二项分布
B 超几何分布
C 泊松分布
D F 分布。

5．与F α（1k ，2k ）的值等价的是（ ）。

A F 1-α（1k ，2k ）
B F 1-α（2k ，1k ）
C 1/F α（1k ，2k ）
D 1/F 1-α（2k ，1k ）
6、只与一个自由度有关的是（ ）
A 2χ分布
B 超几何分布
C 泊松分布
D F 分布
三、多项选择
1．属于离散性变量概率分布的是（ ）。

A 二项分布
B 超几何分布
C 泊松分布
D F 分布
2．属于连续性变量的概率分布的是（ ）。

A 2
χ分布 B 超几何分布 C 泊松分布 D F 分布
3．下列近似计算概率的正确方法是（ ）。

A 用二项分布的概率近似计算超几何分布的概率
B 用二项分布的概率近似计算泊松分布的概率
C 用泊松分布的概率近似计算超二项分布的概率
D 用正态分布的概率近似计算超二项分布的概率
E 用正态分布的概率近似计算
F 分布的概率
4．2χ分布具有的性质是（ ）。

A 恒为正值
B 非对称性
C 反对称性
D 随机变量非负性
E 可加性
5．F 分布具有的性质是（ ）。

A 恒为正值
B 非对称性
C 反对称性
D 随机变量非负性
E 可加性
6．一般地，用泊松分布近似二项式分布有较好的效果是（ ）。

A n/N ≤0.1
B n≥10
C p≤0.1
D k≥30
E k2>2
四、名词解释
1．超几何分布
2．泊松分布
3．卡方分布
4．F分布
五、判断题
1．在研究对象为小群体时，二项式分布和超几何分布的基本条件都能得到满足。

（）2．成功次数的期望值λ是决定泊松分布的关键因素。

（）3．泊松分布的数学期望和方差是相等的。

（）4．在计算F分布的概率时，只需要知道分子的自由度和分母的自由度两个因素就可以了。

（）5．k个独立标准正态变量的平方和被定义为卡方分布。

（）6．卡方分布的随机变量是若干个独立标准正态变量的平方和。

（）7．相互独立的两个卡方变量与其自由度的商的比值为F分布的变量。

（）
8. 当群体规模逐渐增大，以致不回置抽样可以作为回置抽样来处理，这时泊松分布可采用二项分布来近似。

（）
9. 泊松分布用于解决连续体中的孤立事件。

（）
10. F分布具有一定程度的反对称性。

（）
六、计算题
1．某社区要选派8名积极申请参加公益活动的居民从事一项宣传活动。

申请者为12名女性居民和8名男性居民。

社区宣传活动的组织者把他们的名字完全混合后放在一个盒子里，并从中抽取8个。

试问，抽出4名女性居民的概率是多少？
2．有16名二年级学生和14名三年级学生选修了社区管理课。

假设所有学生都会来教室上课，而且是随机进入教室的。

试问，当一名学生进入教室时，恰逢已在教室就坐的5位都是三年级的概率是多少？
3．某区进行卫生大检查，现对区内全部40个单位进行卫生合格验收。

检查团随机抽查4个单位，只要有1个单位不合格就取消该区的卫生评先资格。

如果该区确有10%的单位卫生不合格，试问：
（1）抽查的4个单位中有1个单位是不合格单位的概率是多少？
（2）经抽查，该区没被取消评先资格的概率是多少？
（3）计算分布的期望值和方差。

4．设在填写选民证时，1000个选民证中共有300个错字被发现。

问在一张选民证上有一个错字的概率是多少？
5．某社区对失业者进行某项培训，参加培训的共有100人。

根据以前的培训经验，项目负责人估计有4%的培训者不能掌握这门技术。

问在参加培训的100名失业者中至少有5人为未掌握这项技术的概率是多少？
6．每小时有30个老人穿过一条人行道。

在5分钟内，没有老人穿过该人行道的概率是多少？
7．从一正态总体中抽出一个容量为20的样本。

已知总体的方差为5。

求样本的方差在
3.5到7.5之间的概率。

8．查表求F 0.95(15，7)的值。

9．已知Z 0.1=1.64。

求2
1.0χ (1)的值 。

10．已知F 0。

01(120．12)＝1．88，F 0。

01(∞，12)＝1．85。

求F 0。

01(150．12)的值 。

11. 一页书上印刷错误的个数X 是一个离散型随机变量，它服从参数为λ(λ>0）的泊松分布，一本书共400页，有20个印刷错误，求：
(l ）任取l 页书上没有印刷错误的概率；
(2)任取4页书上都没有印刷错误的概率．
12. 某种产品表面上疵点的个数X 是一个离散型随机变量，它服从参数为λ=23的泊松分布，规定表面上疵点的个数不超过2个为合格品，求产品的合格率。

13. 每10分钟内电话交换台收到呼唤的次数X 是一个离散型随机变量，它从参数为
λ(λ>0）的泊松分布，已知每10分钟内收到3次呼唤与收到4次呼唤的可能性相同，求：
(1）平均每10分钟内电话交换台收到呼唤的次数；
(2)任意10分钟内电话交换台收到2次呼唤的概率．
14. 设离散型随机变量X 服从参数为λ(λ>0）的泊松分布，且已知概率}1{=X P =3
3e ，求： (l)参数λ值；
(2)概率P {1<X ≤3};
(3)数学期望)3(X E ;
(4)方差)3(X D .
七、问答题
1．简述卡方分布的性质。

2．简述F 分布的性质。

参考答案
一、填空
1． 0.1 2．λ 3．连续 ，正态 4．调和 5. F 6．2
χ 7．泊松 8. 对称 9. 超几何分布 10. 稀有
二、单项选择
1．A 2．D 3．C 4．C 5．D 6．A
三、多项选择
1．ABC 2.．AF 3．ACDE 4．ABE 5．ABC 6．BC
四、名词解释
1．超几何分布
超几何分布以样本内的成功事件的个数x 为随机变量。

若总体单位数为N ，其中成功类共有K 个，设从中抽取n 个为一样本，则样本中成功类个数x 的超几何概率分布为
P （x ）＝H （x ：N ，n ，K ）＝n N
x n K N x K C C C -- 式中：x ≤K ，0≤x ≤n ,0≤K ≤N 。

超几何分布的数学期望μ＝N
nK ，方差σ2＝)1())((---N N K K N n N n 2．泊松分布
泊松分布为离散型随机变量的概率分布，随机变量为样本内成功事件的次数。

若μ为成功次数的期望值，假定它为已知。

而且在某一时空中成功的次数很少，超过5次的成功概率可忽不计，那么稀有事件出现的次数x 的泊松概率分布为
P （x ）＝P （x ；λ）＝λλ-e x x
!
泊松分布的期望值和方差均等于它的唯一参数λ。

3．卡方分布
设随机变量X 1，X 2，…X k ，相互独立，且都服从同一的正态分布N (μ，σ2)。

那么，我们可以先把它们变为标准正态变量Z 1，Z 2，…Z k ，k 个独立标准正态变量的平方和被定义为卡方分布（2χ分布）的随机变量2
χ
2χ（k ）＝（σ
μ
-1X ）2+（σμ-2X ）2+…+（σμ-k X ）2 ＝∑=-k i i X 122)(1μσ＝∑=k i i Z 1
2 其中k 为卡方分布的自由度，它表示定义式中独立变量的个数。

2
χ分布的期望值是自由度k ，方差值为自由度的2倍。

4．F 分布
F 分布是连续型随机变量的另一种重要的小样本分布。

设2χ（1k ）和2χ（2k ）相互独立，那么随机变量 F （1k ，2k ）＝2
22112/)(/)(k k k k χχ 服从自由度为(1k ，2k )的F 分布。

其中，分子上的自由度1k 叫做第一自由度，分母上的自由度2k 叫做第二自由度。

五、判断题
1．（ × ） 2．（ √ ） 3．（ √ ） 4．（ × ） 5．（ √ ）
6．（ √ ） 7．（ √ ） 8.（ × ） 9.（ √ ） 10.（ √ ）
六、计算题
1．0.275
2．0.0140
3．解：抽到不合格单位数量x 服从N ＝40、n ＝4的超几何分布
（1） K ＝1时 P （x ＝1）＝440
33614C C C ＝9139071404⨯＝0．3125 （2） K ＝0时 P （x ＝0）＝440
43604C C C ＝91390589051⨯＝0．6445 （3）K ＝4，N ＝40、n ＝4
μ＝E (x )＝
N nK = 4044⨯ = 0.1 σ2＝D (x )＝
)1())((2---N N K K N n N n = )140(404)440()440(42-⨯⨯-⨯-⨯ = 0.3323
4．λ＝ 0.3，P （1；λ）=0.2222
5．提示：用泊松分布近似二项分布；P （x ≥5；λ）=1—P （1；λ）—P （2；λ）—P （3；λ）—P （4；λ）=0.371
6． 0.0821
7． ≈0.75
8． 0.369
9． 2.69
10．1.874
七、问答题
1．答：
(1)2χ恒为正值，且
⎰+∞
022);(χχϕd k ＝1 (2) 2χ分布的期望值是自由度k ，方差值为自由度的2倍，即对2χ（k ）有
E (2χ)＝k , D (2χ)＝2 k
对k ＜2，2χ分布呈L 形。

2χ分布随自由度k 的增加而渐趋对称。

当k →∞时，2χ分布以正态分布为极限。

2．答：
(1) 随机变量F 和随机变量2χ一样，恒取正值，F 分布密度曲线下总面积亦为1。

(2) F 分布也是一个连续的非对称分布。

当1k ≤2时．F 分布呈L 形；当2k ＞2时，F 分布则为钟形，当1k →∞时，F 分布趋于对称。

(3) 具有一定程度的反对称性，即F 1-α和1／F α交换，同时1k 也和2k 交换，这不影响相应的概率: F 1-α（1k ，2k ）＝
)
,(112k k F α。