2022-2023学年浙江省嘉兴一中数学高三第一学期期末达标检测试题含解析

2022-2023学年高三上数学期末模拟试卷
注意事项
1．考生要认真填写考场号和座位序号。

2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。

第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。

3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知数列{}n a 中，121,2a a ==，且当n 为奇数时，22n n a a +-=；当n 为偶数时，()2131n n a a ++=+．则此数列的前20项的和为（ ）
A ．1133902-+
B ．11331002-+
C ．1233902-+
D ．12331002
-+
2．若2332a b a b +=+，则下列关系式正确的个数是（ ） ①0b a << ②a b = ③01a b <<< ④1b a << A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
3．执行如图所示的程序框图，若输入ln10a =，lg b e =，则输出的值为（ ）
A ．0
B ．1
C ．2lg e
D ．2lg10
4．设命题:p 函数()x x f x e e -=+在R 上递增，命题:q 在ABC ∆中，cos cos A B A B >⇔<，下列为真命题的是（ ） A ．p q ∧
B ．()p q ∨⌝
C ．()p q ⌝∧
D ．()()p q ⌝∧⌝
5．函数()sin 3f x x πω⎛
⎫
=-
⎪⎝
⎭
（0>ω）
，当[]0,x π∈时，()f x 的值域为3,12⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
，则ω的范围为（ ） A ．53,62
⎡⎤⎢⎥⎣⎦
B ．55,63
⎡⎤⎢⎥⎣⎦
C ．14,23⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
D ．50,3
⎛⎤ ⎥⎝
⎦
6．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足1
22n n S λ+=+，则λ的值是( )
A ．4
B ．2
C ．2-
D ．4-
7．已知圆1C ：2
2
(1)(1)1x y -++=，圆2C ：2
2
(4)(5)9x y -+-=，点M 、N 分别是圆1C 、圆2C 上的动点，P 为x 轴上的动点，则PN PM -的最大值是（ ） A ．254+
B ．9
C ．7
D ．252+
8．函数cos 23sin 20,
2y x x x π⎛⎫
⎡⎤=-∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭
的单调递增区间是（ ） A ．06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦
B ．0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦
C ．,62ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦
D ．,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦
9．已知数列1a ，21a a ，32a a ，…，1n n a a -是首项为8，公比为12
得等比数列，则3a 等于（ ）
A ．64
B ．32
C ．2
D ．4
10．二项式22()n
x x
+的展开式中只有第六项的二项式系数最大，则展开式中的常数项是( ) A ．180
B ．90
C ．45
D ．360
11．如图，某几何体的三视图是由三个边长为2的正方形和其内部的一些虚线构成的，则该几何体的体积为( )
A ．
23
B ．
163
C ．6
D ．与点O 的位置有关
12．某校在高一年级进行了数学竞赛（总分100分），下表为高一·一班40名同学的数学竞赛成绩： 55
57
59
61
68
64
62
59
80
88
98 95 60 73 88 74 86 77 79 94 97 100 99 97 89 81 80 60 79 60 82
95
90
93
90
85
80
77
99
68
如图的算法框图中输入的i a 为上表中的学生的数学竞赛成绩，运行相应的程序，输出m ，n 的值，则m n -=（ ）
A ．6
B ．8
C ．10
D ．12
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．设F 为抛物线2
:4C y x =的焦点，,,A B D 为C 上互相不重合的三点，且||AF 、||BF 、||DF 成等差数列，若线段AD 的垂直平分线与x 轴交于(3,0)E ，则B 的坐标为_______.
14．已知sin(2)sin p αββ+=，tan()tan p αβα+=，其中，p 为正的常数，且1p ≠，则p 的值为_______. 15．已知正实数,x y 满足1xy
=，则()()x
y y x y x
++的最小值为 ．
16．已知在等差数列{}n a 中，717a =，13515a a a ++=，前n 项和为n S ，则6S =________. 三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（12分）已知椭圆()222210x y a b a b +=>>，点()()1,0,0,1A B ，点P 满足2
2
OA OB OP +=（其中O 为坐标原
点），点,B P 在椭圆C 上. （1）求椭圆C 的标准方程；
（2）设椭圆的右焦点为F ，若不经过点F 的直线(): 0,0l y kx m k m =+<>与椭圆C 交于,M N 两点.且与圆
221x y +=相切.MNF 的周长是否为定值?若是，求出定值；若不是，请说明理由.
18．（12分） [2018·石家庄一检]已知函数()()()ln f x x x ax a R =-∈． （1）若1a =，求函数()f x 的图像在点()()
1,1f 处的切线方程； （2）若函数()f x 有两个极值点1x ，2x ，且12x x <，求证：()21
2
f x >-
． 19．（12分）如图,在四棱锥P ABCD -中,四边形ABCD 是直角梯形, ,//,AB AD AB CD PC ⊥⊥底面ABCD
224,2,AB AD CD PC a E ====,是PB 的中点.
（1）.求证:平面EAC ⊥平面PBC ; （2）.若二面角P AC E --6
,求直线PA 与平面EAC 所成角的正弦值. 20．（12分）设0
()(1)n
k k
n
k m P n m C m k
==-+∑，，()n
n m Q n m C +=，，其中*m n ∈N ，． （1）当1m =时，求(1)(1)P n Q n ⋅，
，的值； （2）对m +∀∈N ，证明：()()P n m Q n m ⋅，，恒为定值．
21．（12分）某精密仪器生产车间每天生产n 个零件，质检员小张每天都会随机地从中抽取50个零件进行检查是否合格，若较多零件不合格，则需对其余所有零件进行检查．根据多年的生产数据和经验，这些零件的长度服从正态分布
2(10,0.1)N （单位：微米m μ），且相互独立．若零件的长度d 满足9.710.3m d m μμ<<，则认为该零件是合格的，
否则该零件不合格．
（1）假设某一天小张抽查出不合格的零件数为X ，求(2)P X ≥及X 的数学期望EX ；
（2）小张某天恰好从50个零件中检查出2个不合格的零件，若以此频率作为当天生产零件的不合格率．已知检查一个零件的成本为10元，而每个不合格零件流入市场带来的损失为260元．假设n 充分大，为了使损失尽量小，小张是否需要检查其余所有零件，试说明理由．
附：若随机变量ξ服从正态分布2
(,)N μσ，则
5049(33)0.9987,0.99870.9370,0.99870.00130.0012P μσξμσ-<<+==⨯=．
22．（10分）设函数()ln f x x ax =-，a R ∈，0a ≠.
（1）求函数()f x 的单调区间；
（2）若函数()0f x =有两个零点1x ，2x (12x x <). （i ）求a 的取值范围； （ii ）求证:12x x ⋅随着
2
1
x x 的增大而增大. 参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、A 【解析】
根据分组求和法，利用等差数列的前n 项和公式求出前20项的奇数项的和，利用等比数列的前n 项和公式求出前20项的偶数项的和，进而可求解. 【详解】
当n 为奇数时，22n n a a +-=，
则数列奇数项是以1为首项，以2为公差的等差数列， 当n 为偶数时，()2131n n a a ++=+，
则数列中每个偶数项加1是以3为首项，以3为公比的等比数列. 所以201232013192420S a a a a a a a a a a =+++
+=+++++++
()()()2420109
1012111102
a a a ⨯=⨯+
⨯++++++-
()11013131001013
33902
-=+
--+=-.
故选：A 【点睛】
本题考查了数列分组求和、等差数列的前n 项和公式、等比数列的前n 项和公式，需熟记公式，属于基础题. 2、D 【解析】
a ，
b 可看成是y t =与()23=+x f x x 和()32x g x x =+交点的横坐标，画出图象，数形结合处理. 【详解】
令()23=+x
f x x ，()32x
g x x =+， 作出图象如图，
由()23=+x f x x ，()32x
g x x =+的图象可知，
()()001f g ==，()()115f g ==，②正确；
(,0)x ∈-∞，()()f x g x <，有0b a <<，①正确；
(0,1)x ∈，())(f x g x >，有01a b <<<，③正确； (1,)x ∈+∞，()()f x g x <，有1b a <<，④正确.
故选：D. 【点睛】
本题考查利用函数图象比较大小，考查学生数形结合的思想，是一道中档题. 3、A 【解析】
根据输入的值大小关系，代入程序框图即可求解. 【详解】
输入ln10a =，lg b e =，
因为ln101lg e >>，所以由程序框图知，
输出的值为11ln10ln10ln100lg a b e
-=-=-=. 故选：A 【点睛】
本题考查了对数式大小比较，条件程序框图的简单应用，属于基础题. 4、C 【解析】
命题p ：函数()x x
f x e e -=+在(,0)-∞上单调递减，即可判断出真假．命题q ：在ABC ∆中，利用余弦函数单调性
判断出真假． 【详解】
解：命题p ：函数()x
x
f x e e
-=+，所以()x x f x e e -=-'，当0x <时，()0f x '<，即函数在(,0)-∞上单调递减，
因此是假命题．
命题q ：在ABC ∆中，,(0,),cos A B y x π∈=在(0,)π上单调递减，所以cos cos A B A B >⇔<，是真命题． 则下列命题为真命题的是()p q ⌝∧． 故选：C ． 【点睛】
本题考查了函数的单调性、正弦定理、三角形边角大小关系、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 5、B 【解析】
首先由[]0,x π∈，可得3
x π
ω-的范围，结合函数()f x 的值域和正弦函数的图像，可求的关于实数ω的不等式，解
不等式即可求得范围. 【详解】
因为[]0,x π∈，所以,333x π
π
πωωπ⎡⎤-
∈--⎢⎥⎣⎦，若值域为⎡⎤⎢⎥⎣⎦
， 所以只需42
3
3π
π
πωπ≤-
≤
，∴5563
ω≤≤. 故选：B
【点睛】
本题主要考查三角函数的值域，熟悉正弦函数的单调性和特殊角的三角函数值是解题的关键，侧重考查数学抽象和数
学运算的核心素养. 6、C 【解析】
利用n S 先求出n a ，然后计算出结果. 【详解】
根据题意，当1n =时，11224S a λ==+,142
a λ
+∴=
, 故当2n ≥时，1
12n n n n a S S --=-=,
数列{}n a 是等比数列, 则11a =，故412
λ
+=, 解得2λ=-, 故选C . 【点睛】
本题主要考查了等比数列前n 项和n S 的表达形式，只要求出数列中的项即可得到结果，较为基础. 7、B 【解析】
试题分析：圆()()221111C x y -++=：的圆心(11)E -，
，半径为1，圆()()22
2459C x y -+-=：的圆心(45)F ，，半径是3．要使PN PM -最大，需PN 最大，且PM 最小，PN 最大值为3,PF PM +的最小值为1PE -，故
PN PM -最大值是()() 314PF PE PF PE +--=-+;(45)F ，
关于x 轴的对称点(45)F '-，，
5PF PE PF PE EF -='-≤'==，故4PF PE -+的最大值为549+=，故选B ．
考点：圆与圆的位置关系及其判定．
【思路点睛】先根据两圆的方程求出圆心和半径，要使|PN PM -最大，需PN 最大，且PM 最小，PN 最大值为3,PF PM +的最小值为1PE -，故PN PM -最大值是()()
314PF PE PF PE +--=-+，再利用对称性，求出所求式子的最大值． 8、D 【解析】
利用辅助角公式,化简函数的解析式,再根据正弦函数的单调性,并采用整体法,可得结果. 【详解】
因为cos 22y x x =-2sin(
2)2sin(2)66x x π
π=-=--，由3222,262
k x k k πππ
ππ+-+∈Z ≤≤，解得5,36k x k k Z ππ
ππ+≤≤+∈，即函数的增区间为5[,],36
k k k ππππ++∈Z ，所以当0k =时，增区间的一个子集为[,]32
ππ
. 故选D. 【点睛】
本题考查了辅助角公式,考查正弦型函数的单调递增区间,重点在于把握正弦函数的单调性，同时对于整体法的应用,使问题化繁为简,难度较易. 9、A 【解析】
根据题意依次计算得到答案. 【详解】
根据题意知：18a =，2
1
4a a =，故232a =，
3
2
2a a =，364a =. 故选：A . 【点睛】
本题考查了数列值的计算，意在考查学生的计算能力. 10、A 【解析】
试题分析：因为2
2)n
x 的展开式中只有第六项的二项式系数最大，所以10n =，55
102110
1022•?()2r r r
r r r r T C C x
x
--+==，令5502r -=，则2r ，2
3104180T C ==.
考点：1.二项式定理；2.组合数的计算. 11、B 【解析】
根据三视图还原直观图如下图所示，几何体的体积为正方体的体积减去四棱锥的体积，即可求出结论. 【详解】
如下图是还原后的几何体，是由棱长为2的正方体挖去一个四棱锥构成的， 正方体的体积为8，四棱锥的底面是边长为2的正方形， 顶点O 在平面11ADD A 上，高为2，
所以四棱锥的体积为184233
⨯⨯=， 所以该几何体的体积为816833
-=. 故选:B.
【点睛】
本题考查三视图求几何体的体积，还原几何体的直观图是解题的关键，属于基础题. 12、D 【解析】
根据程序框图判断出,n m 的意义，由此求得,m n 的值，进而求得m n -的值. 【详解】
由题意可得n 的取值为成绩大于等于90的人数，m 的取值为成绩大于等于60且小于90的人数，故24m =，12n =，所以241212m n -=-=. 故选：D 【点睛】
本小题考查利用程序框图计算统计量等基础知识；考查运算求解能力，逻辑推理能力和数学应用意识.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、(1,2)或(1,2)- 【解析】
设出,,A B D 三点的坐标，结合等差数列的性质、线段垂直平分线的性质、抛物线的定义进行求解即可. 【详解】
抛物线2
:4C y x =的准线方程为：1x =-，设112233(,),(,),(,)A x y B x y D x y ，由抛物线的定义可知：
11||(1)1AF x x =--=+，22||(1)1BF x x =--=+，33||(1)1DF x x =--=+，因为||AF 、||BF 、||DF 成等差
数列，所以有2||BF =||DF ||AF +，所以13
22
x x x +=
， 因为线段AD 的垂直平分线与x 轴交于(3,0)E ，所以EA ED =，因此有
22111333964964x x x x x x =-++=-++，化简整理得：
131313()(2)0x x x x x x -+-=⇒=或132x x +=.
若13x x =，由13
22
x x x +=可知；123x x x ==，这与已知矛盾，故舍去； 若132x x +=，所以有1
3
212
x x x +==，因此2222442y x y ==⇒=±. 故答案为：(1,2)或(1,2)- 【点睛】
本题考查了抛物线的定义的应用，考查了等差数列的性质，考查了数学运算能力.
141 【解析】
把已知等式变形，展开两角和与差的三角函数，结合已知求得p 值． 【详解】
解：由sin(2)sin p αββ+=，得sin[()]sin[()]p ααβαβα++=+-， sin()cos cos()sin sin()cos cos()sin p p αβααβααβααβα∴+++=+-+，
即(1)sin()cos (1)cos()sin p p αβααβα-+=++， (1)tan()(1)tan p p αβα∴-+=+，
又tan()tan p αβα+=，
∴
1
1
p p p +=-，解得：1p = p
为正的常数，1p ∴=．
1． 【点睛】
本题考查两角和与差的三角函数，考查数学转化思想方法，属于中档题． 15、4 【解析】
由题意结合代数式的特点和均值不等式的结论整理计算即可求得最终结果. 【详解】
x y y x y x
⎛⎫⎛⎫
++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭221x y xy y x =+++332x y xy +=+
332x y =+
+2≥+4=. 当且仅当1x y ==时等号成立.
据此可知：x y y x y x
⎛⎫⎛⎫
++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的最小值为4.
【点睛】
条件最值的求解通常有两种方法：一是消元法，即根据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代数式转化为函数的最值求解；二是将条件灵活变形，利用常数代换的方法构造和或积为常数的式子，然后利用基本不等式求解最值． 16、39 【解析】
设等差数列公差为d ,首项为1a ,再利用基本量法列式求解公差与首项,进而求得6S 即可. 【详解】
设等差数列公差为d ,首项为1a ,根据题意可得711116172415a a d a a d a d =+=⎧⎨
++++=⎩,解得11
3a d =-⎧⎨=⎩
,所以61
16653392
S =-⨯+⨯⨯⨯=.
故答案为：39 【点睛】
本题考查等差数列的基本量计算以及前n 项和的公式,属于基础题.
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、（1）2
212
x y +=（2
）是，【解析】
（1）设(),P x y ,根据条件可求出P 的坐标，再利用B P ，在椭圆上，代入椭圆方程求出a b ，即可;
（2）设()()()112212,,,0,0M x y N x y x x >> 运用勾股定理和点满足椭圆方程，求出MQ ，NQ ,再利用焦半径公式
表示出MF NF ，
,进而求出周长为定值． 【详解】
(1)设(),P x y ,因为2
2
OA OB OP +
=, 即2(1,0)(,),2x y +=则21,2x y ==,即2P ⎛ ⎝⎭
, 因为,B P 均在C 上,代入得2221011
12
1b a b
⎧
+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩,解得22
2,1a b ==,所以椭圆C 的方程为2212x y +=; (2)由(1)得2
(1,0),22
F e a =
=作出示意图, 设切点为()()()112212,,,,0,0Q M x y N x y x x >>, 则2
2
2
2
2
21111||||||12
MQ OM OQ x y x =-=+-=, 同理2
2
2
2222112
NQ x y x =+-= 即1222||,||MQ x NQ x =
=,所以122||)MN x x =+, 又112222
22MF a ex x NF a ex x =-=
=-=，, 则MNF 的周长)1212222
||||2222222
MN MF NF x x x x ++=+++=所以周长为定值2【点睛】
标准方程的求解,椭圆中的定值问题,考查焦半径公式的运用,考查逻辑推理能力和运算求解能力,难度较难. 18、（1） 0x y += （2）见解析
【解析】
试题分析：（1）分别求得()1f 和()'1f ，由点斜式可得切线方程；
（2）由已知条件可得()12f x lnx ax +'=-有两个相异实根1x ，2x ，进而再求导可得1
02
a <<，结合函数的单调性可得()()21
12
f x f a >=->-，从而得证. 试题解析：
（1）由已知条件，()()ln f x x x x =-，当1x =时，()1f x =-，
()ln 12f x x x +'=-，当1x =时，()1f x '=-，所以所求切线方程为0x y +=
（2）由已知条件可得()ln 12f x x ax +'=-有两个相异实根1x ，2x ， 令()()'f x h x =，则()1
'2h x a x
=
-， 1）若0a ≤，则()'0h x >，()h x 单调递增，()'f x 不可能有两根； 2）若0a >， 令()'0h x =得12x a =
，可知()h x 在10,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,2a ⎛⎫
+∞ ⎪⎝⎭
上单调递减，
令1'02f a ⎛⎫
>
⎪⎝⎭
解得102a <<，
由
112e a <有120a f e e ⎛⎫
=-
< ⎪⎝⎭
'， 由2112a a >有2122ln 10f a a a ⎛⎫=-'+-< ⎪
⎝⎭
， 从而1
02
a <<
时函数()f x 有两个极值点， 当x 变化时，()f x '，()f x 的变化情况如下表
单调递减 单调递增 单调递减
因为()1120f a =->'，所以121x x <<，()f x 在区间[]
21,x 上单调递增，
()()21
12
f x f a ∴>=->-．
另解：由已知可得()ln 12f x x ax +'=-，则1ln 2x a x +=，令()1ln x
g x x
+=， 则()2ln 'x
g x x
-=
，可知函数()g x 在()0,1单调递增，在()1,+∞单调递减， 若()'f x 有两个根，则可得121x x <<， 当()21,x x ∈时，
1ln 2,x
a x
+> ()ln 120f x x ax =+->'， 所以()f x 在区间[]
21,x 上单调递增， 所以()()2112
f x f a >=->-
． 19、（1）见解析；（2）
2
3
. 【解析】试题分析：（1）根据PC ⊥平面ABCD 有PC AC ⊥，利用勾股定理可证明AC BC ⊥，故AC ⊥平面PBC ，再由面面垂直的判定定理可证得结论；（2）在C 点建立空间直角坐标系，利用二面角P AC E --的余弦值为6
3
建立方程求得2PC =，在利用法向量求得PA 和平面EAC 所成角的正弦值. 试题解析：（Ⅰ）
PC ⊥ 平面,ABCD AC ⊂平面,ABCD AC PC ∴⊥
因为4,2AB AD CD ===,所以2AC BC ==
,所以222AC BC AB +=,所以AC BC ⊥,又BC PC C ⋂=，所以
AC ⊥平面PBC .因为AC ⊂平面EAC ，所以平面EAC ⊥平面PBC ．
（Ⅱ）如图，
以点C 为原点， ,,DA CD CP 分别为x 轴、y 轴、z 轴正方向，建立空间直角坐标系，则
()()()0,0,0,2,2,0,2,2,0C A B -.设()0,0,2(0)P a a >，则()1,1,E a -
()()()2,2,0,0,0,2,1,1,CA CP a CE a ===-取()1,1,0m =-，则0,m CA m CP m ⋅=⋅=为面PAC 法向量．
设(),,n x y z =为面EAC 的法向量，则0n CA n CE ⋅=⋅=，
即0{
x y x y az +=-+=，取,,2x a y a z ==-=-，则(),,2n a a =--
依题意2cos ,m n a m n m n
a ⋅〈〉=
=
=
⋅+，则2a =．于是()()2,2,2,2,2,4n PA =--=-． 设直线PA 与平面EAC 所成角为θ，则2sin cos ,3
PA n PA n PA n
θ⋅=
〈〉=
=⋅ 即直线PA 与平面EAC 所成角的正弦值为3
． 20、（1）1（2）1 【解析】
分析：（1）当1m =时可得()()1,1,?,111
P n Q n n n =
=++，可得()(),1,11P n Q n ⋅=.（2）先得到关系式()(),1,n P n m P n m m n
=
-+，累乘可得()()()!!1,0,!n n m n m P n m P m n m C +=
=+，从而可得()(),,1P n m Q n m ⋅=，即为定值．
详解：（1）当1m =时，()()()1100
111,111111n
n k
k
k
k n
n k k P n C C k n n ++===-=-=+++∑∑， 又()1
111n Q n C n +==+，
， 所以()(),1,11P n Q n ⋅=.
（2）()()0,1n
k
k
n
k m
P n m C m k
==-+∑ ()()1
1
111
11()
1n k
n
k k n n k m m C C m k m k
----==+-++-++∑ ()()1
1
1
1
1
1111n n
k
k k
k n n k k m m C
C m k m k
----===+-+-++∑∑ ()()1
1
1
1,1n
k
k n k m
P n m C m k
--==-+-+∑ ()()01,1n k k
n k m m P n m C n m k
==-+-+∑
()()1,,m
P n m P n m n
=-+
即()(),1,n
P n m P n m m n
=
-+， 由累乘可得()()()!!1
,0,!
n n m n m P n m P m n m C +==+，
又(),n
n m Q n m C +=，
所以()(),,1P n m Q n m ⋅=． 即()()P n m Q n m ⋅，，恒为定值1．
点睛：本题考查组合数的有关运算，解题时要注意所给出的()(),,P n m Q n m 和的定义，并结合组合数公式求解．由于运算量较大，解题时要注意运算的准确性，避免出现错误． 21、（1）见解析（2）需要，见解析 【解析】
（1）由零件的长度服从正态分布2
(10,0.1)N 且相互独立,零件的长度d 满足9.710.3m d m μμ<<即为合格,则每一个
零件的长度合格的概率为0.9987,X 满足二项分布,利用补集的思想求得()2P X ≥,再根据公式求得EX ； （2）由题可得不合格率为2
50
,检查的成本为10n ,求出不检查时损失的期望,与成本作差,再与0比较大小即可判断. 【详解】
（1）14950
50(2)1(1)(0)10.99870.00130.99870.003P X P X P X C =-=-==-⋅⋅-=≥,
由于X 满足二项分布,故0.0013500.065EX =⨯=. （2）由题意可知不合格率为
250
, 若不检查,损失的期望为252
()2602020505E Y n n =⨯⨯
-=-； 若检查,成本为10n ,由于522
()1020102055
E Y n n n n -=--=-, 当n 充分大时,2
()102005
E Y n n -=->,
所以为了使损失尽量小,小张需要检查其余所有零件. 【点睛】
本题考查正态分布的应用,考查二项分布的期望,考查补集思想的应用,考查分析能力与数据处理能力. 22、（1）见解析；（2）（i ）10,a e ⎛
⎫∈ ⎪⎝⎭
（ii ）证明见解析 【解析】
（1）求出导函数11(),(0,)ax f x a x x x
-'=
-=∈+∞，分类讨论即可求解； （2）（i ）结合（1）的单调性分析函数有两个零点求解参数取值范围；（ii ）设2
1
1x t x =
>，通过转化()1212(1)ln ln ln ln 1
t t
x x x x t +=+=
-，讨论函数的单调性得证.
【详解】
（1）因为()ln f x x ax =-，所以11(),(0,)ax f x a x x x
-'=
-=∈+∞ 当0a <时，()0f x '>在(0,)+∞上恒成立，所以()f x 在(0,)+∞上单调递增， 当0a >时，()0f x '>的解集为10,
a ⎛
⎫ ⎪⎝⎭，()0f x '<的解集为1,a ⎛⎫
+∞ ⎪⎝⎭
，
所以()f x 的单调增区间为10,
a ⎛
⎫ ⎪⎝⎭，()f x 的单调减区间为1,a ⎛⎫
+∞ ⎪⎝⎭
； （2）（i ）由（1）可知，当0a <时，()f x 在(0,)+∞上单调递增，至多一个零点，不符题意，当0a >时，因为()f x 有两个零点，所以max 11()ln 10f x f a a ⎛⎫==->
⎪⎝⎭，解得10a e <<，因为(1)0f a =-<，且11a <，所以存在111,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
，
使得()10f x =，又因为221111ln 2ln f a a a a a ⎛⎫=-=--
⎪⎝⎭，设11()2ln 0,g a a a a e ⎛⎫⎛⎫=--∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，则222112()0a g a a a a --'=
+=>，所以()g a 单调递增，所以1()20g a g e e ⎛⎫
<=-< ⎪⎝⎭，即
210f a ⎛⎫
< ⎪⎝⎭
，因为211a a >，
所以存在2211,x a a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()20f x =，综上，10,a e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭；（ii ）因为1122ln ln 0x ax x ax -=-=，所以121
2ln ln x x x x =，因为21x x >，所以
211x x >，设211x t x =>，则21x tx =，所以()112121ln ln ln tx x x x x tx ==，解得1ln ln 1
t x t =-，所以
21ln ln ln ln 1t t x x t t =+=
-，所以()1212(1)ln ln ln ln 1t t x x x x t +=+=-，设(1)ln ()(1)1
t t
h t t t +=
>-，则2
2
11ln (1)(1)ln 2ln ()(1)(1)t t t t t t t t t h t t t +⎛⎫+--+-- ⎪⎝⎭'==--，设1()2ln (1)H t t t t t =-->，则2
22
12(1)()10t H t t t t
-'=+-=>，所以()H t 单调递增，所以()(1)0H t H >=，所以()0H t >，即()0h t '>，所以()h t
单调递增，即()12ln x x 随着2
1
x t x =的增大而增大，所以12x x 随着21x x 的增大而增大，命题得证.
【点睛】
此题考查利用导函数处理函数的单调性，根据函数的零点个数求参数的取值范围，通过等价转化证明与零点相关的命题.。