复数与复变函数

任何一个复数 z 0有无穷多个辐角 .
如果 1 是其中一个辐角 , 那么 z 的全部辐角为 Arg z 1 2kπ ( k为任意整数).
辐角的主值 在 z( 0) 的辐角中, 把满足 π 0 π 的 0
称为 Argz 的主值, 记作 0 arg z . y arctan , x z0 , 辐角的主值arg z 2 y arctan , x ,
虚数集 纯虚 数集
复数集
实数集
A
复数的概念
复数不能比较大小的一种解释
例如：i与0能不能比较大小？ （1）如果i＞0，那么i· i＞ 0· i，即-1＞0。 （2）如果i＜0，那么-i＞0，(-i)2＞0· (-i) 即-1>0. 因此，i与0不能比较大小。
Note Z1 =a1 + i b1, Z2 =a2 + i b2 Z1 = Z2 if a1= a2 & b1= b2
若 z1 r1 (cos1 i sin1） ,
z2 r2 (cos 2 i sin 2） ,
则有
z1 z2 r1 r2[cos(1 2 ) i sin(1 2 )] Arg( z1 z2 ) Argz1 Argz2 .
几何意义
从几何上看, 两复数对应的向量分别为 z1 , z2 , z 先把 z1 按逆时针方向 y
3. 共轭复数
实部相同而虚部绝对值相等符号相反的两 个复数称为共轭复数.
与 z 共轭的复数记为z , 若 z x iy, 则 z x iy.
共轭复数的性质
z z (1) z1 z2 z1 z2 ; z1 z2 z1 z2 ; 1 1 ; z2 z2 ( 2) z z; ( 3) z z Re( z )2 Im( z )2 ;
P( x, y)
z r
o

x
x
复数的模(或绝对值) 向量的长度称为 z 的模或绝对值,
记为 z r x 2 y 2 .
模的性质
x z, y z , z x y , z z z z2 .
2
三角不等式
关于两个复数的和与差的 模，有以下不等式：
z2
z2
z1 z2
例1. 辨析： 1．下列命题中的假命题是（D） (A)在复平面内，对应于实数的点都在实 轴上； (B)在复平面内，对应于纯虚数的点都在 虚轴上； (C)在复平面内，实轴上的点所对应的复 数都是实数； (D)在复平面内，虚轴上的点所对应的复 数都是纯虚数。
2．“a=0”是“复数a+bi (a , b∈R)是纯 A 虚数”的（ ）。 (A)必要不充分条件 (B)充分不必要条件 (C)充要条件 (D)不充分不必要条件
z1 z 2
2
( z1 z 2 )( z1 z 2 )
| z1 | 2 | z 2 | 2 z1 z 2 z 2 z1
2 (1) 3
z1 z 2 3
同理可以得到
z 2 z 3 z 3 z1 3.
得证。
§3 复数的乘幂与方根
1) 乘积与商 两个复数乘积的模等于它们的模的乘积; 两个复数乘积的辐角等于它们的辐角的和.
例 2 是否存在复数 z ，使其满足 z· z+2iz=3+ai(a∈R)
如果存在，求出z 的值；如果不存在，
2. 复数的代数运算
设两复数 z1 x1 iy1 , z2 x2 iy2 ,
1) 两复数的和 z1 z2 ( x1 x2 ) i ( y1 y2 ). 2) 两复数的积 z1 z2 ( x1 x2 y1 y2 ) i ( x2 y1 x1 y2 ). 3)两复数的商 z1 x1 x2 y1 y2 x2 y1 x1 y2 i . 2 2 2 2 z2 x 2 y2 x 2 y2
arg( z i) 3
2. 复球面与无穷大
1. 南极、北极的定义
取一个与复平面切于原 点 z 0 的球面, 球面上一点 S 与原点重合,
N
通过 S 作垂直于复平面的 直线与球面相交于另一 点 N,
我们称 N 为北极, S 为南极.
S O
P
y
x
2. 复球面的定义 球面上的点, 除去北极 N 外, 与复平面内 的点之间存在着一一对应的关系. 我们可以用 球面上的点来表示复数. 我们规定: 复数中有一个唯一的“无穷大”与 复平面上的无穷远点相对应, 记作∞ . 因而球 面上的北极 N 就是复数无穷大∞的几何表示 . 球面上的每一个点都有唯一的复数与之 对应, 这样的球面称为复球面.
z1 z 2 z3 z3 1
1 z1 z 2
2
( z1 z 2 )( z1 z 2 )
( z1 z 2 )( z1 z 2 ) | z1 | 2 | z 2 | 2 z1 z 2 z 2 z1 z1 z 2 z 2 z1 1

旋转一个角 2 ,
r

o

z1

再把它的模扩大到r2 倍, 所得向量 z 就表示积 z1 z2 .
r1
1 2
r2
z2
x
复数相乘就是把模相乘, 辐角相加.
两个复数的商的模等于它们的模的商; 两个 复数的商的辐角等于被除数与除数的辐角之差.
若
则有
z1 r1 (cos1 i sin1） , z2 r2 (cos 2 i sin 2） ,
表示复数的点所 转化 复数的实部与虚部所满 在象限的问题 足的不等式组的问题 (几何问题) (代数问题) 一种重要的数学思想：数形结合思想
例4(2) 已知复数z=(m2+m-6)+(m2+m-2)i，证明对一 切m，此复数所对应的点不可能位于第四象限。
证明：若复数所对应的点位于第四象限，
m 2 m 6 0 则 2 m m 2 0
称 C {}为扩充复平面，记为 C 。
无穷远点:
关于无穷远点，我们规定其实部、虚部、 辐角无意义，模等于：
| |
它和有限复数的基本运算为：
a a (a 0)
,0 , / ,0 / 0. 这些运算无意义：
a a (a 0); 0(a ) 0
记作 z n ,
zn z z z.
n个
对于任何正整数n, 有 z n r n (cos n i sin n ).
n 为负整数时, 有z
n
1 n. z
因而有 z z ,
n
n
Arg z n Arg z .
n
(b)棣莫佛公式
(cos i sin )n cos n i sin n .
第一章 复数与复变函数
By
付小宁
§1 复数及代数运算
1. 复数的概念
回 忆
复数的 一般形 式？
Z=a+bi(a, b∈R)
实部!
a =Re( z ) 虚部! b =Im( z )
…
一个复数 由什么唯 一确 (a,b∈R)
纯虚数 (a=0)
虚数 (b‡0) 非纯虚数 (a‡0)
复数可以表示成
z re i
称为复数 z 的指数表示式.
例3 求下列复数的模：
(1)z1=-5i (2)z2=-3+4i (3)z3=5-5i (4)z4=1+mi(m∈R) (5)z5=4a-3ai(a<0) 思考： (1)满足|z|=5(z∈R)的z值有几个？ (2)满足|z|=5(z∈C)的z值有几个？ 这些复 数对应的点在复平面上构成怎样的图形？
3．“a=0”是“复数a+bi (a , b∈R)所对 C 应的点在虚轴上”的（ ）。 (A)必要不充分条件 (B)充分不必要条件 (C)充要条件 (D)不充分不必要条件
4． 设z1、z2为复数，则下列结论中正确的是( D )
(A)若z21+z22＞0，则z21＞-z22 (B)|z1-z2|=√(z1+z2) 2-4z1z2 (C)z21+z22=0z1=z2=0 (D)z1-z1是纯虚数或零
z2 z2 z2 , Arg Argz2 Argz1 . z1 z1 z1
z2 r2 i ( 2 1 ) . z2 r2e , 则 e z1 r1
i 2
设复数z1和z2的指数形式分别为
z1 r1e ,
i 1
2) 幂与根 (a) n次幂: n 个相同复数 z 的乘积称为z 的 n 次幂,
（1）几何表示法 复数 z x iy 可以用复平
y y
z x iy
( x, y)
面上的点( x , y ) 表示.
o
x
x
（2）向量表示法
在复平面上, 复数 z 与从原点指向点z x iy 的 平面向量成一一对应 ,因此, 复数z也可用向量OP 来表示.
y
y
z x iy
(4) z z 2 Re( z ), z z 2i Im( z ).
§2 复数的几何表示
1. 复平面
复数 z x iy 与有序实数对 ( x , y ) 成一一 对应. 因此, 一个建立了直角坐标系 的平面可以 用来表示复数 , 通常把横轴叫实轴或 x 轴, 纵轴 叫虚轴或 y 轴. 这种用来表示复数的平 面叫复平 面.
z1
(1)、 | z1 z2 || z1 | | z2 |
(2) | z1 z2 ||| z1 | | z2 ||
0
z2
z1
z2
z1 z2
复数的辐角
在 z 0 的情况下, 以正实轴为始边 , 以表示 z 的向量OP 为终边的角的弧度数 称为 z 的辐角, 记作 Argz . 当 z 0 时, z 0, 而辐角不确定 .
(c) 计算方程 w z 的根 w , 其中 z 为已知复数.
n
2kπ 2kπ w z r cos i sin n n ( k 0,1,2,, n 1)
a a
习题Ex1-19 题： 证明：若|z1|=|z2|=|z3|=1,z1+z2+z3=0, 则z1，z2，z3是内接 于单位圆|z|=1的一个正三角形的三顶点。 证明： 由于 z1 z 2 z 3 1, 所以 z1，z2，z3 位于单位圆上。又 z1 z 2 z 3 0 得 z1 z 2 z 3 , 即
不等式解集为空集 所以复数所对应的点不可能位于第四象限.
m 3或m 2 即 2 m 1
例5 试用复数表示圆的方程:
a( x y ) bx cy d 0
2 2
其中，a,b,c,d是实常数。 解： 2 2 利用 zz x y ,
另解：
z z 2 x,
例4(1) 已知复数z=(m2+m-6)+(m2+m-2)i在复平面内 所对应的点位于第二象限，求实数m允许的取值范围。
3 m 2 m 2 m 6 0 得 解：由 2 m 2 或 m 1 m m 2 0
m (3,2) (1,2)
1 其中， (b ic). 2
( x x0 ) ( y y0 ) r
2 2
2
z z i 2y 得：azz z z d 0
| Z Z 0 | r
例6、复数 {z | 2 arg( z i) 3}图形
图形为一角形，它是一个单连通无界区 域，其边界为半射线：arg( z i ) 2
(其中 y arctan ) 2 x 2
x 0, x 0, y 0, x 0, y 0, x 0 , y 0.
（3）三角表示法
x r cos , 利用直角坐标与极坐标的关系 y r sin ,
复数可以表示成 z r (cos i sin ) （4）指数表示法 利用欧拉公式 e i cos i sin ,