参数敏感性分析

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1、参数敏感性分析方法
流溪河模型将参数分成高度敏感参数、敏感参数和不敏感参数。

由于流溪河模型的参数较多，那些参数是高度敏感参数，那些参数是敏感参数，那些参数是不敏感参数，就需要通过敏感性分析确定。

参数敏感性分析分参数逐个进行，一次仅进行一个参数的敏感性分析。

将当前进行敏感性分析的参数称为分析参数，其它参数称为非分析参数。

敏感性分析的具体方法是，固定所有非分析参数的值不变，对分析参数，以其现值为中心，上、下各取若干个值分别进行洪水模拟计算，求出洪水模拟结果的变化随参数值变化的规律，以此判断参数是否敏感，原则上，当参数的值变化时，模拟的洪水过程有剧烈变化或较大变化时，该参数为高度敏感参数；当参数的值变化时，模拟的洪水过程有明显变
化时，该参数为敏感参数；当参数的值变化时，模拟的洪水过程有一定变化，但不明显时，该参数为不敏感参数。

对流溪河模型各可调参数，逐个进行敏感性分析，包括河道单元糙率、边坡单元糙率、土壤饱和含水率、田间持水率、凋萎含水率、饱和水力传导率、土壤层厚度、土壤特性参数b、蒸发系数、潜在蒸发率和地下径流消退系数共11个参数。

在进行模型可调参数的敏感性分析时，为了全面、深入的进行分析，得到较为合理的结论，一般要选择1-3场洪水进行敏感性分析。

如何对参数的敏感性进行评判，一般通过分析由于参数变化引起的模型模拟结果变化的程度来判别。

如当参数发生一定比例的变化时，引起的模型模拟计算结果的变化幅度较大，并且其变化幅度大于参数的变化幅度时，可认为该参数是敏感的，如引起的模型模拟计算结果的变化幅度特别大，则可认为该参数是高度敏感的。

本文在采用这一通用的敏感性分析方法对参数的敏感性进行分析时，对5个评价指标，包括确定性系数、相关系数、过程相对误差、洪峰相对误差和峰现时间误差进行分析，以确定参数的敏感性。

该方法比较不同参数时模拟的洪水过程的5个评价指标的变化，若参数的变化引起的模拟的洪水过程的5个评价指标的变化较大时，可认为该参数是敏感的，变化特别大时，则认为该参数是高度敏感的，变化不大时，认为该参数是不敏感的。

这一分析还可确定参数的取值范围，即当参数模拟的洪水过程的4个评价指标明显位于不合理范围时，可认为此参数是不可取的，进而分析出各参数的可能取值范围。

但通过此方法分析参数的取值范围时，需要在较大范围
内进行参数的敏感性分析。

当范围太小时，可能得出不合理的结果。

确定性系数、相关系数、过程相对误差、洪峰相对误差和峰现时间误差采用下述公式计算。

洪峰出现时间误差H为正值代表模拟的洪峰出现时间比实测时间提前，负值则表示模拟的洪峰出现时间比实测时间滞后。

2、模型参数敏感性的理论分析
对流溪河模型中的11个参数，本文通过理论分析，对参数的敏感性进行一个初步分析，为实际的模型参数的敏感性分析提供理论指导，但下面的分析仅仅是一个定性的分析，最终针对各个流域的实际结果，还有待于实际计算的结果来确定。

1）与蒸发有关的参数为不敏感参数
与蒸发有关的参数，包括凋萎含水率、蒸发系数、潜在蒸发率为不敏感参数，主要原因分析如下。

在洪水径流量中，蒸发量所占洪水径流量的比重一般较小，在发生较大洪水时，蒸发量往往可忽略不计，因此，潜在蒸发率的大小变化对洪水径流量的影响较小，是一个不敏感的参数。

在流溪河模型中，凋萎含水率的作用是控制蒸发量的计算，当土壤的含水量低于凋萎含水率时，不发生蒸发，当土壤的含水率高于凋萎含水率低于田间含水率时，按潜在蒸发率的比例进行蒸发。

由于在一场洪水过程期间，土壤的含水率一般较高，会高于凋萎含水率，并且在很多时段还会高于田间含水率，再加上蒸发量占洪水径流量的比重较小，因此，凋萎含水率对洪水径流量的计算影响很小，基本上不发生作用，是一个不敏感的参数。

蒸发系数主要是区别不同土地利用类型的蒸发能力，由于蒸发量占
洪水径流量的比重较小，不同土地利用类型蒸发能力的变化对洪水径流量的影响也就更有限，因此，蒸发系数也是一个不敏感参数。

2）地下径流消退系数为不敏感参数
同样的，地下径流在洪水径流中所占的比重也不大，因此，地下径流消退系数的变化对洪水径流量的影响也是有限的，地下径流消退系数也是一个不敏感的参数。

3）产流量相关参数为敏感参数
产流量有关的参数应该是较敏感的参数，因为产流量参数将控制洪水径流总量产生的大小，产水量越多，洪水就会越大。

与产流量相关的参数有饱和含水率、田间持水率、饱和水力传导率、土壤层厚度、土壤特性参数b共5个，一般来说，饱和含水率应该是其中最为敏感的参数，因为它是控制径流产生的阀值，只有当土壤蓄水率大于此时，才产生径流，因此，将其确定为高度敏感参数在理论上是有依据的。

但其它4个参数中，那些参数是高度敏感参数或敏感参数，是一个需仔细分析并通过实际计算才能确定的参数，仅通过理论分析还难以确定。

一般考虑，因为土壤层厚度是与饱和含水率综合作用来控制径流的产生，因此，土壤层厚度也可能是一个较敏感参数，但敏感度可能会较饱和含水率为低。

4）河道单元和边坡单元糙率是敏感参数
河道单元和边坡单元糙率是控制洪水过程形状的关键参数，它们对洪水径流的总量不产生影响，但对洪水的峰值及出现的时间影响较大，因此，也是对模型模拟效果影响较大的参数。

由于河道汇流较边坡汇流速度快，因此，河道单元糙率可能较边坡单元糙率更敏感，但由于边坡单元的汇流面积更大，边坡单元糙率的敏感度也可能很高。

一般情况下，糙率越小，同样降雨条件下，产生的洪峰流量越大。

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基于统计理论方法的水文模型参数敏感性分析（宋晓猛孔
凡哲占车生韩继伟）
减少参数的不确定性影响，进而提高参数优化效率。

利用Morris 筛选方法定性识别相对重要参数，耦合方差分解的Sobol方法和统计理论的响应曲面模型构建一种新的定量敏感性分析方法——RSMSobol方法。

以长江支流沿渡河流域的日降雨径流过程模拟为例，系统分析4种不同目标函数响应条件下新安江模型的参数敏感性。

结果表明Morris方法和RSMSobol
方法的集成应用极大地提高了全局敏感性分析的效率，Morris 定性筛选结果为定量评估减少了模型参数维数，采用代理模型技术的RSMSobol方法减少了模型的计算消耗。

关键词: 新安江模型; 敏感性分析; RSMSobol方法; 响应曲面方法; Morris方法
中图分类号: P333. 6 文献标志码: A 文章编号: 1001-6791(2012)05-0642-08
Sensitivity analysis of hydrological model parameters using a statistical theory approach*
SONG Xiao-meng1，2，KONG Fan-zhe1，ZHAN Che-sheng3，HAN Ji-wei1
Abstract: The sensitivity analysis is a key step in model uncertainty quantification．And it can identify the dominant parameters，reduce the model uncertainty，and enhance the model optimization efficiency．In order to make quantitative global sensitivity analysis (GSA) more tractable，the Morris screening method is used to qualitatively assess a model first．Then，the response surface methodology (RSM) based on the statistical theory will be applied to construct a surrogate model，and to integrate with the variance-based Sobol' method to establishing a new method，named as the RSMSobol method．The new method is tested on the Yanduhe basin using the Xin'anjiang model with daily precipitation data and hydrographs．The sensitivity analysis is conducted for four different objective functions．The results demonstrate that the new integrated qualitative and quantitative method can improve the efficiency of the sensitivity analysis，in which the Morris qualitative method can decrease the number of parameters by 50% for the next round of the quantitative analysis．The RSMSobol method can improve the computational cost．
Key words: Xin'anjiang model; sensitivity analysis; RSMSobol method; response surface model; Morris screening method
水文模型作为研究流域水文过程的重要工具[1-2]，采用相对简单的数学公式和物理方
程对复杂的水文过程进行概念化描述，其参数值存在极大不确定性，且很多参数不能直接测量或者无法通过实验等手段获得[3]。

因此，参数率定和优化成为模型应用中必不可少的环节。

但对于参数很多的模型，率定过程将变得极为复杂，同样也很耗时[4]。

为此，需要考虑参数之间的相互关联程度，参数对模型输出的不确定性影响以及贡献程度，利用敏感性分析识别模型输出响应的重要影响参数，为后续的率定与优化提供条件。

通常敏感性分析包括局部敏感性分析和全局敏感性分析[5]，诸多研究表明全局敏感性分析方法比较适合多参数的水文模型研究[4-6]。

常用的全局分析方法包括: ①基于回归或相关分析技术的方法，如多元回归法，响应曲面方法(Response Surface Methodology，RSM) ; ②全局筛选法，如LH-OAT方法，Morris方法; ③基于方差理论的方法，如傅里叶幅度灵敏度检验法(Fourier Amplitude Sensitivity Test，FAST)，Sobol方法和扩展傅里叶幅度灵敏度检验法(Extend FAST) 。

但Ratto 等[7]指出这些传统的定量方法(Sobol 和FAST) 通过直接计算参数样本的方差评估参数的敏感性，并不能充分利用样本的所有信息，且其需要大量的计算，数以千次或万次的模型计算使得传统定量方法应用困难，特别对复杂的多参数水文模型[5]。

随着计算机仿真技术发展，代理模型被逐渐应用到复杂模型的敏感性分析中[7]。

笔者曾尝试将代理模型(响应曲面方法RSM) 与Sobol方法结合形成RSMSobol方法，应用于分布式时变增益水文模型的参数敏感性分析中，取得了较好的结果[5]。

为此，本文试图结合Morris 定性筛选方法和RSMSobol 定量分析方法，以长江支流沿渡河流域作为研究对象，重点讨论日尺度的新安江模型的参数敏感度。

1 研究方法
1. 1 Morris 参数筛选法
Morris 法[8]作为一种定性的全局敏感性分析方法被广泛应用，通常可用来筛选与识别最敏感的参数(组) 。

其基本思想是评估单个因子微小变化量引起的输出响应变化，即其
提出的基效应概念，计算公式为
（1）式中di(j)为第i个参数第j 组样本的基效应，j = 1，2，…，R (R为重复抽样次数) ; n为参数个数; xi为第i个参数; Δ为单个参数微小变化量; f(．)为对应参数组的响应输出。

Morris 提出了两个计算指标来判断参数的敏感性，即基效应的均值μ和标准差σ。

其中μ表征参数的敏感度，确定参数的排序，而σ表征参数之间的非线性或相互作用的程度。

考虑到模型非单调可能导致计算的μ为负数，本文采用Campolongo 等[8]提出的修正均值μ*代替μ。

（2）
（3）
1. 2 响应曲面方法
响应曲面法是一种结合数学统计方法对多个变量影响的响应问题进行建模和分析的方法。

通常响应与自变量之间的关系形式是未知的，因此首要目标是寻求建立因变量和自变量集合之间的真实函数关系的一个合适的逼近公式，即选择合适的响应曲面模型。

多元自适应回归样条方法(Multivariate Adaptive Regression Splines，MARS) 是Friedman 于1991 年提出的一种针对多维变量的非参数响应曲面方法，该方法不需要对模型的形式作特定的假设，其基函数的形式和个数都由数据通过搜索算法自动生成，且不过度依赖于参数样本，较人工神经网络、多元回归和高斯过程具有显著优势。

文献[5]指出为有效构建响应曲面，抽
样数不宜大于4 000 组，且准随机马尔科夫抽样(LP-τ)或拉丁超立方抽样(LHS)尤为合适。

为此，本文采用MARS方法和LP-τ抽样方法构建响应曲面。

限于篇幅LP-τ抽样方法不予介绍，具体见文献[9]。

MARS方法简单描述如下，其基本数学公式为
（4）
式中a0为参数; am为第m个样条函数Bm(x) 的系数; M 代表模型中含有样条函数的数目，样条函数形式为
（5)
式中Km为结点数; tkm为结点位置; xv(k，m)为变量x 的第v(k，m)个分量; Skm取值为+ 1 或-1; (xv(k，m) －tkm)为半截多项式，即
(6)
1. 3 RSMSobol方法
结合方差分解的Sobol方法和统计理论的响应曲面模型，构建一种定量敏感性分析RSMSobol方法，实现一阶、二阶以及总敏感度计算[5]。

根据方差分解理论有
V(Y) = V(E(Y | Xk) ) + E(V(Y | Xk) ) (7)
式中V(Y) 和E(Y)为输出变量Y 的方差和均值; Xk为第k个输入，右边第1 项为输出变量条件期望的方差(条件是Xk)，第2 项为误差项或剩余项，表示不考虑Xk影响的Y 的变异程度。

则对应于一阶敏感度的相关比η2 可以定义为
η 2 = V(E(Y|Xk))/V(Y) (8)
同理，对不相关输入因素的双因素交互作用满足如下公式:
V(Y)=V(E(Y|Xi，Xk) ) + E(V(Y | Xi，Xk)) (9)
式中Xi和Xk为两个输入因素，右边第1 项为条件期望方差，第2 项为残差。

则双因子的相关比可表示为
η2 (Xi，Xk) = V(E(Y | Xi，Xk) ) /V(Y) (10)
根据
(11)
式中Vi为因素i 单独作用的方差; Vij为因素i 和j 同时作用的方差; Vijk为因素i、j 和k 同时作用的方差，依此类推，则V12…n为n个参数同时作用的方差。

则总敏感度可定义为
STi = E(V(Y | X～i) ) /V(Y) (12)
式中～i为除了第i个因素的其他所有因素。

2 结果与分析
2. 1 研究区与目标函数
本文以长江上游沿渡河流域为研究对象，根据其流域特征以及人工率定的情况确定新安江模型参数取值范围如表1 所示[10]。

对于新安江模型参数的敏感性分析，众多研究多针对小时尺度模型，如文献[6]，很少有详细开展日尺度模型的敏感性定量化评估。

为此本
文选择日模型进行参数敏感性分析，且考虑3种类型: 即正常年(D1) 、多雨年(D2) 和少雨年(D3)，其降水量和径流量过程线如图1所示。

表1 新安江模型参数意义及范围
Table 1 List of parameters and ranges for Xin'anjiang model
图1 典型年份日降水和径流过程线
Fig. 1 Daily precipitation and runoff hydrograph for three years 本文选择4个目标函数评估不同响应函数的参数敏感性，即Nash-Sutcliffe 效率系数(fNS)，总水量平衡误差系数(ft)，低水水量误差系数(fd) 和高水水量误差系数(fg)，计算公式为
式中Qi为实测流量值，m3 /s; Mi为模拟流量值，m3 /s; l为模拟序列长度。

2. 2 定性分析
Morris 抽样样本个数通常取N = R(n +1)，则13个参数在重复抽样40 次得到560 组参数样本，运行日尺度新安江模型，利用Morris 分析得出13个参数的敏感性排序情况如图2 所示。

从图2 中可以看出，在所有的目标函数和年份条件下，深层蒸散发折算系数C 的影响甚微; 上下层张力水容量Wum和Wlm，张力水和表层自由水蓄水容量曲线的方次B 和E，以及表层自由水蓄水库对壤中流和地下径流的消退系数Kss，Kg对于模型的输出影响表现较小; 而流域蒸散发折算系数K 对所有函数的影响都较显著，成为影响日径流模拟的最重要因子; 其他参数对于模型输出影响表现出一定的差异，如Sb和Cu对目标函数fNS和fg的影响较大，最为明显，而对ft和fd的影响较小，对于3个水量误差评价指标而言，地下水的消退系数Cg相对影响较大，说明在日径流过程模拟中地下径流量对模型输出的贡献较大。

比较D1 和D2 的结果可知，不同年份的日模型参数敏感性保持良好的一致性，局部存在差异，如对fd目标函数响应而言，多水年(D2) 条件下K 和W 的影响较正常年(D1) 偏大，Cg 的影响偏小，K 的影响偏大，而对其他的目标函数分析可知，K 在多水年的影响都较正常年偏小。

图2 Morris方法的敏感性结果
Fig. 2 Morris screening results of parameter sensitivity for different response 此外，图3 描述两个评价指标的散点关系图，横坐标是修正均值μ*，纵坐标是标准差σ。

从图3 中可以得出，不同年份和不同目标函数条件下，各参数的相互作用存在一定的差异，如对fNS目标响应而言，D1 条件下的参数K、Sb和Cu的参数受其他参数的影响或非线性作用比D2 条件下的参数相互作用显著，而对ft目标函数响应评价指标其保持良好的一致性，在fg和fd响应下，其参数相互作用影响或非线性作用差距很显著。

由此可知，采用Morris 筛选分析，可以有效识别模型潜在重要参数，同时减少参数维数可以有效降低参数的不确定性和计算时耗。

结合筛选结果和模型前期研究基础，考虑到部分参数的相关性(如Kss和Kg)，选择K、Sb、Kss、Kg、Cu、Css和Cg进行定量化分析。

图3 不同函数响应的修正均值与标准差的散点图
Fig. 3 Scatter plots between μ* and σ for different responses
2. 3 响应曲面
选择上述7个参数，采用LP-τ抽样方法生成样本1 000 组，运行新安江模型，计算输出对应的4个目标函数结果。

按照前文所述，采用MARS方法构建多参数多目标函数的响应曲面，以此作为代理模型实现参数的快速定量敏感性评估。

限于篇幅，本文选择D1 条件下不同目标函数与参数的响应曲面关系，构建Sb和K 与目标输出函数的三维响应曲面，如图4 所示。

对生成的响应曲面采用交互验证方法进行误差检验，分析响应曲面估计值与实际计算目标函数值的相关系数，见图5。

从图5 可以看出，4个目标函数的拟合效果都比较好，相关系数几乎都达到0. 99 以上，进一步分析可知4个目标函数的最大相对误差分别为1. 54% (fNS) 、10. 00% (ft) 、1. 82% (fg) 和7. 72%(fd)，也符合模型最大误差检验要求。

同样对D2 和D3 条件下的响应曲面模型进行验证，结果都满足误差控制要求，在
下面进一步的分析中，其可以作为代理模型进行新安江模型参数的定量化分析。

图4 不同目标函数的响应曲面关系
Fig. 4 Response surface models for different objective functions
图5 响应曲面的插值误差比较
Fig. 5 Comparison of interpolation errors for response surface model
2. 4 定量结果
基于上述构建的响应曲面模型，抽取100 000组样本进行模型参数的定量敏感性评价，3个不同年份条件下4个响应目标函数的一阶敏感度和总敏感度如表2 和表3 所示，从表2 和表3 可以看出，对应不同年份的参数敏感性具有较好的一致性，但具体影响程度大小不同。

如参数K 在D1 条件下对fNS目标的影响明显要大于D2 和D3 条件，而在D3 条件下对fd目标的影响要高于D1 和D2，D2 条件下对fg的影响比D1 和D3 都小，也进一步说明流域蒸散发折算系数对水量平衡模拟的重要性，多水年份对高水水量误差的影响较小，而在枯水年份对低水水量误差和Nash-Sutcliffe 系数的影响显著。

对于不同目标响应的参数敏感度差异较大，如对fNS和fg目标响应影响贡献较大的是表层自由水蓄水容量Sb和地表径流消退系数Cu，其中Sb对地表径流和地下径流的比重起着决定性的作用，同样Cu值决定着地表径流的大小，进而对高水水量误差fg影响显著，且高水部分流量对fNS的贡献率比
较大，因此这两个参数表现比较重要。

对总水量误差ft的结果表明，流域蒸散发折算系数K 对总水量平衡的影响占很大比重，其敏感度均高达0. 90 以上。

而对于低水水量误差fd，地下水消退系数Cg的影响较为显著，因为对于低水部分的小流量主要是由地下径流组成，其地下径流对总径流的贡献比要大于地表径流。

另外，总敏感度与一阶敏感度之间存在细微差异，说明各参数之间存在一定的相互作用，为此可以进行二阶敏感度分析。

由于篇幅所限，仅给出D1 条件的结果如图6 所示。

从图6 中可知，敏感参数与其他参数的相互作用也较明显，如对fNS目标函数Sb和Cu的相互作用较为突出，而考虑水量平衡误差(包括ft、fg 和fd) 条件时，K 受其他参数的影响也较大。

表2 不同目标函数不同年份的一阶敏感度评价结果
Table 2 First-order sensitivity indices for different responses
表3 不同目标函数不同年份的总敏感度评价结果
Table 3 Total sensitivity indices for different responses 相较于传统方法(如GLUE方法，Sobol方法和FAST方法等) 的高耗时，基于统计理论
的响应曲面方法具有很明显的优势。

如本文所用的方法在计算敏感度时采用100 000 组样本点，计算一阶敏感度用时3～5min，二阶敏感度用时25～30 min，总敏感度用时2～3 min，而若直接运行模型计算100 000 组样本需要耗时大约3 000 min(本文计算1 000 组新安江模型耗时约30 min)，可以说明此方法大大降低了模型敏感性分析的计算时耗，提高了计算效率，为复杂多维参数的模型敏感性分析提供了应用空间。

但仍有一些问题需要在今后研究中进一步深入探讨，如模型参数的先验分布信息(分布范围和分布类型) 对敏感性分析和不确定性分析产生很大影响，本文假定所有参数为均匀分布，对其他分布情况有待进一步研究; 而参数范围的选取对模型分析结果的影响也不容忽视，本文借助于前人的相关经验和对实际流域资料的应用情况确定参数的有效范围，存在较大的主观性，需要加强模型有效参数区间分析，为更合理地确定参数范围提供参考依据。

图6 模型参数交互作用分析
Fig. 6 Two-order sensitivity indices of parameters for different objective
functions
3 结论
(1) 针对多参数复杂水文模型的敏感性定量评估的计算时耗大、过程复杂等问题，引入一种代理模型技术，即基于统计理论的响应曲面模型，并结合方差分解方法，构建一种新的定量敏感性分析RSMSobol方法，应用于日尺度新安江模型的参数敏感性分析，较传统方法具有较好的计算效率。

(2) 采用定性分析和定量分析有效结合，通过定性筛选减少参数维数，降低定量分析过程的计算时耗;在定量分析中采用代理模型减少模型直接计算时耗，从而可以实现模型的参数敏感性快速定量化评估。

(3) 响应曲面方法已经被广泛应用于工程工艺优化方面，但还未能广泛应用于水文模型参数分析中，结合代理模型技术的分析方法为复杂水文模型的敏感性和不确定性分析提供便捷的条件，为下一步开展模型参数优化研究提供支持。

致谢: 特别感谢美国劳伦斯利弗莫尔国家实验室的Charles TONG 教授提供的程序指导。

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